2018-2019学年河北省邯郸市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省邯郸市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省邯郸市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．设为实数，且，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可根据判断出项错误，然后令可判断出项和项错误，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故错；‎ 当时，，故错；‎ 当时，，故错，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。‎ ‎2．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可根据首项为以及公差为求出数列的通项公式，然后根据以及数列的通项公式即可求出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为数列为首项，公差的等差数列，‎ 所以，‎ 因为 所以，，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查如何判断实数为数列中的哪一项，主要考查等差数列的通项公式的求法，等差数列的通项公式为，考查计算能力，是简单题。‎ ‎3．在中，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可根据计算出的值，然后根据正弦定理以及即可计算出的值，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 由正弦定理可知，即，‎ 解得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据解三角形的相关公式计算的值，考查同角三角函数的相关公式，考查正弦定理的使用，是简单题。‎ ‎4．设向量，，若，则实数的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可根据向量的运算法则得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 因为，所以，‎ 解得，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据向量平行求参数，考查向量的运算法则以及向量平行的相关性质，向量，，如果，则有，是简单题。‎ ‎5．若直线与圆相切，则 （ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，圆方程为，‎ 所以圆心坐标为，圆的半径，‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线距离等于半径，即 解得或，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。‎ ‎6．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可将四个选项都转化为的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 中，函数，是偶函数，周期为；‎ 中，函数是奇函数，周期；‎ 中，函数，是非奇非偶函数，周期；‎ 中，函数是偶函数，周期.‎ 综上所述，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足，对于函数，其最小正周期为，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎7．已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 （ ）‎ A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，是不共线的非零向量，所以且，‎ 所以四边形是梯形，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题。‎ ‎8．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可根据数列是各项均为正数的等比数列以及计算出的值，然后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为等比数列的各项均为正数，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为以及在等比数列中有，考查计算能力，是简单题。‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以根据三视图绘出原图，并根据三视图得出原图的各边长，然后根据三棱锥的体积公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 根据三视图可知，该几何体是一个三棱锥，作出直观图如图所示，‎ 其底面的是等腰三角形，侧棱底面，且，，，所以该几何体的体积，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三视图绘出原图以及求三棱锥的体积，三棱锥的体积公式为，考查推理能力，是简单题。‎ ‎10．设，且，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可将转化为，然后将其化简为 ‎，最后利用基本不等式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时成立，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式为，考查化归与转化思想，是简单题。‎ ‎11．如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若,则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可根据点在边上设，然后将化简为，再然后根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为点在边上，所以可设，‎ 所以，‎ 因为点在线段上，所以三点共线，‎ 所以，解得，‎ 所以，，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量与向量共线，则，考查计算能力，是中档题。‎ ‎12．已知函数，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线，则下列判断正确的是 （ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图像关于点对称 ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为来确定的值，然后根据直线是对称轴以及即可确定的值，解出函数的解析式之后，通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 图像相邻的两个对称中心之间的距离为，即函数的周期为，由得，所以，又是一条对称轴，所以，，得，又，得，所以.‎ 最小正周期，项错误；‎ 令，，得对称轴方程为，，选项错误；‎ 由，，得单调递增区间为，，项中的区间对应，故正确；‎ 由，，得对称中心的坐标为，，选项错误，‎ 综上所述，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题。‎ 二、填空题 ‎13．在区间上，与角终边相同的角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据与终边相同的角可以表示为这一方法，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以与角终边相同的角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角的表示方法，考查对基本概念以及基本知识的熟练程度，考查了数学运算能力，是简单题。‎ ‎14．已知实数满足则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可以根据题意绘出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，‎ 即。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题。‎ ‎15．函数的值域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域。‎ ‎【详解】‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎16．已知在中，角的大小依次成等差数列，最大边和最小边的长是方程的两实根，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可根据角的大小依次成等差数列计算出，然后根据最大边和最小边的长是方程的两实根得到以及，最后根据余弦定理即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为角成等差数列，所以，‎ 又因为，所以.‎ 设方程的两根分别为、，则，‎ 由余弦定理可知：‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据余弦定理求三角形边长，考查等差中项以及韦达定理的应用，余弦定理公式为，体现了综合性，是中档题。‎ 三、解答题 ‎17．记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；‎ ‎(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知.‎ 当时，；‎ 当时，，适合上式.‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 则。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。‎ ‎18．已知是同一平面内的三个向量，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，且，求；‎ ‎（Ⅱ）若，且与垂直，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(1)根据向量平行的相关性质以及、即可得出向量，然后根据向量的模长公式即可得出结果；‎ ‎(2)首先可根据、写出与的坐标表示，然后根据向量垂直可得，最后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，，‎ 所以，，，‎ 所以。‎ ‎(2)因为，，所以，.‎ 因为与垂直，所以，‎ 即，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质，考查向量的坐标表示以及向量的模长公式，若、且，则，考查计算能力，是中档题。‎ ‎19．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段 为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；‎ ‎(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令方程中的，得，令，得.‎ 所以点的坐标分别为.‎ 所以圆的圆心是，半径是，‎ 所以圆的标准方程为.‎ ‎(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.‎ 若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.‎ 若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.‎ 圆的圆心到直线的距离，解得.‎ 则直线的方程为，即.‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的定义域；‎ ‎（Ⅱ）设是第一象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(1)本题可根据分式的分母不能为得出，然后解即可得出函数的定义域；‎ ‎(2)本题首先可根据以及同角三角函数关系计算出以及的值，然后对函数进行化简，得到，最后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得，，‎ 所以，，‎ 故的定义域为.‎ ‎ (2)因为，且是第一象限角，‎ 所以有，解得，.‎ 故 ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用，考查的公式有、、、二倍角公式以及两角差的余弦公式，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎21．已知数列的前项和，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(1)本题可令求出的值，然后令求出，即可求出数列的通项公式；‎ ‎(2)首先可令，然后根据错位相减法即可求出数列的前项和。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当，，得.‎ 当时，，,‎ 两式相减，得，化简得，‎ 所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以。‎ ‎(2)由(1)可知，令，‎ 则①，‎ 两边同乘以公比，得到②，‎ 由①②得：‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列通项的求法以及数列前项和的方法，求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等；求数列前项和常用的方法有：错位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法等，属于中等题。‎ ‎22．在中，，且边上的中线长为，‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(1)本题可根据三角函数相关公式将化简为，然后根据即可求出角的大小；‎ ‎(2)本题首先可设的中点为，然后根据向量的平行四边形法则得到，再然后通过化简计算即可求得，最后通过三角形面积公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由正弦定理边角互换可得，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，整理得.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即，所以.‎ 因为，所以，即。‎ ‎(2)设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知 所以，即，‎ 因为，，所以，解得（负值舍去）.‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换公式及解三角形相关公式的应用，考查了向量的平行四边形法则以及向量的运算，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题。‎