2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“存在， ”的否定是（ ）‎ A． 不存在， B． 存在， ‎ C． 对任意的， D． 对任意的， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，‎ 所以为“对任意的， ”，故选D。‎ ‎2．若，，则下列命题成立的个数为①；②；③；④。‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中a＞0＞b＞﹣a，c＜d＜0，根据不等式的性质逐一分析四个答案中不等式是否成立，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 若a＞0＞b＞﹣a，c＜d＜0，则：‎ ‎（1）ad＜0，bc＞0，不成立；‎ ‎（2）+＜0，成立；‎ ‎（3）∵a＞b，-c＞-d∴a﹣c＞b﹣d，成立；‎ ‎（4）∵a＞b，d﹣c＞0∴a（d﹣c）＞b（d﹣c），成立；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是不等关系与不等式，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6=14，则S7=（　　）‎ A． 13 B． 35 C． 49 D． 63‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质得：S7=（a1+a7）=（a2+a6），由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a6=14，‎ ‎∴S7=（a1+a7）=（a2+a6）==49．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列中，如果,则,注意这个性质的灵活运用.‎ ‎4．在空间直角坐标系中点关于平面对称点的坐标是（　　）‎ A． （1，﹣5，6） B． （1，5，﹣6）‎ C． （﹣1，﹣5，6） D． （﹣1，5，﹣6）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面xOy对称点Q的坐标是（a，b，﹣c）．‎ ‎【详解】‎ 在空间直角坐标系中，‎ 点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（1，5，﹣6）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．已知左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，则（　　）‎ A． 1或33 B． 1 C． 33 D． 1或11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义列出方程即可求出|PF2|．‎ ‎【详解】‎ 左、右焦点分别为F1，F2的双曲线=1上一点P，a=8，b=6，c=10，c﹣a=2，‎ 满足|PF1|=17，则||PF1|﹣|PF2||=16，‎ 若|PF1|=17，则|PF2|=33或1（舍去），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的定义的应用，是中档题．‎ ‎6．若，，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式，表示出a，进而根据基本不等式及其性质解得最小值。‎ ‎【详解】‎ 当时，代入等式不成立，因而 所以 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （当a=3,b=2时取等号）‎ 即最小值为7‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的简单应用，属于中档题。‎ ‎7．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．‎ ‎【详解】‎ 把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，‎ 因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，‎ 则c==2，解得k=1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，属于基础题．‎ ‎8．有如下3个命题；‎ ‎①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；‎ ‎②双曲线的离心率分别是，则是定值；‎ ‎③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（　　）‎ A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；‎ 运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；‎ 可设A（s，），B（t，），求得直线AB的斜率和st=﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB的方程，化简可得定点，即可判断③．‎ ‎【详解】‎ ‎①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），‎ 两条渐近线方程为y=±x，可得两个距离的乘积为•=，‎ 由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得两个距离乘积是定值；‎ ‎②双曲线=1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，‎ 即有e12=，e22=，可得为定值1；‎ ‎③过抛物线x2=2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，‎ 可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，‎ kAB==，可得直线AB的方程为y﹣=（x﹣s），即为y=x+2p，‎ 则直线AB过定点（0，2p）．‎ 三个命题都正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎9．两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，根据等差数列的性质，把 转化为 求解．‎ ‎【详解】‎ 因为：=‎ ‎=‎ ‎===．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．‎ ‎10．已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（　　）‎ A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面角的定义，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作平面，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于30°，即过点A在空间作平面，使平面与直线AC和AD1所成的角都等于30°．‎ 因为∠CAD1=60°，所以∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面CAD1内有一条满足要求；‎ 因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，‎ 过角平分线与平面ACD1垂直的平面，满足要求；‎ 故符合条件的平面有2个．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力．在解决本题的过程中，转化思想很重要．‎ ‎11．边长为的正方形，将沿对角线折起，使为正三角形，则直线和平面所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AC的中点O，连接BO，DO，判断AC与BD的关系，即可求解直线BD和平面ABC所成的角的大小．‎ ‎【详解】‎ 取AC的中点O，连接BO，DO，由题意，AC⊥BO，AC⊥DO，∴AC⊥平面DOB，DB 在平面ADC上的射影为：DO，BO=DO=，‎ 因为△ABD为正三角形，AB=AD=DB=1，由已知可得AO=OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等腰直角三角形，‎ 直线BD和平面ABC所成的角的大小为：45°．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查折叠问题，空间几何体的直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎12．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，由∠PFQ=120°，则∠FPF′=60°，‎ 由正弦定理定理可知：∠PFF′=30°，‎ ‎∠PF′F=90°，‎ 则|FF′|=|QF|，即2c=|QF|，‎ ‎2a=|PF|+|QF|=3|QF|，‎ ‎∴椭圆的离心率e==，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．等比数列中，前项和，则等于__．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题目给出了数列的前n项和，首先由递推式求出a1，再求出n≥2时的通项公式，因为给出的数列是等比数列，所以n≥2时的通项公式对a1成立，由两个a1相等可求x的值．‎ ‎【详解】‎ 由Sn=3n+x，得：a1=3+x，‎ 当n≥2时，=2×3n﹣1．‎ 因为数列{an}是等比数列，所以，对n=1时仍然成立，‎ 则，‎ 所以x=﹣1．‎ 故答案为：-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的前n项和，考查了由前n项和求通项，解答该题的关键是理解等比数列的定义，此题是中档题．‎ ‎14．直线经过抛物线的焦点，且抛物线交于两点，若，则直线的斜率为__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m ‎【详解】‎ 抛物线y2=4x的焦点为（1，0），‎ 设直线l为x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，整理得y2﹣4my﹣4=0，‎ 则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，‎ 由若=4，可得y1=﹣4y2，‎ 解得或，‎ ‎∴m=（﹣4+1）=﹣，或（4﹣1）=，‎ 即斜率为±‎ 故答案为：±．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．‎ ‎15．在平行六面体中，已知，，=__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由空间向量的基本定理，将向量用一组基底表示，再利用向量数量积的性质，计算即可 ‎【详解】‎ ‎∵六面体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体，‎ ‎∵=++‎ ‎∴=（++）2=+++2+2+2‎ 又∵∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=4，AB=3，AA1=5，‎ ‎∴=16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同 ‎16．已知实数若满足，则的最小值是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++），结合基本不等式的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，‎ 则=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）‎ ‎=（5++）≥（5+4）=，‎ 当且仅当（x+3y）=2（x﹣y）即x=，y=时等号成立，‎ 则的最小值是；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．命题：方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题：方程无实根，若∨为真，为真，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先计算出命题、为真时的取值范围；又∨为真，为真，知真假，从而可求出实数的取值范围．‎ 试题解析：：，∴.故：. 4分 ‎：，即，∴.故：. 8分 又∵∨为真，为真，∴真假， 10分 即，∴. 12分 考点：逻辑与命题、双曲线的定义.‎ ‎18．（1）已知，且，求证：；‎ ‎（2）解关于的不等式：．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a+b+c=1代入不等式左边的分子中，变形为展开式利用基本不等式可证明不等式成立；‎ ‎（2）解不等式变形为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，然后因式分解为，讨论与﹣1的大小关系，分三种，从而求出不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵a+b+c=1，代入不等式的左端，∴==‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∵a，b，c∈（0，+∞），∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴（当且仅当时，等号成立）．‎ ‎（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．‎ ‎∵a＜0，∴．‎ ‎1°当﹣2＜a＜0时，；‎ ‎2°当a=﹣2时，x=﹣1；‎ ‎3°当a＜﹣2时，．‎ 综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；‎ 当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；‎ 当a＜﹣2时，解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式以及二次不等式的解法，考查分类讨论思想与变形转化能力，属于中等题．‎ ‎19．设正项等比数列的首项，前项和为，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由等比数列的性质，将条件中给出的等式变形：‎ ‎，从而可知，，则通项公式为；‎ ‎（2）由（1）可得，因此考虑采用错位相减法求数列的前项 和：，，两 式相减，得，‎ 即．‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 即，可得 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴；‎ ‎（2）∵是首项，公比的等比数列，∴，‎ 则数列的前项和，‎ ‎，‎ 两式相减，得，‎ 即．‎ 考点：1．等比数列的运算；2．错位相减法求数列的和．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．‎ ‎（ I）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）y2=4x； （2）直线AB过x轴上一定点（8，0）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用抛物线的焦点坐标，求出p，然后求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x． ‎ ‎（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，‎ 设 A（，t），B（，﹣t），‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=32．‎ 所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8． ‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），‎ 联立得化简得ky2﹣4y+4b=0．‎ 根据根与系数的关系得yAyB=，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，‎ 所以•=﹣，即xAxB+2yAyB=0．即+2yAyB=0，‎ 解得yAyB=0（舍去）或yAyB=﹣32．‎ 所以yAyB==﹣32，即b=﹣8k，所以y=kx﹣8k，‎ 即y=k（x﹣8）．‎ 综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用．‎ ‎21．如图1，在直角中，，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件证明平面即可（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由条件可知，而为的中点， ， ‎ 又面面，面面，且， 平面 又因为平面， ．‎ ‎（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，‎ 则： ‎ 易知面的法向量为， ‎ 设平面的法向量为，则：，易得 ‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为．过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，且满足，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将M和N点坐标代入椭圆方程，根据斜率公式求得kMN=1，求得a和b的关系，当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，求得A点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设出A、B、C和D点坐标，由向量共线，=λ，=λ，及A和B在椭圆上，利用斜率公式，kAB=kCD，求得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），即可求得kAB为定值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，‎ 两式相减，‎ 故a2=3b2‎ 当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，‎ ‎∵，，则，解得，‎ 故点A（或C）的坐标为．‎ 代入椭圆方程，得 ‎ a2=3，b2=1，‎ 所以方程为.‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）‎ 由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），‎ ‎…①‎ 同理可得…②‎ 由①②得：…③‎ 将点A、B的坐标代入椭圆方程得，‎ 两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④‎ 同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4），‎ 于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）‎ 所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤‎ 由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]‎ 把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），‎ 解得：，‎ 当λ变化时，kAB为定值，．‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎