河北省邯郸市2020届高三3月空中课堂备考检测（文）数学（解析版）

河北省邯郸市2020届高三3月空中课堂备考检测（文）数学（解析版）

河北省邯郸市 2020 届 高三 3 月空中课堂备考检测（文） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．设复数 ，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若 ，则 等于 A． B． C． D． 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查 100 名高一学生，得到 列联表如下： 由此得出的正确结论是 A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“选择物理与性别有关” B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“选择物理与性别无关” C．有 的把握认为“选择物理与性别有关” D．有 的把握认为“选择物理与性别无关” 5．设变量 ， 满足约束条件 则 的最小值为 A．2 B． C．4 D． 6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称 为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为 选择物理 不选择物理 总计 男 35 20 55 女 15 30 45 总计 50 50 100 3 4 = − iz i z }31{},1,0,1{ <<−∈=−= xNxBA BA }1,0{ }1,0,1{− }2,1,0,1{− }3,2,1,0,1{− 3 3ln3 log log 2a b e c= = =， ， a b c< < c b a< < b a c< < b c a< < 2 2× 0.01 0.01 0099.9 0099.9 x y 1, 2 2, 1 0, + ≥  − ≤  − + ≥ x y x y x y ( )2 23= − +z x y 4 5 5 16 5 A．120 B．145 C．270 D．285 7．函数 的部分图象大致为 A． B． C． D． 8．如图一，在 中， ， ， 为 中点， ，将 沿 翻折， 得到直二面角 ，连接 ， 是 中点，连接 ，如图二，则下列结论正确的是 A． B． C． 平面 D． 平面 9．设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 10．已知点 为抛物线 的焦点.过点 的直线 交抛物线 于 两点，交准线于点 .若 ， ，则 为 A． B． C． D． 11．若点 在函数 的图象上，且 ．给出关于 的如下命题 的最小正周期是 的对称轴为 其中真命题的个数是 1( ) cos1 x x ef x xe += ⋅− ABC∆ ACAB = 120=∠A D BC ACDE ⊥ CDE∆ DE BDEC −− BC F BC AF CDAD ⊥ DEAF // ⊥DE ACE //AF CDE m n 2m n+ = 2 3 1 1 + +++ n n m 2 3 3 5 4 7 5 9 F 2: 2 ( 0)= >C y px p F l C A B， M 0=+ BABM 9=AB p 2 3 4 5 ）（），（），（ 2,2,1,0 21 −xCxBA )20,0)(sin(2)( πϕωϕω <<>+= xxf 5min =BC ( )f x )(: xfp 10 )(: xfq )(13 Zkkx ∈+= )2019()2020(: ffr < A． B． C． D． 12．设 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 ， ，若 ，则 _______. 14．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果 三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______. 15 ． 锐 角 的 内 角 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 则 =_______. 16．已知 分别是双曲线 的左右顶点， 是双曲线上异于 的动点， 若直线 的斜率分别为 ，始终满足 ，其中 ，则 的离心率为 ________. 三、解答题：共 70 分 17．（12 分）数列 是公差不为 0 的等差数列，若 ，且 ， ， 成等比数列. （1）证明： 是数列 中的一项；（2）记 为数列 的前 项和，求数列 的前 项和 . 0 1 2 3 1, 0( ) 1, 0 x x e x xf x e x x−  + + ≥=  − + < [ ], 1x m m∈ + (2 ) ( 2 )f x f x m− ≥ + m 1− 0 1 2 )12( ，=a )4( ，xb = ba ⊥ =+ || ba ABC△ A B C, , , ,a b c 1b = CABc cossin2cos −= B BA, )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC M BA, MBMA, 21,kk )()( 21 kfkf = )2ln()( xxf = C }{ na 4 22a a= 4 4a 8a 4 }{ na nS }{ na n }1{ nS n nT 18．（12分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 点 为 的中点，平面 交侧棱 于点 ，且四边形 为平行四边形. （1）求证：平面 平面 ；（2）当 时，求四棱锥 的体积. 19．（12 分）某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自独立的 进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨量等因素，随机记录了 天的日入库水量数据（单位:千 ），得到下面的柱状图（如图甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发 或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消 失量，随机记录了 天的库区日消失水量数据（单位:千 ），并将观测数据整理成频率分布直方图（如 图乙）. （1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；（2）以频率作为概率，试解决如下问题：①分别估计日流 入水量不少于 千 和日消失量不多于 千 的概率；②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了 还是减少了，变化的量是多少？（一年按 天计算）,说明理由. ABCDP − ⊥PC ABCD 1== ADAB CDAB // ADAB ⊥ E PC ABE PD F ABEF ⊥PBD PBC CDPC = ABEFP − 100 3m 100 3m 20 3m 20 3m 365 20.已知椭圆 过点 且离心率为 .（1）求椭圆 的标准方程； （2）若椭圆 上存在三个不同的点 ，满足 ，求四边形 的面积. 21.已知函数 有两个零点 ．（1）求 的取值范围； （2）求证： . )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC )3,32(M 2 1 C C PBA ，， OPOBOA =+ OAPB axexf x 2)( += 21 xx， )( 12 xx > a 12 12 12 )(2lnln xx xxxx + −>− （二）选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应 的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的 首题进行评分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系中，点 是曲线 ： （ 为参数）上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到 ，设点 的轨迹 为曲线 ． （1）求曲线 ， 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点 的坐标为 ，射线 与 曲线 分别交于 两点，求 的面积． 23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ．（1）当 时，求 的解集； （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围。 P 1C 2cos 2 2sin x t y t =  = + t O x O OP 90 OQ Q 2C 1C 2C M (4, )2 π : ( 0)6l πθ ρ= > 1 2C C、 ,A B MAB△ )(1)1()( axxxaxxf +−+++= 0=a 0)( ≥xf ( ) 0 = 3 3log log 2b e c= > = c b a< < 2 2 100 (15 20 30 35) 9.091(15 35) (15 30) (30 20) (35 20)K × × − ×= ≈+ × + × + × + 9.091 6.635> A ( )2 23= − +z x y (3,0) 2 2 0x y− − = n na 1 2 1 3 2 4 31, 4, 7, 10a a a a a a a= − = − = − = ⋅⋅⋅ 1 3( 1) 1n na a n−− = − + (3 1) 2n n na −= 10 145a = 解析:因为 ，所以 为奇函数， 排除 ，当 时， ，排除 ，故选 . 8．答案：C 解析：由题意可知 ，所以 平面 ，故选 . 9．答案：D 解析：当 时， ， 因为 ， 当且仅当 时，即 取等号，则 . 10．答案: C 解析:过 做准线的垂线，垂足为 轴与准线交点为 ， 设 ，则 ， ，因为 ， . 11．答案：C 解析: ， ， 命 题 为 假 命 题 ； 对 称 轴 为 ， 命 题 为 真 命 题 ； ， 命题为真命题. 12．答案：B 解析:对任意 ，所以 为偶函数. 显然 在 递增，在 递减，所以 ， 两边平方得 ， )(13 Zkkx ∈+= 1 1( ) cos( ) cos ( )1 1 x x x x e ef x x x f xe e − − + +− = ⋅ − = − ⋅ = −− − ( )f x C 0x +→ ( ) 0f x > B D、 A ,DE AE DE CE⊥ ⊥ ⊥DE ACE C 2m n+ = 121 5121 312 1 1 1 2 3 1 1 ++⋅+=++⋅+ ++=++++=+ +++ ）（）（）（）（ nmnm nm nmn n m 4 25 2 2121 2 =     +++≤+⋅+ nmnm ）（）（ 21 +=+ nm 2 1 2 3 == nm ， 5 9 2 3 1 1 ≥+ +++ n n m BA, xBA ,, 11 1F ,2 1 1 1 == MA MB AA BB tBF = tAFAAtBB 2, 11 === t p t t MA MF AA FF 26 4 1 1 === 3,93 ===+= ttBFAFAB 得 4=p 62 1sin1)0( πϕϕ =∴=∴=f 342 22 =−= BCT  36 πω =∴=∴T )63sin(2)( ππ +=∴ xxf p q 1)3()2019(2)4()2020( −==−== ffff ， r )(1)(,0 xfxexfx x =++=−> )(xf )(xf [ )∞+，0 ( ]0- ，∞ mxx 22 +≥− 222 4444 mmxxxx ++≥+− 整理得 ， ， 得 ，所以 的最大值为 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．答案： 解 析 ： 因 为 ， ， ， 所 以 ， 即 ， 则 , . 14．答案： 解析：由题意可知共有 种选择情况,他们选择同一城市有 种情况,所以概率为 . 15．答案： 解析：因为 , 又因 ,所以 , 由正弦定理知 ,又因为 ,所以 ,所以 . 16．答案： 解析：设 ， ， . ， 因为 ，所以 ，即 ，显然不可能， 或者 ，所以 . 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 011 2 ≤+−⋅+ mxm ）（    ≤+−⋅+ ≤+−+⋅+⇒ 011 0111 2 2 mmm mmm ）（ ）（）（ 01 ≤≤− m m 0 5 )12( ，=a )4( ，xb = ba ⊥ 042 =+=⋅ xba 2-=x ）（ 5,0=+ ba 5|| =+ ba 1 9 27 3 3 1 27 9 = 4 π Aab cba ac bcacCABc sin222cossin2cos 222222 =−++−+⇒−= 1b = 2sinsin2sin22 1 2 1 2222 =⇒=⇒=−++−+ A aAaAa ca a ca 2sinsin == B b A a 1b = 2 2sin =B 4B π= 5 0 0( , y )M x ( ,0), ( ,0)A a B a− 2 2 0 0 0 1 2 2 2 2 0 0 0 y y y bk k x a x a x a a ⋅ = ⋅ = =+ − − 1 1( ) ln 2 kf k = 2 2( ) ln 2 kf k = )()( 21 kfkf = 1 2ln ln2 2 k k= 1 2 2 2 k k= 2 1 2 1 2 21 42 2 k k bk k a ⋅ = ⇒ ⋅ = = 2 21 5be a = + = 17．解： （1）由题设数列 的公差为 ，则 .......3 分 所以 .................5 分 其中 ，所以 是数列 中的一项...........................6 分 （2）由（1）可得 ，............................7 分 所以 ...........................9 分 所以 ..............................................12 分 18．解： （1）证明： 为平行四边形. ， 点 为 的中点 ， ， ， ......................................................3 分 又由 底面 ，得 ， 平面 }{ na d )(02 )7(4)3( )(23 4 2 11 1 2 1 11 8 2 4 24 舍去或 ====⇒    +=+ +=+ ⇒    ⋅= = dada dada dada aa aa )(2 ∗∈= Nnnan 42 =a 4 }{ na )1( += nnSn 1 11 )1( 11 +−=+= nnnnSn n n SSSST 1.......111 321 ++++= )1 11(......)4 1 3 1()3 1 2 1()2 1 1 1( +−++−+−+−= nn 1+= n n  ABEF ∴ EFAB//  CDAB // ∴ CDEF //  E PC ∴ CDEF =2 ∴ 22 == ABCD  2=BD 45=∠BDC ∴ BCBD ⊥ ⊥PC ABCD BDPC ⊥ CBCPC = ⊂BCPC， PBC 平面 又 平面 ， 平面 平面 ........................................6 分 （2）解：由（1）可知 ，即 ， ....................7 分 又由题可知 ， 又由 底面 ， 平面 ，可得 ， 平面 ， 又 点 到平面 的距离为 ，...........................9 分 ..................................12 分 19．解： （1）根据图乙，日消失水量的平均值为 （千 ）.............3 分 （2）①根据图甲可得，日流入水量不少于 千 的概率为 .............5 分 日消失水量不多于 千 的概率为 ................7 分 ②该湖区日进水量的平均值为 （千 ） 一年后水库的水减少了.……9 分 减少的量为 ………12 分 ∴ ⊥BD PBC ⊂BD PBD ∴ ⊥PBD PBC 22 == ABCD ∴ 2=PC 1== PEEF ∴ 2 1 2 1 =××=∆ PEEFS PEF DCAD ⊥ ⊥PC ABCD ⊂AD ABCD PCAD ⊥ ∴ ⊥AD PCD 1=AD ∴ A PCD 1 ∴ 3 1 2 113 1222 =×××=== −−− PEFAAEFPABEFP VVV 12.5 0.1 17.5 0.25 22.5 0.3 27.5 0.2 32.5 0.1 37.5 0.05 23× + × + × + × + × + × = 3m 20 3m 24 24 16 10 74= =0.74100 100 100 100 100 + + + 20 3m 35.05)02.005.0( =×+ 0.06 10 0.2 15 0.24 20 0.24 25 0.16 30 0.1 35=22.7× + × + × + × + × + × 3m 237.22 < ∴ )5.1093657.22-23 3m（千）（ =× 20．解： （1）由题意，得 解得 ， 故，椭圆方程为 ………………………………4 分 （2） ，由向量加法的意义得四边形 为平行四边形. 设 A，B 所在直线 ， ①若直线 垂直于 轴，易得 或者 此时，四边形 为菱形 ………………………………5 分 ②若直线 不垂直于 轴，设 ， 由 得 得 ， ………………………………7 分 ( ) ( )         =+ =+ = 1332 2 1 2 2 2 2 222 ba abc a c 162 =a 122 =b 11216 22 =+ yx OPOBOA =+ OAPB l l x ( ) ( ) ( )3,2,3,2,0,4 −BAP ( ) ( ) ( )3,2,3,2,0,4 −−−− BAP OAPB 12642 1 2 1 =××== ABOPSOAPB l x ( )0: ≠+= mmkxyl ( ) ( )002211 ,,),,( yxPyxByxA ，    =+ += 11216 22 yx mkxy ( ) 0484843 222 =−+++ mkmxxk 2 2 21221 43 484 43 8 k mxxk kmxx + −=+−=+ ， ( ) ),(, 212100 yyxxOBOAyxOP ++=+== 2210 43 8 k kmxxx +−=+= ( ) 221210 43 62 k mmxxkyyy +=++=+= ， 代入椭圆方程 ， 化简得 ………………………………9 分 验证， ∴ 点 到直线 的距离为 综上，四边形 的面积始终为 12. …………………………………………12 分 21．解： （1）由题 ……………………………………1 分 当 时， ， 单调递增， 不会有两个零点， 所以 ， 令 ，解得 且当 时 ， 单调递减， 当 时 ， 单调递增， 所以 ……………4 分 因为 有两个零点，则必须 即 ，      ++−∴ 22 43 6,43 8 k m k kmP 112 43 6 16 43 8 2 2 2 2 =    ++    +− k m k km 22 43 km += 0144)12)(43(1664 22222 >=−+−=∆ mmkmk 2 2 2 2 21221 484 43 4848 43 8 m m k mxxm k k kmxx −=+ −=−=+−=+∴ ， m kxxkAB 2 21 2 1121 +=−+= O AB 21 k md + = 12 1 112 2 122 2 2 = + ⋅+=×== ∆ k m m kABdSS OABOAPB OAPB aexf x 2)( +=′ 0≥a 0)( >′ xf )(xf )(xf 0′ xf )(xf ]1)2[ln(2))2(ln()( −−=−= aaafxf 极小值 )(xf 0)1)2(ln(2)( <−−= aaxf 极小值 01)2ln( >−− a 解得 ，且知当 时 ，当 时 ， 所以 有两个零点时 ………………………………………………6 分 （2）证明：由（1）知 ，且 ，所以 …7 分 设 ，则 可化为 ， 设 则 在 上单调递增。 命题得证 …………12 分 22．解： （1）由题意可得 的直角坐标方程为 ， 其极坐标方程为 ........................2 分 设 点的极坐标为 ，则对应的 点的极坐标为 ....................3 分 又点 在 上，所以 即 的极坐标方程为 ...................................................5 分 （2）由题意知点 到射线 的距离为 ，.......................7 分 由（1）知 的极坐标方程为 ， 2 ea < − −∞→x +∞→)(xf +∞→x +∞→)(xf )(xf 2 ea < − 01)2ln( >−− a 1)0( =f 012 >> xx )1( 1 2 >= ttx x 12 12 12 )(2lnln xx xxxx + −>− 1 )1(2ln + −> t tt 2 2( ) ln ( 1)1 tg t t tt −= − >+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 11 1 4= 0 1 1 1 t t tg t t tt t t t + − − −′ = − − = > + + + ( )g t∴ ( )1,∞ ( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 0 ln 1 tg t g g t t t −∴ > = ∴ > ∴ > + ∴ 12 12 12 )(2lnln xx xxxx + −>− 1C 2 2( 2) 4x y+ − = 4sinρ θ= Q )( θρ， P )2( πθρ +， P 1C 4sin( ) 4cos2 πρ θ θ= + = 2C 4cosρ θ= M 6 πθ = 4sin 2 33d π= = 1C 4sinρ θ= ， ..........................9 分 所以 ..................................................10 分 23．解： （1）当 时， ． 当 时， ，此时 的解集为 ；...................2 分 当 时， ，此时 的解集为 ；.......3 分 当 时， ，此时 的解集为 .............................4 分 综上所述 的解集为 ................................................................................................5 分 （2）由（1）可知当 时，在 内 恒成立；.............6 分 当 时 ， 在 内 恒 成 立；..............7 分 当 时，在 内 ，不满足 在 上恒成立的条件...................................9 分 综上所述 ...............................................10 分 ( )4(cos sin ) 2 3 16 6B AAB π πρ ρ= − = − = − 1 6 2 32MAB AB d= ⋅ = −△S 0=a xxxxxf 1)1()( −++= 1≥x 22)1()1()( xxxxxxf =−++= 0)( ≥xf { }1≥xx 10 <≤ x xxxxxxf 2)1()1()( =−++= 0)( ≥xf { }10 <≤ xx 0a ( )0,ax −∈ 0)(2))(1()1)(()( >+=+−−++= axaxxxaxxf 0)(

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