2017-2018学年河北省黄骅中学高二上学期第三次月考数学（文）试题
黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期第三次考试
数学试卷（文科）
命题人：赵淑宁 审定人：刘敏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷第1至2页, 第Ⅱ卷第3至4页,共150分，考试时间120分钟。附加题20分
第Ⅰ卷（客观题 共 60分）
注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. “若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是( )
A. 若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x，y∈R且x，y不全为0，则x2＋y2≠0
2. 双曲线2x2－y2=8的实轴长是( )
A .2 B. C .4 D .
3. 从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析,就这个问题来说,下列说法正确的是( )
A.1 000名学生是总体
B.每个被抽查的学生是个体
C.抽查的125名学生的体重是一个样本
D.抽取的125名学生的体重是样本容量
4. 曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1
5. 某高中在校学生2 000人，高一与高二人数相同并都比高三多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二参与跑步的学生中应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
6. 设a，b为实数，则“0
0，则下列不等式中正确的是( )
A．x1>x2 B．x10 D．x1＋x2<0
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
13. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是______．
14.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得回归直线方程 ＝ x＋ 中 ＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为______．
气温(℃)
14
12
8
6
用电量(度)
22
26
34
38
15.设F为抛物线y2＝6x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点．若＋＋＝，则||＋||＋||＝________.
16.定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足，且，则的解集为 ．
三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）
17.(本小题10分) 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.(本小题12分) 某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
5
0.05
第2组
[60，70）
a
0.35
第3组
[70，80）
30
b
第4组
[80，90）
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计
100
1.00
（1）求a，b的值；
（2）求此次汉字听写比赛抽取的100名学生成绩的平均数和中位数；
（3）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
19.(本小题12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程 ＝x＋ ；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
20.(本小题12分)某学生对其30位亲属的饮食习惯进行
了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指
数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮
食指数高于70的人,饮食以肉类为主).
(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这30位亲属的饮食
习惯.
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表.
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)能否有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?
21.(本小题12分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
22.(本小题12分) 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
四、附加题（共两个题，20分）
23.(本小题5分) 定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2a＋b)＜1，则的取值范围是____________．
24.(本小题15分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P(m,0)为椭圆C长轴(含端点)上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若|PA|2＋|PB|2的值与m无关，求k的值．
参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1-6 BCCAAD 7-12 DCCABC
二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 14.40 15.9 16.
三、解答题(共70分)
17. (本小题10分)
[解析] (1) [2,3) ------4分
(2) (1,2) ------10分
18. (本小题12分)
[解析]（1）由频率分布表得：
a=100﹣5﹣30﹣20﹣10=35，
b=1﹣0.05﹣0.35﹣0.20﹣0.10=0.30． --------2分
（2）由频率分布表得：
平均数：=55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5，--------4分
∵成绩在[50，70）内的频率为：0.05+0.35=0.40，
成绩在[70，80）内的频率为：0.30，
∴中位数为：70+=． ---------6分
（3）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：×30=3人，第4组：×20=2人，第5组：×10=1人，
∴第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人． ---------8分
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，
则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．
其中第4组被入选的有9种，
∴其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为=． ---------12分
19. (本小题12分)
[解析] (1)散点图如下：
--------2分
(2)＝＝4.5，＝＝3.5，
xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝＝0.7， --------6分
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴ ＝0.7x＋0.35.
∴所求的回归直线方程为 ＝0.7x＋0.35. --------8分
(3)现在生产100吨甲产品用煤
＝0.7×100＋0.35＝70.35，
∴90－70.35＝19.65.
∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤． --------12分
20. (本小题12分)
[解析] (1)由茎叶图可知,30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主. --------4分
(2) 2×2列联表如下所示:
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
--------8分
(3)由题意,随机变量的观测值
故有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. --------12分
21. (本小题12分)
[解析] (1)由题意得解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1. --------4分
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝， --------6分
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，--------8分
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，-------10分
解得k＝±1. -------12分
22．(本题满分12分)
[解析] (1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． --------2分
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；
当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
-------5分
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数 -------7分
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立． --------9分
因为3x2≥0，所以只需a≤0. --------12分
23. (本小题5分) [答案]
[解析]观察图象，可知f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数，由f(2a＋b)＜1＝f(4)，
可得画出以(a，b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示)，而可看成(a，b)与点P(－1，－1)连线的斜率，可求得为所求．
24．(本小题15分)
[解析](1)抛物线y2＝－12x的焦点坐点为(－3,0)，由题意可知c＝3，
又因为e＝＝，所以a＝5，b2＝a2－c2＝16，
所以椭圆C的方程为：＋＝1. ---------4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m,0)(－5≤m≤5)，直线l：y＝k(x－m)，由
得(16＋25k2)x2－50mk2x＋25m2k2－400＝0----------7分
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－，
y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝.------------11分
∴|PA|2＋|PB|2＝(x1－m)2＋y＋(x2－m)2＋y
＝(x1＋x2)2－2x1x2－2a(x1＋x2)＋(y1＋y2)2－2y1y2－2y1y2＋2a2
＝(k2＋1)·---------------------14分
∵|PA|2＋|PB|2的值与m无关，∴512－800k2＝0，∴k＝±.-------------------15分
