2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解绝对值不等式，然后确定充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】‎ 求解绝对值不等式可得，‎ 据此可知“”是“”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．已知命题，；命题：若，则.下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定p,q的真假，然后逐一考查所给命题的真假即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，则命题p为真命题；‎ 取，满足，不满足，命题q为假命题；‎ 据此可得：是假命题；是真命题；是假命题；是假命题.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，复合命题问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否命题同时否定条件和结论即可.‎ ‎【详解】‎ 同时否定条件和结论可得命题“若，则”的否命题是:若，则.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，属于基础题.‎ ‎4．“为真”是“为真”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】‎ 若“为真”可能p假q真，不一定有“为真”，充分性不成立；‎ 若“为真”，则一定有“为真”，必要性成立，‎ 综上可得：“为真”是“为真”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分必要条件的判定，或命题的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．在三角形中，角所对的边分别为，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理确定充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】‎ 设△ABC外接圆半径为R，‎ 若，则，结合正弦定理有，即充分性成立；‎ 若，则，结合正弦定理有，即必要性成立；‎ 综上可得：“”是“”的充要条件.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分必要条件的判定，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 ，选C.‎ ‎7．已知椭圆的长半轴长、焦距、短半轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到a,c的关系式，然后确定离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 则，又，故，‎ 整理可得：，，.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎8．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 设，利用椭圆的定义和勾股定理有：‎ ‎，则：，‎ 的面积.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．‎ ‎9．是椭圆的一个焦点，是椭圆上的一个动点，则和两点间的距离的最大值和最小值分别是（ ）‎ A．2和1 B．4和2 C．6和2 D．3和1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，然后结合三角函数的性质确定最大值和最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆上点的坐标为，不妨设点F的坐标为，‎ 则：，‎ 注意到二次函数对称轴为，函数在区间上单调递减，‎ 据此可得：当时，有最小值1，当时，有最大值3，‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查最值问题的求解，三角换元的方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于x,y的等式，整理变形即可确定动点的轨迹的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 整理变形可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题.‎ ‎11．已知椭圆过点作弦且弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用点差法确定直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 设直线与椭圆交点为，设所求直线的斜率为k，由题意可得：‎ ‎，，两式作差可得：，‎ 其中，故：，解得：，‎ 则直线方程为：，整理为一般式即：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点差法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．关于曲线，给出下列四个结论：①曲线是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是（ ）‎ A．②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意逐一考查所给的结论是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的结论：‎ 对于①,∵曲线C:，不是椭圆方程，∴曲线C不是椭圆，∴①错误；‎ 对于②,把曲线C中的(x,y)同时换成(−x,−y)，方程不变，∴曲线C关于原点对称，②正确；‎ 对于③,把曲线C中的(x,y)同时换成(y,x),方程变为，∴曲线C不关于直线y=x对称，③错误；‎ 对于④,∵|x|⩽2,|y|⩽1,∴曲线C:所围成的封闭面积小于4×2=8，‎ 很明显所给的曲线方程对应的图形不可能是矩形，故所围成封闭图形面积小于8，∴④正确.‎ 综上，正确的命题是②④.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的对称性，由轨迹方程分析其性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如果平面上动点满足：，则动点的轨迹的标准方程为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合两点之间距离公式和椭圆的定义确定轨迹方程即可.‎ ‎【详解】‎ 题中所给的方程即： ，‎ 结合点到直线距离公式可得该式的几何意义即点M到定点的距离与到定点的距离之和为定值10，由于，故该该轨迹方程为椭圆，‎ 其中椭圆焦点位于轴上，且，故，‎ 据此可知动点的轨迹的标准方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．周长为18的三角形中，，，为坐标原点，为中点，当时，的长为______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定C点的轨迹，然后结合几何性质求解OD的长度即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，则点C位于以A,B为焦点的椭圆上，‎ 若，则，‎ 注意到，由三角形中位线的结论可得.‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，三角形中位线的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设是椭圆上任意一点，设，则，所以（其中），应填答案。‎ ‎16．以下给出五个命题，其中真命题的序号为______‎ ‎①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是或；‎ ‎②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”；‎ ‎③，；‎ ‎④若，则；‎ ‎⑤“”是“成等比数列”的充分不必要条件.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一考查所给的命题是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的命题：‎ ‎①函数在区间上存在一个零点，‎ 很明显，故，据此可得：，‎ 则的取值范围是或，题中的说法正确；‎ ‎②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，原命题错误；‎ ‎③令，则，则的单调递减，‎ 又，故恒成立，即恒成立，‎ 据此可知，，题中的说法正确；‎ ‎④若，则，，‎ 构造函数，则,则函数在区间上单调递增，‎ 由于,故,，则，‎ 综上可得，，题中的说法正确；‎ ‎⑤若，满足，但是不满足成等比数列，‎ 反之，若成等比数列，一定有，‎ 据此可得“”是“成等比数列”的必要不充分条件，题中的说法错误.‎ 故真命题的序号为①③④.‎ ‎【点睛】‎ 当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题；命题 ‎（1）若是的必要条件，求实数的取值集合；‎ ‎（2）当时，若为真，为假，求实数的取值集合 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得命题p和命题q，然后分类讨论确定实数a的取值范围即可；‎ ‎(2)由题意可知与一真一假，据此分类讨论确定实数的取值集合即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）：‎ ‎：时， 舍 时，舍 时，有 得实数的取值集合为 ‎ ‎（2）由题意可知与一真一假 时，真时对应集合为，假时对应集合为，‎ 真时对应集合为，假时对应集合为 真假时得 假真时得 综上得实数的取值集合 ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知椭圆，两焦点分别为、‎ ‎（1）求椭圆的两个焦点的坐标及离心率的值；‎ ‎（2）设是椭圆上一动点，求的最值 ‎【答案】（1）焦点，，（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将椭圆方程整理为标准型，然后确定其焦点坐标和离心率即可；‎ ‎(2)结合椭圆方程将目标函数转化为一元函数，然后求解其最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆方程即：，据此可知焦点，，.‎ ‎（2）由可得：，且，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的求解，焦点坐标的求解，椭圆的中范围问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意利用线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可；‎ ‎(2)利用等体积法求解点到平面的距离即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，连接.由题设可知，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 而，，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）如图，连接，.‎ ‎∵，又，，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面，即平面.‎ ‎∴，.‎ 设点到平面的距离为，由，‎ 得，解得.‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理，等体积法求点面距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．已知点，圆。‎ ‎（1）若点在圆内，求的取值范围；‎ ‎（2）若过点的圆的切线只有一条，求切线的方程；‎ ‎（3）当时，过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）x-y+2=0或7x+y-10=0。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意求解不等式确定a的取值范围即可；‎ ‎(2)首先确定a的值，然后求解切线方程即可；‎ ‎(3)首先求得直线的斜率，然后求解直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：，求解不等式可得的取值范围是；‎ ‎（2）由题意可知，点在圆上，故，‎ 时，切线的斜率为，切线方程为；‎ 时，切线的斜率为，切线方程为 ‎（3）设圆心到直线的距离为，由题意可得，故，‎ 很明显直线的斜率存在，设直线方程为，即，‎ 由题意可得：，‎ 解得：或 方程为：x-y+2=0或7x+y-10=0。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21．已知中心在坐标原点且焦点在坐标轴上的椭圆经过点和，直线 ‎（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点；‎ ‎（2）求直线被椭圆截得的弦长最长时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立直线方程与椭圆方程，由确定m的取值范围即可；‎ ‎(2)结合弦长公式得到弦长关于m的表达式，由二次函数的性质求解m的值，然后确定直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知椭圆C方程为：‎ 由,消去得：,‎ 求解不等式可得m的取值范围是.‎ ‎（2）设直线与椭圆交点，‎ 则 ‎，‎ 由（1）知 当时，‎ 此时，的方程为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0‎ 或不存在等特殊情形．‎