2017-2018学年辽宁省辽阳市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 辽宁省辽阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据全称命题的否定解答.‎ 详解：由全称命题的否定得为：，故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题：,全称命题的否定（）：.‎ ‎2．设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先求得A,B，然后进行交集运算即可.‎ 详解：求解函数的定义域可得：，‎ 由函数的定义域可得：，‎ 结合交集的定义可知：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查函数定义域的求解，交集的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先求得复数z为纯虚数时x是值，然后确定充分性和必要性即可.‎ 详解：复数为纯虚数，则：‎ ‎，即：，据此可知，‎ 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．已知集合，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.‎ 详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C 点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.‎ ‎5．当取三个不同值时，正态曲线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定的大小.‎ 详解：由正态曲线的性质知，当一定时，曲线的形状由确定，‎ 越小，曲线越“瘦高”，所以.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则可知：‎ ‎，‎ 则复数的共轭复数为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．现有下面三个命题 常数数列既是等差数列也是等比数列；‎ ‎；‎ 直线与曲线相切.‎ 下列命题中为假命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先确定的真假，然后确定符合命题的真假即可.‎ 详解：考查所给命题的真假：‎ 对于，当常数列为时，该数列不是等比数列，命题是假命题；‎ 对于，当时，，该命题为真命题；‎ 对于，由可得，令可得，‎ 则函数斜率为的切线的切点坐标为，即，‎ 切线方程为，即，‎ 据此可知，直线与曲线不相切，该命题为假命题.‎ 考查所给的命题：‎ A.为真命题；‎ B.为真命题；‎ C.为假命题；‎ D.为真命题；‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查命题真假的判断，符合问题问题，且或非的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．“已知函数，求证：与中至少有一个不少于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（ ）‎ A. 假设且 B. 假设且 C. 假设与中至多有一个不小于 D. 假设与中至少有一个不大于 ‎【答案】B ‎【解析】分析：因为与中至少有一个不少于的否定是且，所以选B.‎ 详解：因为与中至少有一个不少于的否定是且，‎ 故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)两个数中至少有一个大于等于a的否定是两个数都小于a.‎ ‎9．函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先确定函数的定义域，然后求解导函数，求解不等式即可求得函数的单调递增区间.‎ 详解：函数有意义，则：，即函数的定义域为.‎ 且：，令可得：，‎ 结合有：，解得：，‎ 即函数的单调增区间为.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：‎ ‎(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；‎ ‎(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；‎ ‎(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.‎ ‎10．证明等式时，某学生的证明过程如下 ‎（1）当时，，等式成立；‎ ‎（2）假设时，等式成立，‎ 即，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以当时，等式也成立，故原等式成立.‎ 那么上述证明 A. 全过程都正确 B. 当时验证不正确 C. 归纳假设不正确 D. 从到的推理不正确 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合数学归纳法的证明方法考查所给的证明过程是否存在错误即可.‎ 详解：考查所给的证明过程：‎ 当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，‎ 即证明过程中不存在任何的问题.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法的概念及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：联立方程：可得：，，‎ 即交点坐标为，，‎ 当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：‎ ‎ ，‎ 整理可得：，则，‎ 同理，当时计算可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；‎ ‎(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.‎ ‎12．若函数有个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先研究函数的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果.‎ 详解：令，，原问题等价于与有两个不同的交点，‎ 当时，，，则函数在区间上单调递增，‎ 当时，，，‎ 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 绘制函数图象如图所示，‎ 函数表示过坐标原点的直线，‎ 考查临界情况，即函数与函数相切的情况，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 数形结合可知：的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由题意结合二项分布方差的计算公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：二项分布方差的计算公式为：‎ 则题中二项分布的方差为：.‎ 点睛：本题主要考查二项分布的方差计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．若的展开式中含项的系数为，则__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：首先利用二项展开式的通项，求得该二项展开式的通项，之后令幂指数等于5，求得r的值，再回代，令其等于80，求得参数的值.‎ 详解：展开式的通项为 ，令，解得，所以有，解得，故答案是2.‎ 点睛：该题考查的是有关根据二项展开式的特定项，确定其参数的值的问题，需要熟练掌握二项展开式的通项，之后令幂指数等于相应的数，求得结果即可.‎ ‎15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说:我没去过城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.‎ 详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C，丙去过A城市.‎ 假设甲去过的城市为B时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.‎ ‎16．人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种．‎ ‎【答案】24.‎ ‎【解析】分析：由题意结合排列组合的方法和计算公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：将甲乙捆绑后排序，有种方法，‎ 余下的丙丁戊三人排序，有种方法，‎ 甲乙均不与丙相邻，则甲乙插空的方法有2种，‎ 结合乘法原理可知满足题意的排列方法有：种.‎ 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知； 方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】 试题分析：因为，可命题为真时，又由命题为时，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ 因为，‎ 所以若命题为真，则.‎ 若命题为真，则，即.‎ 因为为真，所以.‎ ‎18．已知函数在处取得极大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求曲线在处的切线方程.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可知；‎ ‎（2）由（1）得，据此可得切线方程为.‎ 详解：（1），‎ 依题意得，‎ 即，解得，经检验，符合题意.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ ‎，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 即.‎ 点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.‎ ‎19．市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下:‎ 不支持 支持 合计 男性市民 女性市民 合计 ‎（1）根据已知数据把表格数据填写完整；‎ ‎（2）利用(1)完成的表格数据回答下列问题:‎ ‎（i）能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关；‎ ‎（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退体老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)（i）有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据已知数据的关系把表格数据填写完整.(2) （i）利用公式求出,再根据参考数据表判定能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）利用古典概型求至多有位老师的概率.‎ 详解：（1）‎ 不支持 支持 合计 男性市民 女性市民 合计 ‎（2）（i）由已知数据可求得 ‎ 所以有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关.‎ ‎（ii）从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，‎ 故所求的概率.‎ 点睛：（1）本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握能力和解决实际问题的能力.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.‎ ‎20．现从某医院中随机抽取了位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:分制)，用相关的特征量表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:分制),用相关的特征量表示，数据如下表:‎ ‎（1）求关于的线性回归方程(计算结果精确到)；‎ ‎（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为分时，他的关爱患者考核分数(精确到).‎ 参考公式及数据:回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎，其中.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高；他的关爱患者考核分数约为分.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意结合线性回归方程计算公式可得， ，则线性回归方程为.‎ ‎（2）由(1)知.则随着医护专业知识的提高，关爱忠者的考核分数也会稳定提高.结合回归方程计算可得当某医护人员的医护专业知识考核分数为分时，他的关爱患者考核分数约为分，‎ 详解：（1）由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ，‎ 所以线性回归方程为.‎ ‎（2）由(1)知.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心.因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高.‎ 当时，‎ 所以当某医护人员的医护专业知识考核分数为分时，‎ 他的关爱患者考核分数约为分，‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎21．2016年底某购物网站为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从2016年下半年的会员中随机调查了个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：‎ ‎95 88 75 82 90 94 98 65 92 100 85 90 95 77 87 70 89 93 90 84 82 83 97 73 91‎ 根据会员满意度评分,将会员的满意度从低到高分为三个等级: ‎ 满意度评分 低于分 分到分 不低于分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 ‎（1）根据这个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；‎ ‎（2）以(1)中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.‎ ‎（i）若从下半年的所有会员中随机选取个会员,求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；‎ ‎（ii）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，记评分非常满意的会员的个数为，求的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】(1) 可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和.‎ ‎(2) （i）；（ii）分布列见解析，0.6.‎ ‎【解析】试题分析： （1）由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为，比较满意的个数为，由此可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；‎ ‎（2）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.‎ ‎（ii）的可能取值为，由题意，随机变量 ‎ 由此能求出的分布列，数学期望及方差.‎ 试题解析：（1）由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为，比较满意的个数为，‎ ‎，‎ 可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和，‎ ‎（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.‎ ‎（ii）的可能取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 由题可知.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上是减函数，求的最小值；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎(2) 的最小值为.‎ ‎(3)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：函数的定义域为，‎ ‎（1）函数，据此可知函数的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎（2）由题意可知在上恒成立.据此讨论可得的最小值为.‎ ‎（3）问题等价于.构造函数，则取最小值.‎ 设，则.由于，据此可知题中的结论成立.‎ 详解：函数的定义域为，‎ ‎（1）函数，‎ 当且时，；‎ 当时，，‎ 所以函数的单调递减区间是，‎ 单调递增区间是 ‎（2）因在上为减函数，‎ 故在上恒成立.‎ 所以当时，，‎ 又，‎ 故当，即时，.‎ 所以，于是，‎ 故的最小值为.‎ ‎（3）问题等价于.‎ 令，则，‎ 当时，取最小值.‎ 设，则，‎ 知在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故当时，.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎