【数学】宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试试题（理）（解析版）

【数学】宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试试题（理）（解析版）

宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）‎ ‎1.已知集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由解得，所以，所以.‎ 故选：D.‎ ‎2.若（其中i为虚数单位）则复数z的虚部是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，所以的虚部为.‎ 故选：D.‎ ‎3.在等比数列中，，前3项和，则公比数列的公比的值是（ ）‎ A. 1 B. C. 1或 D. -1或 ‎【答案】C ‎【解析】由数列是等比数列，所以 当时 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎②化简得： ③‎ 则：‎ 可得：（舍）或 当时，，所以 符合题意 综上所述：或 故选：C.‎ ‎4.如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）‎ A. 病人在‎5月13日12时的体温是 B. 病人体温在‎5月14日0时到6时下降最快 C. 从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转 D. 病人体温在‎5月15日18时开始逐渐稳定 ‎【答案】D ‎【解析】对于A：由图可知，病人在‎5月13日12时的体温是，故A正确；‎ 对于B：从图中可以看出，‎5月13日6时到12时折线下降比其它时间段陡直，所以病人体温在‎5月13日6时到12时下降最快，故B正确；‎ 对于C：从图中看，曲线整体呈现下降的趋势，则这个病人的病情是好转了，故C正确；‎ 对于D：由图可知，病人体温从‎5月14日18时到‎5月15日18时比较稳定，在上下浮动，故D不正确.‎ 故选：D.‎ ‎5.已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，，则双曲线的离心率（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，双曲线，设，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 则.所以，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 故选：C.‎ ‎6.已知函数.则关于该函数性质的说法中，正确的是（ ）‎ A. 最小正周期为 ‎ B. 将其图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称 C. 对称中心为 ‎ D. 上单调递减 ‎【答案】B ‎【解析】依题意，‎ ‎.‎ 所以：的最小正周期为， A选项错误.‎ 将图象向右平移个单位得到为偶函数，图象关于轴对称，B选项正确.‎ 由，得，所以对称中心为，‎ C选项错误.‎ 由于，‎ 即，所以在上单调递减不成立，D选项错误.‎ 故选：B.‎ ‎7.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，‎ 中的视图满足作图法则；中的视图满足作图法则；中的视图不满足锥体的顶点在左前方；中的视图满足作图法则，故选．‎ ‎8.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨.（参考数据：，）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从年开始增加的年份的数量，‎ 由题意可得，‎ 由于第年快递行业产生的包装垃圾超过万吨，即，，‎ 两边取对数得，即，‎ 因此，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨，‎ 故选：B．‎ ‎9.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若“，”为真命题，可得恒成立 只需，‎ 所以时，，”为真命题，‎ ‎“，”为真命题时推出，‎ 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，‎ 选A.‎ ‎10.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（ ）‎ A. 点H是△A1BD的垂心 B. AH垂直平面CB1D1‎ C. AH的延长线经过点C1‎ D. 直线AH和BB1所成角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D.‎ ‎11.已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）‎ A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 ‎【答案】A ‎【解析】∵,‎ ‎∴,则,即,‎ ‎∴.‎ 易知,‎ ‎∵,‎ 当时, ,‎ ‎∴当时,‎ 当时,,‎ 又,‎ ‎∴当时, 有最小值.‎ 故选：A.‎ ‎12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】可求得直线关于直线的对称直线为，‎ 当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；‎ 当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；‎ 根据题意画出函数大致图像，如图：‎ 当与（）相切时，得，解得；‎ 当与（）相切时，满足，‎ 解得，结合图像可知，即，‎ 故选：A.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若定义在R上的偶函数满足：时，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，由于为定义在上的偶函数，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14.从2021个学生中选取202人志愿者，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2021人中剔除1人，剩下的2020人按系统抽样取出202人，则每人入选的概率__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据概率的概念可知，每人入选的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎15.中，则实数的值为__________，值为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意的展开式的通项为，令得，因为，所以，解得．‎ 在展开式中令得，即，故答案为，．‎ ‎16.己知A、B为抛物线上两点，直线过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①轴上恒存在一点K，使得；②；③存在实数使得（点O为坐标原点）；④若线段的中点P在准线上的射影为T，有.中正确说法的序号________.‎ ‎【答案】①②③④.‎ ‎【解析】设直线方程为，，，，，则 由得，所以.‎ 对于①，设，所以，‎ ‎，当时，，所以①正确.‎ 对于②，由抛物线定义可知：，，轴，所以 ‎，，所以，即；所以②正确.‎ 对于③，，即存在实数使得；所以③正确.‎ 对于④，因为，由于，若则，所以；若显然；所以④正确 故答案为：①②③④.‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图．在中，点P在边上，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为．求 解：（1）在中，设， 因为，‎ ‎，‎ 又因为，，‎ 由余弦定理得：‎ 即：，‎ 解得，‎ 所以，‎ 此时为等边三角形，‎ 所以；‎ ‎（2）由，‎ 解得，‎ 则，‎ 作交于D，如图所示：‎ 由（1）知，在等边中，，，‎ 在中．‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎18.2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶、接触等途径,为了有效抗击疫情,隔离性防护是一项具体有效措施.某市为有效防护疫情,宣传居民尽可能不外出,鼓励居民的生活必需品可在网上下单,商品由快递业务公司统一配送（配送费由政府补贴）.快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”.这两家公司对“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元,每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元,每日前83件没有提成,超过83件部分每件提成5元,假设同一公司的快递员每天送件数相同,现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数,得到如下条形图：‎ ‎（1）求乙公司的快递员一日工资y（单位：元）与送件数n的函数关系；‎ ‎（2）若将频率视为概率,回答下列问题：‎ ‎①记甲公司的“快递员”日工资为X（单位：元）.求X的分布列和数学期望；‎ ‎②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作,如果仅从日收入的角度考虑,请你利用所学过的统计学知识为他作出选择,并说明理由.‎ 解：（1）由题意：当时,元；‎ 当时,.‎ ‎∴乙公司的快递员一日工资y（单位：元）与送件数n的函数关系为：‎ ‎（2）①X的所有可能取值为152,154,156,158,160.‎ 由题可知,,‎ ‎,,,‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎152‎ ‎154‎ ‎156‎ ‎158‎ ‎160‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ X的数学期望（元）‎ ‎②设乙公司的日工资为Y,‎ 则（元）‎ 由于到甲公司的日工资的数学期望（均值）比乙公司的日工资的数学期望（均值）高,‎ 所以小王应当到甲公司应聘“快递员”的工作.‎ ‎19.如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.‎ ‎（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；‎ ‎（2）设，求二面角大小的取值范围.‎ 解：（1），平面，平面，平面，‎ 又平面，平面与平面的交线为l，所以，‎ 而l平面，平面，所以l平面；‎ ‎（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，如图：‎ 由（1）知，BDAC，而，所以，‎ 所以平面，所以，‎ 而，所以平面PBC，‎ 又FB平面PBC，所以，‎ 所以就是二面角的平面角，‎ 因为，点F是的中点，所以，‎ 故，‎ 注意到，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以二面角大小的取值范围为.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为是上一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．‎ 解：（1）因为离心率为，所以，‎ 从而的方程为：‎ 代入解得：，‎ 因此．‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）由题设知的坐标分别为，‎ 因此直线的斜率为，‎ 设直线的方程为：，‎ 由得：，‎ 当时，不妨设，‎ 于是，‎ 分别设直线的斜率为，‎ 则，‎ 则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形，‎ 只需证，‎ 而 所以直线与轴转成的三角形是等腰三角形 ‎21.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若，且存在两个极值点，，求证：‎ 解：(1)若，则，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以当，即时，，‎ 所以函数在上单调递增，所以，符合题意；‎ 当，即时，时，；时，，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，不符合题意，‎ 综上：实数a的取值范围为.‎ ‎(2) 若，则，‎ 所以，‎ 因为存在两个极值点，所以，所以，‎ 令，得，‎ 所以是方程的两个根，‎ 所以，，且，，‎ 不妨设，则，‎ 所以 ‎，‎ 令，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，又，‎ 所以.‎ 选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：‎ ‎①点的极角；‎ ‎②面积的取值范围.‎ 解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 因为则曲线的参数方程 所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.‎ 所以的极坐标方程为，即.‎ ‎（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点 极径为，且，所以为等腰三角形，‎ 又直线的普通方程为，‎ 又点的极角为锐角，所以，所以，‎ 所以点的极角为.‎ ‎②解法1：直线的普通方程为.‎ 曲线上点到直线的距离 ‎.‎ 当，即（）时，‎ 取到最小值为.‎ 当，即（）时，‎ 取到最大值为.‎ 所以面积的最大值为；‎ 所以面积的最小值为；‎ 故面积的取值范围.‎ 解法2：直线的普通方程为.‎ 因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，‎ 因为，所以圆与直线相离.‎ 所以圆上的点到直线的距离最大值为，‎ 最小值为.‎ 所以面积的最大值为；‎ 所以面积的最小值为；‎ 故面积的取值范围.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，且．‎ ‎（1）若，求的最小值，并求此时的值；‎ ‎（2）若，求证:．‎ 解：（1），‎ 法一:，，‎ 的最小值为，此时；‎ 法二:，‎ ‎，即的最小值为，此时；‎ 法三：由柯西不等式得：‎ ‎，‎ ‎,即的最小值为，此时；‎ ‎（2），，‎ 又，‎ ‎.‎