江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州等)2020届高三第三次调研考试(6月) 数学 Word版含答案

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江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州等)2020届高三第三次调研考试(6月) 数学 Word版含答案

‎2020届高三模拟考试试卷 数  学 ‎ ‎(满分160分,考试时间120分钟)‎ ‎2020.6‎ 参考公式:‎ 柱体的体积公式:V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积,h为高.‎ 锥体的体积公式:V锥体=Sh,其中S为锥体的底面积,h为高.‎ 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1. 已知集合A={-1,0,1},B={0,2},则A∪B=________.‎ ‎2. 设复数z满足(3-i)z=,其中i为虚数单位,则z的模是________.‎ ‎3. 如图是一个算法流程图,则输出k的值是________.‎ ‎4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3.为了解学生对防震减灾知识的掌握情况,现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测.若高一年级抽取了20名学生,则n的值是________.‎ ‎5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是________.‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x的准线是双曲线-=1(a>0)的左准线,则实数a的值是________.‎ ‎7. 已知cos(α+β)=,sin β=,α,β均为锐角,则sin α的值是________.‎ ‎8. 公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样 16‎ 的四面体得到的(如图).设石凳的体积为V1,正方体的体积为V2,则的值是________.‎ ‎9. 已知x>1,y>1,xy=10,则+的最小值是________.‎ ‎10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若4S2,S4,-2S3成等差数列,且a2+a3=2,则a6的值是________.‎ ‎11. 海伦(Heron,约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家,以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式,它给出了利用三角形的三边长a,b,c计算其面积的公式S△ABC=,其中p=.若a=5,b=6,c=7,则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是________.‎ ‎12. 如图,△ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得AD=BE=CF.若=2,且DE=,则·的值是________.‎ ‎13. 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(-x)+f(x)有且仅有四个不同的零点,则实数k的取值范围是________.‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,-6)作直线交圆O:x2+y2=16于A,B两点, C(x0,y0)为弦AB的中点,则的取值范围是________.‎ 二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若=.‎ ‎(1) 求cos C的值;‎ ‎(2) 若A=C,求sin B的值.‎ 16‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,点D,E分别是A1B1,BC的中点.求证:‎ ‎(1) 平面ACD⊥平面BCC1B1;‎ ‎(2) B1E∥平面ACD.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 某单位科技活动纪念章的结构如图所示,O是半径分别为1 cm,2 cm的两个同心圆的圆心,等腰三角形ABC的顶点A在外圆上,底边BC的两个端点都在内圆上,点O,A在直线BC的同侧.若线段BC与劣弧 所围成的弓形面积为S1,△OAB与△OAC的面积之和为S2,设∠BOC=2θ.‎ ‎(1) 当θ=时,求S2-S1的值;‎ ‎(2) 经研究发现当S2-S1的值最大时,纪念章最美观,求当纪念章最美观时,cos θ的值.[求导参考公式:(sin 2x)′=2cos 2x,(cos 2x)′=-2sin 2x]‎ 16‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于M,N两点.已知椭圆的短轴长为2,离心率为.‎ ‎(1) 求椭圆的标准方程;‎ ‎(2) 当直线MN的斜率为 时,求F1M+F1N的值;‎ ‎(3) 若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t,0),求实数t的取值范围.‎ 16‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知{an}是各项均为正数的无穷数列,数列{bn}满足bn=an·an+k(n∈N*),其中常数k 为正整数.‎ ‎(1) 设数列{an}前n项的积Tn=2,当k=2时,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2) 若{an}是首项为1,公差d为整数的等差数列,且b2-b1=4,求数列的前2 020 项的和;‎ ‎(3) 若{bn}是等比数列,且对于任意的n∈N*,an·an+2k=a,其中k≥2,试问:{an}是等比数列吗?请证明你的结论.‎ 16‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)=,g(x)=,其中e是自然对数的底数.‎ ‎(1) 若函数f(x)的极大值为,求实数a的值;‎ ‎(2) 当a=e时,若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值;‎ ‎(3) 设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.‎ 16‎ ‎2020届高三模拟考试试卷 数学附加题 ‎(满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A. (选修42:矩阵与变换)‎ 已知m∈R,α=是矩阵M=的一个特征向量,求M的逆矩阵M-1.‎ B. (选修44:坐标系与参数方程)‎ 在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2rsin θ(r>0).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C恒有公共点,求r的取值范围.‎ C. (选修45:不等式选讲)‎ 已知x>1,y>1,且x+y=4,求证:+≥8.‎ 16‎ ‎【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. 某“芝麻开门”娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同.开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.‎ ‎(1) 设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及数学期望E(X);‎ ‎(2) 求恰好成功打开4扇门的概率.‎ ‎23. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,EA,EB分别与y轴相交于M,N两点.当AB⊥x轴时,EA=2.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 设△EAB的面积为S1,△EMN的面积为S2,求 的取值范围.‎ 16‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(南通、扬州、泰州等七市)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. {-1,0,1,2} 2. 1 3. 5 4. 55 5.  6.  7.  8.  9. 9 10. -32 11. ‎12. - 13. (27,+∞) 14. [,)‎ ‎15. 解:(1) 在△ABC中,因为=,‎ 所以由正弦定理==,得5(b+c)(c-b)=a(5a-8b),‎ 即a2+b2-c2=ab,(4分)‎ 所以由余弦定理得cos C==.(7分)‎ ‎(2) 因为cos C=,C∈(0,π),所以sin C==,(9分)‎ 所以sin 2C=2sin Ccos C=.(12分)‎ 因为A=C,所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin 2C=.(14分)‎ 注:(1) 正弦定理与==,写一个不扣分,两者都不写,扣2分;余弦定理同样;‎ ‎(2) 只要有sin B=sin(A+C),就不扣分,否则扣2分.‎ ‎16. 证明:(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC,所以CC1⊥AC.(2分)‎ 因为AC⊥BC,BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面BCC1B1,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.(4分)‎ 因为AC⊂平面ACD,‎ 所以平面ACD⊥平面BCC1B1.(6分)‎ ‎(2) (证法1)取AC的中点F,连结DF,EF.‎ 因为在△ABC中,点E是BC的中点,点F是AC的中点,‎ 16‎ 所以EF∥AB,且EF=AB.(8分)‎ 因为点D是A1B1的中点,所以B1D=A1B1.‎ 因为在棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,且AB=A1B1,‎ 所以EF∥DB1,且EF=DB1,(10分)‎ 所以四边形EFDB1是平行四边形,所以B1E∥FD.(12分)‎ 因为B1E⊄平面ADC,FD⊂平面ADC,‎ 所以B1E∥平面ACD.(14分)‎ ‎(证法2)取AB的中点G,连结EG,B1G.‎ 因为在△ABC中,点E是BC的中点,点G是AB的中点,‎ 所以EG∥AC.‎ 因为GE⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,‎ 所以EG∥平面ACD.(8分)‎ 在棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,且AB=A1B1.‎ 因为点D是A1B1的中点,点G是AB的中点,‎ 所以AG∥DB1,且AG=DB1,‎ 所以四边形AGB1D是平行四边形,所以B1G∥AD.‎ 因为B1G⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,‎ 所以B1G∥平面ACD.(10分)‎ 因为EG∥平面ACD,BG,GE⊂平面B1GE,B1G∩GE=G,‎ 所以平面B1GE∥平面ACD.(12分)‎ 因为B1E⊂平面B1GE,‎ 所以B1E∥平面ACD.(14分)‎ 注:少一个条件2分全扣;(1)中没有“在直三棱柱ABCA1B1C1中”全扣.‎ ‎17. 解:过点O作OD⊥BC于点D,则点D为BC的中点.‎ 又△ABC为等腰三角形,所以A,O,D三点共线,‎ 所以∠AOB=∠AOC=π-θ.‎ 所以S1=×2θ×12-×12×sin 2θ=θ-sin 2θ,(2分)‎ 16‎ S2=2××1×2sin(π-θ)=2sin θ,θ∈(0,).(4分)‎ 注:只要有S1结果的就给2分;同样,只要有S2结果的就给2分.‎ ‎(1) 当θ=时,S2-S1=2sin θ-(θ-sin 2θ)=2sin -(-sin )=-.‎ 答:当θ=时,S2-S1的值为(-)cm2.(6分)‎ ‎(2) 设f(θ)=S2-S1=2sin θ-θ+sin 2θ,θ∈(0,),‎ 所以f′(θ)=2cos θ-1+cos 2θ=2(cos2θ+cos θ-1).(8分)‎ 令f′(θ)=0,得cos θ=,cos θ=(舍去),‎ 记cos θ0=,0<θ0<.(10分)‎ θ ‎(0,θ0)‎ θ0‎ ‎(θ0,)‎ f′(θ)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(θ)‎ 极大值 所以当cos θ0=时,f(θ)取得最大值,此时S2-S1的值最大.‎ 答:当纪念章最美观时,cos θ=.(14分)‎ 注:一个答案1分,写成“所以”不扣分;答案中没有单位cm2的,扣1分.‎ ‎18. 解:(1) 设椭圆的焦距2c,由解得a2=6,b2=2,c2=4.‎ 所以椭圆的标准方程为 +=1.(3分)‎ ‎(2) 因为直线MN的斜率为,且过点F2(2,0),所以直线MN的方程为y=(x-2).‎ 由得8x2-30x+27=0,解得x=,x=.‎ 所以M(,-),N(,),‎ 所以MN==.(6分)‎ 因为(MF1+MF2)+(NF1+NF2)=MF1+NF+MN=4,‎ 所以MF1+NF1=.(8分)‎ ‎(3) 设M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 16‎ 又P(t,0),t>2,所以=(x1-t,y1),=(x2-t,y2).‎ 因为点P在以MN为直径的圆上,所以⊥,‎ 所以·=(x1-t)(x2-t)+y1y2=0,‎ 所以x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=0.(10分)‎ ‎①当直线MN倾斜角为0时,N(-,0),M(,0),所以t=.‎ ‎②当直线MN倾斜角不为0时,设直线MN的方程为x=my+2.‎ 由消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,‎ 所以 所以x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4,‎ x1+x2=m(y1+y2)+4.(12分)‎ 所以(m2+1)y1y2+(2m-tm)(y1+y2)+4-4t+t2=0,‎ 所以m2=-≥0,(14分)‎ 解得0.‎ 由bn=an·an+k ①,bn+k=an+k·an+2k ②,‎ ‎②÷①得==qk.‎ 16‎ 因为an·an+2k=a,所以=,即()2=qk,所以=q(正常数).(12分)‎ 由bn=an·an+k ③,bn+1=an+1·an+k+1 ④,‎ ‎④÷③得=·=q (*).(14分)‎ 因为=q,所以=,将=代入(*)式,得()2=q,‎ 即=q(正常数),所以{an}为公比为q的等比数列.(16分)‎ ‎20. 解:(1) 因为f(x)=,则f′(x)=,(1分)‎ 令f′(x)=0,得x=e.因为a>0,列表如下:‎ x ‎(0,e)‎ e ‎(e,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 所以f(x)极大值=f(e)==,所以a=1.(3分)‎ ‎(2) 当a=e时,f(x)=,则f′(x)=,g(x)=,则g′(x)=.‎ 曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线互相垂直,‎ 所以f′(x0)·g′(x0)=-1,即·=-1,(5分)‎ 整理得x0ex0+eln x0-e=0.‎ 设r(x)=xex+eln x-e,则r′(x)=(x+1)ex+.‎ 因为x>0,所以r′(x)>0,‎ 所以r(x)=xex+eln x-e在(0,+∞)上单调递增.(7分)‎ 因为r(1)=0,且r(x0)=0,所以x0=1.(8分)‎ ‎(3) h(x)=-,设m(x)=ex-ex,则m′(x)=ex-e.令m′(x)=0,得x=1.‎ 列表如下:‎ x ‎(-∞,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ m′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ m(x)‎ 极小值 所以m(x)最小值=m(1)=0.‎ 所以ex≥ex,所以ln ex≥ln ex,即x≥1+ln x,即ln x≤x-1.(10分)‎ 注:主要出现上面一行内容,就给2分.‎ ‎① a≥时,ln a≥-1.因为0h(1)=≥0.(14分)‎ ‎②当01,‎ 所以h(a)=-ln a=+>>0.‎ 又h(x)在(0,1)上图象不间断,所以存在t∈(0,1),使h(t)=0,不合题意.‎ 综上,a的取值范围是[,+∞).(16分)‎ 16‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(二十)(南通、扬州、泰州等七市)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. A. 解:设α=是矩阵M=的一个特征向量,‎ 所以存在非零实数λ,使得Mα=λα,‎ 所以=λ,即解得,则M=.(5分)‎ 设M-1=,则MM-1=E,即=,所以 解得a=-,b=,c=,d=-,所以M-1=.(10分)‎ B. 解:将直线l的参数方程为(t为参数)化为普通方程为x-y-2=0.(3分)‎ 由ρ=2rsin θ(r>0),得ρ2=2rρsin θ,‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-r)2=r2.(6分)‎ 因为直线l与圆C恒有公共点,所以≤r,解得r≥2.‎ 所以实数r的取值范围是[2,+∞).(10分)‎ C. 证明:因为x>1,y>1,且x+y=4,由柯西不等式得 ‎(+)[(x-1)+(y-1)]≥(·+·)2=(x+y)2=16,(8分)‎ 即(+)×2≥16,所以+≥8.(10分)‎ ‎22. 解:(1) X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,‎ P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,‎ P(X=4)=×××+×××=,(每个1分)‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 16‎ P 所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=3.(5分)‎ ‎(2) (解法1)记成功打开1扇门的事件为A,‎ 则P(A)=+++×××=.(8分)‎ 记恰好成功打开4扇门的事件为B,‎ 则P(B)=C()4()=.‎ 答:恰好成功打开4扇门的概率为.(10分)‎ ‎(解法2)记成功打开1扇门的事件为A,则P(A)=1-×××=.(8分)‎ 记恰好成功打开4扇门的事件为B,则P(B)=C()4()=.‎ 答:恰好成功打开4扇门的概率为.(答案不写扣1分)(10分)‎ ‎23. 解:(1) 当AB⊥x轴时,AF=p,EF=p,‎ 所以EA=p=2,即p=,所以抛物线的方程为y2=2x.(2分)‎ ‎(2) 设直线AB的方程为x=my+,由得y2-2my-2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2m,y1y2=-2,‎ 则直线AE的方程为y=(x+).‎ 令x=0,得yM==,同理yN==,(4分)‎ 所以|yM-yN|==,(6分)‎ 其中m2y1y2+m(y1+y2)+2=|-2m2+4m2+2|=2m2+2,‎ 则 ==4m2+4≥4,因此的取值范围是[4,+∞).(10分)‎ 16‎
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