高考数学专题复习：生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例
一、选择题
1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝，则总利润最大时，年产量是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
2、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
3、若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
4、某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
5、已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
6、某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2 (0
400时，p′<0恒成立，
易知当x＝300时，总利润最大．]
2、D [设高为x cm，则底面半径为 cm，
体积V＝x·(202－x2) (00，
当x∈时，V′<0，
所以当x＝时，V取最大值．]
3、C [设底面边长为a，直三棱柱高为h.
体积V＝a2h，所以h＝，
表面积S＝2·a2＋3a·＝a2＋，
S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
经验证，当a＝时，表面积最小．]
4、A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，
如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．]
5、 C
x
(0,40)
40
(40,60)
V′(x)
＋
0
－
V(x)
极大值
可见当x＝40时，V(x)达到最大值．]
[y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当00；当x>9时，
y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．]
6、 B [V′(x)＝60x－x2＝0，x＝0或x＝40.
二、填空题
7、3
解析 设半径为r，则高h＝＝.
∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·＝πr2＋.
S′(r)＝2πr－，
令S′(r)＝0，得r＝3.
∴当r＝3时，S(r)最小．
8、1∶1
解析 设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，所以窗户周长L＝πx＋
2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，
x∈时，L′<0，
x∈时，L′>0，
所以当x＝ 时，L取最小值，
此时＝＝－＝－＝1.
9、5
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，
令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
三、解答题
10、解 收入R＝q·p＝q＝25q－q2.
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100 (00；
当8415时，f′(x)>0；
当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小
值，此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
