2019届二轮复习（理）第一部分方法、思想解读第3讲　分类讨论思想、转化与化归思想课件（30张)

2019届二轮复习（理）第一部分方法、思想解读第3讲　分类讨论思想、转化与化归思想课件（30张)

第 3 讲　分类讨论思想、转化 与 化 归思想 - 2 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 一、分类讨论思想 从近五年高考试题来看 , 分类讨论思想在高考试题中频繁出现 , 现已成为高考数学的一个热点 , 也是高考的难点 . 高考中经常会有几道题 , 解题思路直接依赖于分类讨论 , 特别在解答题中 ( 尤其导数与函数 ) 常有一道分类讨论求解的把关题 , 选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题 . 1 . 分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 , 首先需要把研究对象按某个标准分类 , 然后对每一类分别研究 , 得出每一类的结论 , 最后综合各类结果得到整个问题的解答 . 2 . 分类讨论的原则 (1) 不重不漏 ;(2) 标准要统一 , 层次要分明 ;(3) 能不分类的要尽量避免 , 决不无原则地讨论 . - 3 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 3 . 分类讨论的常见类型 (1) 由数学概念而引起的分类讨论 ;(2) 由数学运算要求而引起的分类讨论 ;(3) 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 ;(4) 由图形的不确定性而引起的分类讨论 ;(5) 由参数的变化而引起的分类讨论 ;(6) 由实际意义引起的讨论 . - 4 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用一 　 由数学的概念引起的分类讨论   例 1 已知 a , b> 0, 且 a ≠1, b ≠1 . 若 log a b> 1, 则 ( 　　 ) A . ( a- 1)( b- 1) < 0 B . ( a- 1)( a-b ) > 0 C . ( b- 1)( b-a ) < 0 D . ( b- 1)( b-a ) > 0 答案 解析 解析 关闭 当 0 1 得 b 0,( a- 1)( a-b ) < 0,( b-a )( b- 1) > 0 . ∴ 排除 A,B,C . 当 a> 1 时 , 由 log a b> 1 得 b>a> 1 . ∴ b-a> 0, b- 1 > 0 . ∴ ( b- 1)( b-a ) > 0 . 故选 D . 答案 解析 关闭 D - 5 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 由数学概念引起的分类讨论有 : 绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等 . - 6 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 1 若函数 f ( x ) = ln( ax 2 +x ) 在区间 (0,1) 内单调递增 , 则实数 a 的取值范围为 　 .  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 7 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用二 　 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论   例 2 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 3 +S 6 = 2 S 9 , 则数列的公比 q 是 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 8 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 1 . 在中学数学中 , 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性 , 基本不等式 , 等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论 , 或者在一定的限制条件下才成立 , 应根据题目条件确定是否进行分类讨论 . 2 . 有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的 . 比如除以一个数时 , 这个数能否为零的讨论 ; 解方程及不等式时 , 两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论 ; 二次方程运算中对两根大小的讨论 ; 差值比较中的差的正负的讨论 ; 有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等 . - 9 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 2 若关于 x 的不等式 ( a- 2) x 2 + 2( a- 2)· x- 4 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A . ( -∞ ,2] B . [ - 2,2] C . ( - 2,2] D . ( -∞ , - 2) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 10 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用三 　 根据字母的取值情况分类讨论   例 3 已知 a , b ∈ R , 且 e x ≥ a ( x- 1) +b 对 x ∈ R 恒成立 , 则 ab 的最大值是 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 11 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 含有参数的分类讨论问题主要包括 :(1) 含有参数的不等式的求解 ;(2) 含有参数的方程的求解 ;(3) 函数解析式中含参数的最值与单调性问题 ;(4) 二元二次方程表示曲线类型的判定等 . - 12 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 3 若函数 f ( x ) =a e x -x- 2 a 有两个零点 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 13 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 1 . 简化分类讨论的策略 :(1) 消去参数 ;(2) 整体换元 ;(3) 变更主元 ;(4) 考虑反面 ;(5) 整体变形 ;(6) 数形结合 ;(7) 缩小范围等 . 2 . 分类讨论遵循的原则是 : 不遗漏、不重复 , 科学地划分 , 分清主次 , 不越级讨论 . - 14 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 二、转化与化归思想 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 , 数学问题的解决 , 离不开转化与化归 , 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等 . 1 . 转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法 , 就是在研究和解决有关数学问题时 , 采用某种手段将问题通过变换使之转化 , 进而得到解决的一种思想方法 . 2 . 转化与化归的原则 (1) 熟悉化原则 ;(2) 简单化原则 ;(3) 直观化原则 ;(4) 正难则反原则 ;(5) 等价性原则 . - 15 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 3 . 常见的转化与化归的方法 (1) 直接转化法 ;(2) 换元法 ;(3) 数形结合法 ;(4) 构造法 ;(5) 坐标法 ;(6) 类比法 ;(7) 特殊化方法 ;(8) 等价问题法 ;(9) 补集法 . - 16 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用一 　 特殊与一般的转化   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 17 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 1 . 当问题难以入手时 , 应先对特殊情形进行观察、分析 , 发现问题中特殊的数量或关系 , 再推广到一般情形 , 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡 , 这就是特殊化的化归策略 . 2 . 数学题目有的具有一般性 , 有的具有特殊性 , 解题时 , 有时需要把一般问题化归为特殊问题 , 有时需要把特殊问题化归为一般问题 . - 18 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 1 在定圆 C : x 2 +y 2 = 4 内过点 P ( - 1,1) 作两条互相垂直的 直 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 19 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用二 　 命题的等价转化   例 2 若函数 f ( x ) = (1 -x 2 )( x 2 +ax+b ) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , 则 f ( x ) 的最大值为 　　　　　 .  16 转化一 若只根据 f ( x ) 图象关于直线 x=- 2 对称 , 得零点对称 , 条件转化为 f ( - 1) =f ( - 3), f (1) =f ( - 5), 解得 a= 8, b= 15, 其余由求导完成 , 恐有因式分解的障碍 . 转化二 由于函数 y=f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 , 当 x 取一对相反数时 , 函数值不变 , 将函数 y=f ( x ) 的图象向左平移 2 个单位 , 得函数 y=f ( x+ 2) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , 当 ( x+ 2) 取一对相反数时 , 函数值不变 , 于是 , 函数的解析式只能含 ( x+ 2) 的偶次方 . - 20 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 解析 : ( 法一 ) ∵ 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , ∴ f ( - 1) =f ( - 3), f (1) =f ( - 5), f ( - 2) = [1 - ( - 2) 2 ][( - 2) 2 + 8 × ( - 2) + 15] =- 3(4 - 16 + 15) =- 9 . - 21 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维 升华 将已知条件进行转换 , 有几种转换方法就有可能得出几种解题方法 . 故 f ( x ) 的最大值为 16 . ( 法二 ) 据已知可设 f ( x ) =- ( x+ 2) 4 +m ( x+ 2) 2 +n , 据 f (1) =f ( - 1) = 0, 解出 m= 10, n=- 9, 则 f ( x ) =- ( x+ 2) 4 + 10( x+ 2) 2 - 9 =- [( x+ 2) 2 - 5] 2 + 16, 故最大值为 16 . - 22 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 2 (2018 四川广元适应性统考 ) 函数 f ( x ) = 若 关于 x 的方程 2 f 2 ( x ) - (2 a+ 3) f ( x ) + 3 a= 0 有五个不同的零点 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 23 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用三 　 常量与变量的转化   例 3 已知函数 f ( x ) =x 3 + 3 ax- 1, g ( x ) =f' ( x ) -ax- 5, 其中 f' ( x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对满足 - 1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值 , 都有 g ( x ) < 0, 则实数 x 的取值范围为 　 .  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 24 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 在处理多变量的数学问题时 , 当常量 ( 或参数 ) 在某一范围取值 , 求变量 x 的范围时 , 经常进行常量与变量之间的转化 , 即可以选取其中的参数 , 将其看作是变量 , 而把变量看作是常量 , 从而达到简化运算的目的 . - 25 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 3 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数 , 若 f (1 -ax-x 2 ) ≤ f (2 -a ) 对任意 a ∈ [ - 1,1] 恒成立 , 则 x 的取值范围为 　　　　　　　　　　　　 .  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 26 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 应用四 　 函数、方程与不等式之间的转化   例 4 关于 x 的不等式 x + - 1 -a 2 + 2 a> 0 对 x ∈ (0, +∞ ) 恒成立 , 则实数 a 的取值范围为 　 .  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 27 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 思维升华 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系 , 解决方程、不等式的问题需要函数帮助 , 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助 , 因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简 , 常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题 ; 将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题 ; 将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等 . - 28 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 突破训练 4 已知函数 f ( x ) = 3e |x| . 若存在实数 t ∈ [ - 1, +∞ ), 使得对任意的 x ∈ [1, m ], m ∈ Z , 且 m> 1, 都有 f ( x+t ) ≤ 3e x , 求 m 的最大值 . 解 : 因为当 t ∈ [ - 1, +∞ ), 且 x ∈ [1, m ] 时 , x+t ≥ 0, 所以 f ( x+t ) ≤ 3e x ⇔ e x+t ≤ e x ⇔ t ≤ 1 + ln x-x. 所以原命题等价转化为 : 存在实数 t ∈ [ - 1, +∞ ), 使得不等式 t ≤ 1 + ln x-x 对任意 x ∈ [1, m ] 恒成立 . 令 h ( x ) = 1 + ln x-x ( x ≥ 1) . 所以函数 h ( x ) 在 [1, +∞ ) 内为减函数 . 又 x ∈ [1, m ], 所以 h ( x ) min =h ( m ) = 1 + ln m-m. 所以要使得对任意 x ∈ [1, m ], t 值恒存在 , 只需 1 + ln m-m ≥ - 1 . - 29 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 所以满足条件的最大整数 m 的值为 3 . - 30 - 思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳 1 . 在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时 , 没有一个统一的模式 , 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换 . 2 . 转化与化归思想在解题中的应用 (1) 在三角函数和解三角形中 , 主要的方法有公式的 “ 三用 ”( 顺用、逆用、变形用 ) 、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化 . (2) 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的综合题目时 , 常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化 . (3) 在解决数列问题时 , 常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 . (4) 在利用导数研究函数问题时 , 常将函数的单调性、极值 ( 最值 ) 、切线问题 , 转化为其导函数 f' ( x ) 构成的方程、不等式问题求解 .