江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省盐城中学2019—2020学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．请把答案涂写在答题卡相应位置．‎ ‎1.已知命题：“”，则是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D.‎ 考点：命题的否定.‎ ‎2.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.‎ ‎【详解】，‎ 抛物线的准线方程为，‎ 即，故选A .‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.‎ ‎3.两个数4和16的等比中项为（ ）‎ A. 8 B. ±8 C. 4 D. ±4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比中项的定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】4和16的等比中项为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查等比中项的定义，属于基础题 ‎4.已知双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的的方程，可直接得出结果.‎ ‎【详解】令，得，‎ 即双曲线双曲线的渐近线方程为.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.‎ ‎5.设x，y均为正数，且x+4y＝4，则xy的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ x+4y为定值，由基本不等式，即可求出积xy的最大值.‎ ‎【详解】,‎ ‎,当且仅当时，等号成立.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎6.ac2＞bc2是a＞b的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】若成立，则成立；‎ 若成立，而，则有，故不成立；‎ 是的充分不必要条件.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决问题的关键，属于基础题.‎ ‎7.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）‎ A. ﹣2020 B. ﹣1010 C. ﹣505 D. 1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.若∃x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. ﹣3≤a≤0 B. a≥0 C. a≥1 D. a≥﹣3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等价于二次函数的最大值不小于零，即可求出答案.‎ ‎【详解】设，‎ ‎，使得不等式成立，‎ 须，即，或，‎ 解得.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查特称命题成立求参数的问题，等价转化是解题的关键，属于基础题.‎ ‎9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，则Sn最大时n的值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，则有最大，即可求出答案.‎ 详解】,‎ ‎,‎ ‎,最大.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查等差数列的前和的最值，以及等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎10.若点P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义等于到准线的距离，数形结合即可求出答案.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，过点做，垂直为，‎ ‎，‎ 当且仅当，三点共线时，等号成立.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎11.已知正数x，y满足log2（x+y+3）＝log2x+log2y+1，则x+y的取值范围是（ ）‎ A. [6，+∞） B. （0，6] C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知等式，确定出的等量关系，再用基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 解得（舍去）‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查对数的运算性质及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎12.在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a2＝4，a3＝3，a7＝2，则此数列{an}的前100项的和S100＝（ ）‎ A. 296 B. 297 C. 298 D. 299‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式可得是周期为3的周期数列，有，求得一个周期和，进而可求出前100项和.‎ ‎【详解】因为对任意的均有为定值（n∈N*），‎ 所以,‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查用分组并项求和，解题关键是递推公式的灵活应用，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．‎ ‎13.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____．‎ ‎【答案】（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则必有，解可得：m＜2，‎ 即m的取值范围是.‎ 故答案为:）‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.‎ ‎14.已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，由已知等式，结合基本不等式，即可求出最小值.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 又由正实数a，b满足a+b＝1，‎ 则（）（a+b）＝5，‎ 又由24，‎ 当且仅当b＝2a时等号成立，‎ 则有59，‎ 即的最小值为9.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题的关键是“1”的代换，属于中档题.‎ ‎15.已知数列{an}满足a1＝21，an+1﹣an＝2n，则的最小值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件用累加法求出的通项，再构造函数，利用函数单调性，求出数列的单调性，即可求的最小值.‎ ‎【详解】时，‎ 时，‎ ‎ ‎ ‎，也满足上式，‎ ‎∴n，‎ ‎∵在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，‎ ‎∴在（0，4]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，且n∈N+，‎ ‎∴n＝4或5时最小，n＝4时，；‎ n＝5时，,‎ 的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，考查数列的单调性，解题的关键熟练掌握常考的递推公式求通项的方法，常用的类型有：(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式；‎ ‎(2)已知（即）求，作差法：；‎ ‎(3)已知求，作商法：；‎ ‎(4)若求累加法：；‎ ‎(5)已知求，累乘法：；‎ ‎(6)形如或，倒数成等差；‎ ‎(7)形如用待定系数法转化为等比数列.‎ ‎16.已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足2a•sin∠PF1F2＝3c•sin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围为_____．‎ ‎【答案】0＜e ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件等式，结合正弦定理，得出的关系，利用椭圆定义和的范围，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】在△PF1F2中，由正弦定理知，‎ 又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，三点不共线，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，椭圆的定义和性质，考查计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎17.已知p：∀x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0．‎ ‎（1）若命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若q是r的必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) （﹣∞，﹣1]，(2) [1，2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题间的关系，即求命题为真时，的取值范围，利用二次函数的性质，可求得结果；‎ ‎（1）求出命题为真时，的集合，q是r的必要条件，转化为集合间关系，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】p：∀x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，‎ ‎∴根据二次函数的性质可知，x2+2x的最小值﹣1， ‎ 故P：a≤﹣1，‎ 由x2﹣4x+3≤0可得1≤x≤3，‎ 由（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，可得m≤x≤m+1，‎ 故q：A＝[1，3]，r：B＝[m，m+1]，‎ ‎（1）若命题p的否定是假命题，即p为真命题，‎ 故a的范围（﹣∞，﹣1]，‎ ‎（2）若q是r的必要条件，则r⇒q，从而有B⊆A，‎ ‎∴，‎ 解可得，1≤m≤2，‎ 故m的范围[1，2]．‎ ‎【点睛】本题考查命题与命题的否定的真假关系，考查必要条件与集合集合间的关系，属于基础题.‎ ‎18.已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点与点A重合．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过点A且斜率为双曲线的离心率，求直线l被抛物线截得的弦长．‎ ‎【答案】(1) y2＝4x；(2)5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由双曲线的标准方程得右顶点坐标，即抛物线焦点坐标，可求抛物线标准方程；‎ ‎（2）根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义,即可求出过抛物线焦点的相交弦长.‎ ‎【详解】（1）由双曲线，得a＝1，‎ ‎∴抛物线的焦点即双曲线的右顶点A为（1，0），‎ 则抛物线的标准方程为y2＝4x；‎ ‎（2）由双曲线方程可得，a＝1，，‎ 则直线l的斜率为2．‎ ‎∴直线l的方程为y＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．‎ 联立，得x2﹣3x+1＝0，，‎ 设两交点横坐标分别为，则，‎ ‎∴直线l被抛物线截得的弦长为x1+x2+p＝3+2＝5．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线简单几何性质、抛物线的标准方程以及直线与抛物线相交弦长，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎19.已知等比数列{an}满足a1+a4＝18，a2+a5＝36．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】(1) an＝2n．(2) Sn2n+1﹣2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件求出等比数列公比和首项，即可求出通项公式an；‎ ‎（2）先求{bn}的通项公式，转化为求等差数列和等比数列的前n项和，可求出Sn．‎ ‎【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a1+a4＝18，a2+a5＝36．‎ ‎∴a1（1+q3）＝18，q（a1+a4）＝18q＝36，‎ 解得q＝2＝a1，‎ ‎∴an＝2n．‎ ‎（2）由（1）可得：bn＝an+log2an＝2n+n．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和 Sn2n+1﹣2．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的前n项和，属于基础题.‎ ‎20.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？‎ ‎【答案】（1）（x ＞ 1）；（2）时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式，其定义域是. ‎ ‎(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中,,所以.‎ 在中，，‎ 由余弦定理，得，‎ 即 ，‎ 所以 . ‎ 由， 得. 又因为，所以.‎ 所以函数的定义域是. ‎ ‎ (2) .‎ 因为（）， 所以 即 . ‎ 令则. 于是 ， ‎ 由基本不等式得，‎ ‎ 当且仅当，即时取等号. ‎ 答：当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元. ‎ ‎21.如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．‎ ‎①求直线PA与PB的斜率之积；‎ ‎②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．‎ ‎【答案】(1)1．(2) ① ．②平行．理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）离心率值转化为关系，再把点坐标代入方程，即可求出椭圆标准方程；‎ ‎（2）①求出方程，设出点坐标，可求出直线PA与PB的斜率之积；‎ ‎②求出直线方程，分别与椭圆方程联立，求出两点坐标，代入斜率公式，求出直线的斜率，然后再判断与直线是否平行.‎ ‎【详解】（1）∵椭圆过点D（，）,且离心率为 ‎∴， ‎ ‎∴椭圆的方程为1．‎ ‎（2）①由（1）知A（﹣2，0），B（0，1），‎ 直线OD方程为y，‎ 点P在直线OD上，设P（﹣2y0，y0），‎ kPA•kPB．‎ ‎②设E（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立直线AP：y与椭圆的方程得，‎ ‎（2y02﹣2y0+1）x2+4y02x+8y0﹣4＝0，‎ ‎∴﹣2+x1，‎ ‎∴x1，y1，‎ 联立直线BP：y与椭圆的方程得，‎ ‎，‎ ‎∴x2，y2，‎ ‎∴‎ 又因为kAB，∴kAB＝kEQ，‎ ‎∴直线AB与EQ是平行．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线相交点坐标的求法，以及斜率间的关系，考查计算能力，属于难题.‎ ‎22.已知数列{an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1＝1，．‎ ‎①求数列{bn}的通项公式bn；‎ ‎②若存在p，q，k∈N*，p＜q＜k，使得ambq，amanbp，anbk成等差数列，求m+n的最小值．‎ ‎【答案】(1) an．(2) ①bn＝2n﹣1；②7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据前n项和与通项的关系，即可求出通项公式；‎ ‎（2）①将代入递推公式中，用裂项相消求出，再由前n项和求出通项；‎ ‎②由等差数列的中项性质，求出的不等量关系，结合基本不等式，即可得到最小值．‎ ‎【详解】（1）∵数列{an}的前n项和．‎ ‎∴当n＝1时，a1＝S1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，‎ 当时，a1，满足上式，‎ ‎∴an．‎ ‎（2）①∵‎ ‎=（）+（）+（）+…+（）‎ ‎1．‎ ‎∴1，‎ ‎∴Tn+1＝2n+1﹣1，Tn＝2n﹣1，‎ 把上面两式相减得，bn+1＝2n，‎ ‎∴时，，‎ 当时，满足上式，‎ ‎②由ambq，amanbp，anbk成等差数列，‎ 有2amanbp＝ambq+anbk，‎ 即2•••，‎ 由于p＜q＜k，且为正整数，所以q﹣p≥1，k﹣p≥2，‎ 所以mn＝m•+n•≥2m+4n，‎ 可得 mn≥2m+4n，1，‎ 的最小值为12，‎ 此时或或，‎ 的最小值为12.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列的前n项和以及通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎