湖北省武汉市尚品联考2020届高三上学期10月月考数学试题

湖北省武汉市尚品联考2020届高三上学期10月月考数学试题

‎2020届高三年级阶段性检测数学(文科)试题 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，然后利用交集定义可得出.‎ ‎【详解】解不等式，解得，所以，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，解题的关键就是交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用三角函数的定义可计算出的值.‎ ‎【详解】由三角函数的定义得，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，要熟记正弦、余弦以及正切三个三角函数值的定义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，，即可得出该函数的定义域.‎ ‎【详解】解不等式，，得，，‎ 因此，函数的定义域为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时要根据正切函数的定义域来列不等式求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.函数图象的一条对称轴方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程，然后对赋值，可得出该函数图象的一条对称轴方程.‎ ‎【详解】由，得，取，得，‎ 即函数图像的一条对称轴方程为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数对称轴方程的求解，解题时应充分利用正弦函数的对称轴方程，列等式求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出不等式的等价条件，然后可判断出“”与“”之间的充分必要性关系.‎ ‎【详解】函数是上的增函数，由，可得.‎ 因此，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分关系的判断，一般转化为两集合间的包含关系来判断，也可以利用两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎6.已知为上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，然后利用奇函数的定义得出，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意得，‎ 由于函数为上的奇函数，因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题时要结合函数的解析式进行计算，考查计算计算能力，属于基础题.‎ ‎7.若函数满足，则的单调递增区间为( )‎ A. (-∞，2] B. (-∞，1] C. [1，+∞) D. [2，+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数满足，则函数关于对称，进而求出参数的值，进而求出函数的递增区间.‎ ‎【详解】解法1:由知，函数图象关于对称，所以，=2.函数在(-∞，2]单调递减，在[2，+∞)单调递增；而在(-∞，+∞)上递减，由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为(一∞，2]，故选A.‎ 解法2:由函数图象变换可知，=2且函数的单调递增区间为(一∞，2].故选A.‎ ‎【点睛】在函数的性质中，有几个表达式值得去关注：‎ ‎（1），关于对称；‎ ‎（2），关于点对称；‎ ‎（3），函数周期为.‎ ‎8.《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 新型定义题，本题中要用弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积，则需要利用经验中的公式进行计算，即需要求出本题中的弦长及矢长即可.‎ ‎【详解】在圆心角为，弦长等于2米的弧田中，半径为2，圆心到弦的距离为，于是，矢=2-，所以，弧田面积=(弦×矢+矢²)=，故选D.‎ ‎【点睛】新型定义题型，已知一个公式计算公式，则需要把公式中所涉及的量一一计算出来，代入到公式中，即能完成本题.‎ ‎9.若是函数的一个极值点，则函数的极小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出实数的值，然后利用导数求出函数的极小值.‎ ‎【详解】，，由题意得，‎ 解得，，.‎ 当或时，；当时，.‎ 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 当时，函数取得极小值，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值点，同时也考查了利用导数求函数的极小值，对于可导函数而言，除了在极值点处导数值为零之外，还应注意验证极值点左右附近导数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.为所在平面内的一点，满足，若，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将、用、、表示，然后对比，可得出关于、的方程组，解出即可.‎ ‎【详解】由，得，‎ 即，‎ 又，则，解得，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，在解题时要选择合适的基底，结合已知条件列出有关参数的方程组，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.若，则等于( )‎ A. 2 B. C. D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，则本题中需要将所求的问题转化为角及相关的三角函数值的运算.所以通过诱导公式，两角和差公式，进行计算.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】化简求值某些较为复杂形式的值，只需要将所求形式中的角化成题中条件里面出现的角的形式，其中运用到了诱导公式、两角和差公式、齐次式等知识点，综合性较强.‎ ‎12.已知为定义在上可导函数，为其导函数，且 恒成立，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断函数的单调性，并比较与、与的大小关系，可得出正确选项.‎ ‎【详解】构造函数，则，，则，‎ 所以，函数在上为增函数.‎ 则，即，所以，；‎ ‎，即，所以，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性比较函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.命题“若，则”的逆否命题是___________.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“若则”的逆否命题是“若则”，所以可以直接写出逆否命题.‎ ‎【详解】因为命题“若则”的逆否命题是“若则”，‎ 所以命题“若，则”的逆否命题是“若，则.‎ 故答案为：若，则.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，考查对概念的理解应用，求解时要注意把全称量词改为特称量词.‎ ‎14.已知，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意到，然后利用诱导公式可求出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要注意所求角与已知角之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15.函数在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，可得出所求切线的斜率为，即可利用点斜式写出所求切线方程.‎ ‎【详解】因为函数过点，所以 ‎，，，‎ 因此，函数在处的切线方程为，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，要充分理解导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处现测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为__________海里.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用正弦定理求出，在中，利用锐角三角函数的定义求出，判断的形状，可得出，即可得出结果.‎ ‎【详解】在中，，，，，‎ 由正弦定理，得，‎ 在中，，，则是等腰直角三角形，且.‎ 在中，，，则是等边三角形，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的应用，解题时要根据三角形已知元素类型合理选择正弦定理、余弦定理解三角形，同时也可以判断三角形的形状，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎ ‎17.设命题实数满足，命题实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解出命题、中的不等式，由为真，得出真或真，然后将两个不等式的解集取并集可得出结果；‎ ‎（2）解出命题、中对应不等式的解集，由两个条件之间的充分不必要条件关系，可得出两个解集之间的包含关系，然后列关于的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，即.‎ 由，得.‎ 若为真，即真或真，.‎ 因此，实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，即.‎ ‎，或，‎ 且是的充分不必要条件，则或，即或.‎ 因此，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，以及由命题的充分必要性求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，利用集合包含关系列不等式（组）求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎18.已知，.‎ ‎（I）若向量在方向上的投影为，求及与的夹角；‎ ‎（Ⅱ）若与垂直，求.‎ ‎【答案】（I），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）计算出，利用平面向量数量积的几何意义计算出，然后利用投影的定义计算出的值，由此可得出的值；‎ ‎（Ⅱ）由与垂直，得出，可计算出的值，然后利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出.‎ ‎【详解】（I），，‎ 由向量数量积几何意义知，向量在方向上的投影为，‎ 则，且，‎ ‎，因此，；‎ ‎（Ⅱ），，得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查投影的定义、平面向量数量积的定义、垂直向量的数量积以及平面向量模的计算，解题时要熟悉平面向量数量积的定义与运算律，同时要熟悉与向量垂直等价的条件，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分別为a、b、c，.‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先用正弦定理，将条件中的边化为角，再利用,将角化成形式，即，进而求得，即可得到的值；‎ ‎（2）由余弦定理，可以转化为，再利用基本不等式求的最大值.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 根据正弦定理，得，‎ 即，‎ 所以，‎ 因为，所以，即，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）因为，，由余弦定理得：‎ ‎，即，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立.‎ 故的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中的求角、边的最值，考查函数与方程思想的应用，考查基本运算求解能力，利用基本不等式求的最大值时，要注意等号成立的条件.‎ ‎20.函数（、、常数，，，）的部分图象如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递减区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先计算出，由函数图象得出的最小正周期，再由公式求出的值，然后将点代入函数解析式并结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）利用图象变换得出函数的解析式为，然后解不等式，可得出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由图可知，，‎ 设函数的最小正周期为，则，，则，‎ ‎，‎ 由图象可知，，‎ ‎，，，，‎ 因此，；‎ ‎ （Ⅱ）由题意可得，‎ 由，得.‎ 因此，函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，同时也考查了三角函数图象变换以及正弦型三角函数单调区间的求解，解题时要将角视为一个整体，利用正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若的值域为，求的值；‎ ‎(Ⅱ)巳，是否存在这祥的实数，使函数在区间内有且只有一个零点.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的值域为，则函数必须是开口向上、与轴有唯一交点的二次函数.可以求出的值.‎ ‎（2）已知某函数零点个数，求参数问题，函数零点问题可以转化为方程根或者通过转化变成两图象交点个数问题.本题中令 ，则它的图象非常熟悉，而在∈的图象则需要考虑是否是二次函数，当确定是二次函数时，考虑函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系（为了更好的研究函数在区间的单调性，便于考虑它的性质）.‎ ‎【详解】(Ⅰ)函数的值域为，则，解得.‎ ‎(Ⅱ)由，‎ 即 令，，∈，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点. ‎ ‎(1)当时，上递减，在上递增，‎ 而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，‎ ‎∴函数与的图象在内有唯一交点.‎ ‎(2)当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，‎ 在上递增，与的图象在内有唯一交点，‎ 当且仅当，即即.‎ ‎∴‎ ‎(3)当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，‎ ‎，即即，‎ ‎∴.‎ 综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.‎ ‎【点睛】（1）的值域为，可以做个简单分析，是否是二次函数，如果不是，不符合；如果是，则必须开口向上，且即可.‎ ‎（2）考查函数零点相关问题，可以转发为方程根或者两图象交点个数问题，如果华为两函数图象交点个数问题，需要对两边的图象都能去作图.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在的符号，可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）设，由函数和在上的单调性，将不等式等价转化为，并构造函数，将问题转化为函数在上是减函数，然后由在上恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，.‎ 当时，恒成立，此时，函数在上单调递增；‎ 当时，由得；由得.‎ 此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）时，函数在上递增，在上递减，‎ 不妨设，则，，‎ 等价于，‎ 即，令，‎ 等价于函数在上是减函数，‎ ‎，即在恒成立，‎ 分离参数，得，‎ 令，，在上单调递减，‎ ‎，，又，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究双变量不等式，解题的关键就是将双变量不等式转化为函数单调性来处理，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎ ‎