吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文）试题

吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文）试题

www.ks5u.com 扶余一中2018〜2019学年度下学期期末考试 高一数学（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在等差数列中，若，，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．‎ ‎【详解】由题意知，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎2.在锐角中，角的对边分别为. 若，则角的大小为( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，边化角化简即可得出答案。‎ ‎【详解】由及正弦定理得，又，‎ 所以，所以，又，所以．‎ 故选A ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题。‎ ‎3.若是2与8的等比中项，则等于( )‎ A. B. C. D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项性质列出等式，解出即可。‎ 详解】由题意知，，∴．‎ 故选B ‎【点睛】本题考查等比中项，属于基础题。‎ ‎4.在中，角的对边分别为.若，，，则边的大小为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理可得所求.‎ ‎【详解】因为，所以，解得或（舍）.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．‎ ‎5.在等差数列中，若，则的值为( )‎ A. 15 B. 21 C. 24 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质，将等式全部化为的形式，再计算。‎ ‎【详解】因为，且，‎ 则，所以．‎ 故选D ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题。‎ ‎6.在△ABC中，，b＝2，其面积为，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由面积公式得到c=4,再由余弦定理得到a边长度，最终由正弦定理得到结果.‎ ‎【详解】△ABC中，，b＝2，其面积为 ‎ 由余弦定理得到，代入数据得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】这个题目考查了正余弦定理解三角形的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎7.已知等比数列的前项和为，若，则( )‎ A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通分，再利用等比数列的性质求和即可。‎ ‎【详解】．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。‎ ‎8.一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东和北偏西，则塔与寺庙的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题干描述，画出ABCD的相对位置，再解三角形。‎ ‎【详解】如图先求出，的长，然后在中利用余弦定理可求解．‎ 中，，可得．‎ 在中，，，，‎ ‎∴，∴．‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解决实际问题中的距离问题，正确画出其相对位置是关键，属于中档题。‎ ‎9.等比数列中，，则等于( )‎ A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用等比中项求解。‎ 详解：，因为为正，解得。‎ 点睛：等比数列的性质：若，则。‎ ‎10.已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。‎ ‎【详解】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有 ‎，‎ ‎∴．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。‎ ‎11.在中，角的对边分别为，且. 若为钝角，，则的面积为( )‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理求出c的值，再由C角为锐角求出C角的正余弦值，‎ 利用角C的余弦公式求出b的值，带入，及可求出面积。‎ ‎【详解】因为，，所以．‎ 又因为，且为锐角，所以，．‎ 由余弦定理得：，解得，‎ 所以．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题。‎ ‎12.对于一个给定的数列，定义：若，称数列为数列的一阶差分数列；若，称数列为数列的二阶差分数列．若数列的二阶差分数列的所有项都等于，且，则（ ）‎ A. 2018 B. 1009 C. 1000 D. 500‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解.‎ ‎【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为，‎ 则，即，‎ 利用累加法可得，‎ 由于，即 解得，，故．选C.‎ 点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题.‎ 二、填空题。‎ ‎13.在等比数列中，，公比，若，则的值为 ．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，故答案为7．‎ 考点：等比数列的通项公式．‎ ‎14.在锐角中，角的对边分别为.若，则角的大小为为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，两边同除以得，由余弦定理可得是锐角，，故答案为.‎ ‎15.已知数列是等差数列，，那么使其前项和最小的是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前n项和公式，判断开口方向，计算出对称轴，即可得出答案。‎ ‎【详解】因为等差数列前项和为关于二次函数，‎ 又因为，所以其对称轴为，而， ‎ 所以开口向上，因此当时最小．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的性质，属于基础题。‎ ‎16.在中，角的对边分别为. 若，则的值为__________.‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理化简所给等式，再利用正弦定理将边化的关系为角的关系，变形化简即可得出目标比值。‎ ‎【详解】由得，即 ‎，‎ 所以，故．‎ ‎【点睛】本题综合考查正余弦定理解三角形，属于中档题。‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.在中，角的对边分别为，且角成等差数列. ‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求边的长.‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质，与三角形三内角和等于 即可解出角C的值.‎ ‎（2）将已知数带入角C的余弦公式，即可解出边c.‎ ‎【详解】解：（1）∵角，，成等差数列，且为三角形的内角，‎ ‎∴，，∴． ‎ ‎（2）由余弦定理 ‎，‎ 得 ‎【点睛】本题考查等差数列、余弦定理，属于基础题。‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．‎ ‎（2）利用前n项和公式直接求解即可.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，∴，‎ 故.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎19.在中，角的对边分别是，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，边上的中线的长为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 由正弦定理，得，即.‎ 由余弦定理，得.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 设，则，所以.‎ 在中，由余弦定理得，得，‎ 即，‎ 整理得，解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎20.已知数列满足. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，为数列的前项和，求证：‎ ‎【答案】（1）．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，‎ 可得当时，，两式相减可求数列的通项公式；‎ ‎（2）将带入，再计算，通过裂项相消计算，即可证明出。‎ ‎【详解】（1）解：∵，‎ ‎∴（，），‎ 两式相减得：，∴．‎ 当时，，满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎（2）证明：由（1）知，∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查利用公式求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n项和，属于基础题。‎ ‎21.在中，角的对边分别为. 已知 ‎（1）若，，求的面积；‎ ‎（2）若的面积为，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据计算出与，再利用余弦定理求出b边，最后利用 求出答案；‎ ‎（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为与的关系式，再结合面积求出c的值。‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以．又，‎ 所以．‎ 因为，，且，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以． ‎ ‎（2）因为，由正弦定理，得．‎ 又，所以． ‎ 又，得，所以，所以．‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题。‎ ‎22.已知等差数列与等比数列满足，，且. ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），． （2）存在正整数，，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出关于d与q的两个等式，解方程组，即可求出。‎ ‎（2）利用错位相减求出，再讨论求出的最小值，对应的n值即为所求的k值。‎ ‎【详解】（1）解：设等差数列与等比数列的公差与公比分别为，，‎ 则，解得，‎ 于是，，． ‎ ‎（2）解：由，‎ 即，①‎ ‎，②‎ ‎①②得：，‎ 从而得．‎ 令,得,显然、所以数列是递减数列，‎ 于是，对于数列，当为奇数时，即，，，…为递减数列，‎ 最大项为，最小项大于；‎ 当为偶数时，即，，，…为递增数列，最小项为，最大项大于零且小于，‎ 那么数列的最小项为． ‎ 故存在正整数，使恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查等差等比数列，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，并讨论其最值，属于难题。‎ ‎ ‎