2018届二轮复习 函数的单调性与最值 学案（全国通用）
2.2 函数的单调性与最值
考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)
答案 b>a>c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
典例 f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是________．
答案 (8,9]
解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，
由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f(x(x－8))≤f(9)，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，
所以有解得80)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．
答案 8
解析 f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，
作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是，所以解得a＝8.
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________________．
答案
解析 由题意知，f＝－f＝0，
f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
∴＞f或＞f，
∴＞或－＜＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
∴原不等式的解集为.
1．(2017·江苏前黄高级中学月考)函数f(x)＝的单调递增区间是________．
答案
解析 由于y＝2u在R上单调递增，而u＝3x－x2在上单调递增，在上单调递减，
故f(x)的单调递增区间是.
2．函数f(x)＝的最大值为________．
答案
解析 由于g(x)＝x2－x＋1的最小值为，
故f(x)＝的最大值为.
3．(2017·江苏宿迁中学质检)函数y＝(x∈R)的值域是________．
答案 [0,1)
解析 方法一 由y＝＝1－，
又0<≤1，则－1≤－<0，
所以0≤y<1，故函数的值域为[0,1)．
方法二 由y＝，得x2＝，而x2≥0，
故≥0，得0≤y<1，函数的值域为[0,1)．
4．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1.
5．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________．
答案 c1)是增函数，故a>1，
所以a的取值范围为1f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2>0，得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，
定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0恒成立，
所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
所以a>3x－x2，
令h(x)＝3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
所以h(x)max＝h(2)＝2，
所以a>2.
