2019-2020学年湖南省怀化市高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年湖南省怀化市高二上学期期末考试数学试题

数学 高二数学　第1页 （共4页） 第Ⅰ卷（选择题） 方程 高二数学　第2页 （共4页） m m m 第Ⅱ卷（非选择题） : 取值 高二数学　第4页 （共4页）高二数学　第3页 （共4页） 数学参考答案 一． 选择题（5 12 60 ）： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A C B C D A B A C A 12 提示：由题得 2 2 2( ) 0, ( )( 1) xxf x f xx     在[1，3]上单调递增， 所以 min 1( ) (1) .2f x f   由题得 1 1( ) ( ) 0xg x e x      ， 所以函数 g（x）在[1,3]上单调递减，所以 max( ) (1) 1g x g a   ， 由题得 min max 1( ) ( ) , 1,2f x g x a    所以 1 2a≤ . 二、填空题（5 4 20 ）： 13. 4 3 0xy   ； 14. 17 ； 15.-4 ； 16.2. 16 提示： 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 解：(Ⅰ)设等比数列 na 的公比为 q(q 0 )，由题意，得 2 5 6 466a a a q q     解得 2q  或 3q  （舍）……3 分 又 3141aa   ………………4 分 所以 11 1 2nn na a q  ……………5 分 (Ⅱ) 2 2 1log log 1 2 1n n nb a a n n n       ……………6 分 所以数列{}nb 是以 1 为首项 2 为公差的等差数列……………7 分    1 21 2 1 22 n n nnn b bSn     …………………10 分 18 解：(Ⅰ)由 f(x)＝ax3＋bx＋1 的图象过点(1，－3) 得 a＋b＋1＝－3 ……………1 分 ∵f′(x)＝3ax2＋b ………………3 分 又 f′(1)＝3a＋b＝0 …………………4 分 ∴由 4 30 ab ab      得 2 6 a b    ……………5 分 ∴f(x)＝2x3－6x＋1 ……………6 分 (Ⅱ)∵f′(x)＝6x2－6， ∴由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<－1 ……………10 分 ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)……………12 分 (答案是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，本得分点不能给分) 19.（Ⅰ）证明：因为 PC  平面 ABC ， DE  平面 ABC ， 所以 PC DE ……1 分 由 2, 2CE CD DE   得 CDE 为等腰直角三角形， 故CD DE ……2 分 又 PC CD C ，且 PC  面 PCD ，CD  面 PCD ……3 分 故 DE 平面 PCD ………4 分 （Ⅱ）如图，以点 C 为原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向分别 为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立直角坐标系…………5 分 (0,0,0)C ， (0,0,3)P ， 3( ,0,0)2A ， (0,2,0)E ， (1,1,0)D ， 1(1, 1,0), ( 1, 1,3), ( , 1,0)2ED DP DA       ………6 分 设平面 PAD 的法向量为  1 1 1 1,,n x y z ，则 1 0n DP， 即 1 1 1 11 30 1 02 x y z xy      ……7 分 令 1 2x  ，则 111, 1yz，故可取 1 (2,1,1)n  …………8 分 （注：与 1n 共线的非零向量都可给分） 由（Ⅰ）可知 DE 平面 PCD ，故平面 PCD 的法向量 2n 可取为 ED ， 即 2 =(1, 1,0)n  …………9 分 F y z x P E D C BA P E D C B A 则 12 12 12 13cos , 626|| nnnn nn     …………11 分 （注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分） 又二面角 A PD C为锐二面角， 所以二面角 A PD C的余弦值为 3 6 …………12 分 （注：无此步骤，本得分点不能给分） 20 解：（Ⅰ）  2 1 2 3 1 1 1 1 n n n Na a a a      ①,  2 1 2 3 -1 1 1 1 12 -1 n nna a a a     当 时， ② ①-②得：  1 2 1 2 n nna    ， 又 1 1 1a  ，满足上式，  1 21 n n n Na        1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n      . （Ⅱ） 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n           11 2 1 2 4 2n nS nn   , 11,32nS   ,原不等式等价于 11 32， 5 6. 实数 的取值范围为 5, 6  .…………12 分 21 解:（Ⅰ）椭圆 D 的离心率 22 2 2 abe a ， 2ab ， 又点 2, 1 在椭圆上， 22 211ab   ，得 2a  ， 2b  ， 椭圆 D 标准方程为 22 142 xy …………5 分 的 （Ⅱ）由题意得，直线l 的方程为 y kx t，由 22 142 xy y kx t     ，消元可得  2 2 22 1 4 2 4 0k x ktx t     ………………6 分 设  11,A x y ，  22,B x y ，则 12 2 4 21 ktxx k   ， 2 12 2 24 21 txx k   …………7 分 12 12 OA OB yykk xx   12 12 kx t kx t xx  12 12 2 t x xk xx 2 22 4 2 12 2 1 2 4     kt kkt kk 2 4 2 k t   ……………………9 分 由 OA OBk k k，得 2 4 2t   ，即 2 42t  ， 又  2,4   2 0,1t …………11 分  1,1t   ……………12 分 22 解:（Ⅰ） 2 1sin)()(  xaxxfxg ， )cos(sin)( xxxaxg  ………1 分 当 0a 时 2 1)( xg ，不合题意，舍去. 当 0a 时 0)(  xg  )(xg 在 ]2,0[  上单调递减， 2 1 2 1)0()(max  gxg ，不合题意，舍去 ………3 分 当 0a 时 0)(  xg  )(xg 在 ]2,0[  上单调递增， 2 1 2 1 2)2()(max   agxg ，解得 1a 综上： 1a ………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 1sin)(  xxxg ， xxxxg cossin)(  当 ]2,0( x 时， )(xg 在 ]2,0(  上单调递增， 02 1)0( g ， 02 1 2)2(  g ， )(xg 在 ]2,0(  上有且仅有一个变号零点 ………7 分 当 ),2( x 时， 0sincos2)(  xxxxg ， )(xg 在 ),2(  上单调递减 ……8 分 又 0)(,01)2(   gg ),2(0  x 使 0)( 0  xg 且当 ),2( 0xx  时 0)(  xg ，当 ),( 0 xx  时 0)(  xg ，  )(xg 在 ),2( 0x 上单调递增，在 ),( 0 x 上单调递减 ………10 分 又 02 1 2)2(  g ， 0)2()( 0  gxg ， 02 1)( g ， )(xg 在 ),2(  上有且仅有一个 变号零点 )(xg 在 ]2,0(  和 ),2(  上各有一个变号零点， )(xf 在 ),0(  上共有两个极值点 ………12 分