【数学】2019届一轮复习人教A版 解析几何 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 解析几何 学案

二、小题专项，限时突破 ‎5．解析几何 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)‎ ‎1．已知a为实数，直线l1：ax＋y＝1，l2：x＋ay＝2a，则“a＝－1”是“l1∥l2”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析] 由“l1∥l2”得a2－1＝0，且a×2a≠1×1，解得a＝－1或a＝1，所以“a＝－1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·广州一模)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是( )‎ A．x2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋y2＝2‎ C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝4‎ ‎[解析] 抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，故r＝‎ ＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.选A.‎ ‎[答案] A ‎3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C.－1 D.－1‎ ‎[解析] 根据题意可知，在Rt△PF1F2中，|PF2|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝45°，所以|F1F2|＝|PF2|，所以＝2c，又b2＝a2－c2，代入整理得c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，即e＝－1±，又00)上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的平分线所在直线的方程为( )‎ A．2x＋y－12＝0 B．x＋2y－12＝0‎ C．2x－y－4＝0 D．x－2y＋4＝0‎ ‎[解析] 因为点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以16＝8p ‎，所以p＝2，所以抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，E(－1,4)．由抛物线的定义可得|EA|＝|AF|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线．因为直线EF的斜率k＝－2，所以∠EAF的平分线所在直线的方程为y－4＝(x－4)，即x－2y＋4＝0.‎ ‎[答案] D ‎7．(2017·宁波九校联考(二))过双曲线x2－＝1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2＝，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由题意可知，左顶点A(－1,0)．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠±1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×＝－，得b＝2，故e＝＝.‎ ‎[答案] C ‎8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点P在双曲线的左支上，若|BN|－|AN|＝12，则a＝( )‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎[解析] 如图，连接PF1，PF2，因为F1是MA的中点，P是MN 的中点，所以PF1是△MAN的中位线，所以|PF1|＝|AN|，同理|PF2|＝|BN|，所以||BN|－|AN||＝2||PF2|－|PF1||.因为P在双曲线的左支上，所以根据双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a，所以||BN|－|AN||＝2||PF2|－|PF1||＝4a＝12，所以a＝3.‎ ‎[答案] A ‎9．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M，和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.‎ ‎[答案] A ‎10．若抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，‎ N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T，则·的值为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎[解析] 依题意可知，F(0,1)，直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．由x2＝4y，得y′＝x，所以切线MT的方程为y－y1＝x1(x－x1) ①，切线NT的方程为y－y2＝x2(x－x2) ②.由①②得，T＝(2k，－1)，则＝(2k，－2)，所以·＝0.‎ ‎[答案] A ‎11．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是( )‎ A．(1,2) B. C．(2，＋∞) D. ‎[解析] 双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设P，则有＝，＝，由PA⊥FP，得· ‎＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝0，整理得m2－3ma＋2a2＝0，由题意可得Δ＝9a2－4·2a2≥0，即有a2≥8b2＝8(c2－a2)，即8c2≤9a2，则e＝≤.由e>1，可得10)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )‎ A．(1，) B．(2，)‎ C．(2，) D．(1，)‎ ‎[解析] 当l的斜率不存在时，易知直线l有2条，所以当l的斜率存在时，直线l有2条．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入椭圆方程相减，整理得2(y1＋y2)(y1－y2)＝－(x1＋x2)(x1－x2)．当l的斜率k存在时，利用点差法可得2ky0＝－x0.因为直线l与圆相切，所以＝－，所以x0＝2.将x＝2代入椭圆方程，得y2＝6，所以－0)．由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.‎ ‎[答案] ±4‎ ‎15．设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．‎ ‎[解析] 由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝，∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin60°＝××＝.‎ ‎[答案] ‎16．(2017·昆明二模)直线l：y＝k(x＋)与曲线C：x2－y2＝1(x<0)交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．‎ ‎[解析] 曲线C：x2－y2＝1(x<0)的渐近线方程为y＝±x，直线l：y ‎＝k(x＋)与曲线C交于P，Q两点，所以直线的斜率k>1或k<－1，所以直线l的倾斜角α∈，由于直线l的斜率存在，所以α≠，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ ‎[答案] ∪