新课标版高考数学复习题库考点7 三角函数

新课标版高考数学复习题库考点7 三角函数

‎ ‎ 考点7 三角函数 ‎ ‎1.（2010·陕西高考理科·Ｔ3）对于函数，下列选项中正确的是（ ）‎ ‎（A）在（，）上是递增的 （B）的图象关于原点对称 ‎（C）的最小正周期为2 （D）的最大值为2‎ ‎【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题.‎ ‎【思路点拨】是奇函数B.‎ ‎【规范解答】选B. 因为，所以是奇函数，因而的图象关于原点对称，故选B.‎ ‎2.（2010·陕西高考文科·Ｔ3）函数是（ ）‎ ‎(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数 ‎(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数 ‎【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题.‎ ‎【思路点拨】是奇函数 C正确.‎ ‎【规范解答】选C. 因为，所以是最小正周期为π的奇函数.‎ ‎3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D)3 ‎ ‎【命题立意】本题考查了三角函数的周期性.‎ ‎【思路点拨】由周期求.‎ ‎【规范解答】选C.由题意可得最小正周期T＝，所以，故选C.‎ ‎4.（2010·北京高考文科·Ｔ15）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值.‎ ‎【命题立意】本题考查诱导公式、三角变换中的二倍角公式及三角函数的最值的求法.‎ ‎【思路点拨】直接把代入求的值.求的最值时，通过观察解析式的形式，可以统一三角函数名，转化为求解二次函数的最值问题.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）=.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 因为,所以，当时,取最大值2；当时，取最小值-1.‎ ‎【方法技巧】三角函数式化简的常用技巧有：统一角、统一三角函数名，降幂扩角，升幂缩角等.‎ ‎5.（2010 ·海南高考·理科T4）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )‎ ‎【命题立意】本小题主要考查了三角函数的定义.‎ ‎【思路点拨】把距离转化成角度与时间的函数关系.‎ ‎【规范解答】选C.设初始位置点的弧度为，则时间时为，由三角函数的相关定义可知，到轴距离关于时间的函数关系式为，故选C.‎ ‎6.（2010·安徽高考理科·Ｔ9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于 ‎（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)和 ‎【命题立意】本题主要考查考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求出每秒钟所转的弧度，很容易得出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而确定单调递增区间.‎ ‎【规范解答】选D.设射线OA与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在时，，在时，，动点的纵坐标关于都是单调递增的，故D正确.‎ ‎7.（2010·天津高考文科·Ｔ8）如为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）‎ ‎(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，‎ 纵坐标不变 ‎(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 ‎(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【命题立意】考查正弦函数的图象及变换.‎ ‎【思路点拨】由图象几个特殊点求出函数解析式.‎ ‎【规范解答】选A.由图象可得：‎ ‎，故选A.‎ ‎【方法技巧】由y=A的一段图象 ‎，求这个函数的解析式，结果往往不统一，要具体问题具体分析，由周期求；确定时，若能求出距离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点，令（或），即可求出，也可用最高点或最低点的坐标来求.‎ ‎8.（2010·浙江高考理科·Ｔ4）设，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查三角函数、不等式、简易逻辑等知识，考查推理运算能力.‎ ‎【思路点拨】解决本题一种方法是利用不等式的性质进行推导；另一种方法是借助函数图象比较大小.‎ ‎【规范解答】选B.方法一：，， ，，因此，.因此“”是“”的必要而不充分条件.‎ 方法二：由得，由得，考查函数，作出三个函数的图象：‎ 由图象可知，，，其中，‎ 因此“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎9.（2010·福建高考文科·Ｔ10）将函数的图象向左平移个单位.若所得图象 与原图象重合，则的值不可能等于（ ）‎ ‎ (A)4 (B)6 (C)8 (D)12‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数的图象平移，解三角方程. ‎ ‎【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解.‎ ‎【规范解答】选B.把函数图象向左平移个单位,得，‎ 又该函数图象与原函数图象重合，所以恒成立，‎ ‎，，所以k不可能为6. ‎ ‎【方法技巧】注意应把变为，而非.图象的变换问题，依据三角函数的图象的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决.一般地，函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.‎ ‎10.（2010·浙江高考文科·Ｔ12）函数的最小正周期是 . ‎ ‎【命题立意】本题主要考查了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题.‎ ‎【思路点拨】对解析式进行降幂扩角转化为余弦函数.‎ ‎【规范解答】，可知其最小正周期为.‎ ‎【答案】‎ ‎11.（2010·福建高考理科·Ｔ14）已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查利用三角函数的对称性求三角函数的解析式，并求三角函数在给定区间的值域.‎ ‎【思路点拨】由图象的对称轴完全相同，可得与的周期相同，求出的值，进而求解值域.‎ ‎【规范解答】函数和的图象的对称轴完全相同，则与的周期相同，，，又，，‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】另解：因为和在对称轴位置取得最值.设x=x0为函数与的对称轴，则 又，，‎ ‎12.（2010·江苏高考·Ｔ10）设定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数的图象、数形结合的思想.‎ ‎【思路点拨】图象相交，即三角函数值相等，建立关系式，求出，结合图象，采用数形结合的思想分析的值即可.‎ ‎【规范解答】‎ ‎【答案】‎ ‎13.（2010·北京高考理科·Ｔ15）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值.‎ ‎【命题立意】本题考查了诱导公式、三角变换中的二倍角公式，及二次函数在给定区间的最值问题.‎ ‎【思路点拨】直接把代入求的值.求的最值时，通过观察解析式的形式，可以统一三角函数名，转化为求解二次函数的最值问题.‎ ‎【规范解答】（I）.‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值.‎ ‎【方法技巧】三角函数式化简的常用技巧有：统一角、统一三角函数名，降幂升角，升幂降角等.‎ ‎14.（2010·湖南高考文科·Ｔ16）已知函数,‎ ‎(1)求函数的最小正周期.‎ ‎(2)求函数的最大值及取最大值时x的集合.‎ ‎【命题立意】考查三角函数的基本公式和基本性质.‎ ‎【思路点拨】首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函数的基本性质.‎ ‎【规范解答】(1) ,‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎ (2) 由(1)知，当，即，取得最大值.因此函数取最大值时的集合为.‎ ‎【方法技巧】1.一般首先利用三组公式把函数化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一组是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关系式.三组是倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算.‎ ‎2.考查基本性质，包括单调性、周期性、对称性和函数值域等.‎ ‎15．（2010·湖南高考理科·Ｔ16）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值.‎ ‎（2）求函数的零点的集合.‎ ‎【命题立意】考查三角函数的基本公式和基本性质.‎ ‎【思路点拨】首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函数的基本性质.‎ ‎【规范解答】（1）因为f(x)=‎ ‎ =2sin(2x+,‎ 所以，当2x+=2k,即x=k ‎（2）方法1：由(1)及f(x)=0，得sin(2x+,‎ 所以2x+‎ 故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.‎ 方法2:由f(x)=0得2‎ 由sinx=0可知x=k 故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.‎ ‎【方法技巧】1.一般首先利用三组公式把函数化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一组是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关系式.三组是倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算.‎ ‎2.考查基本性质，包括单调性、周期性、对称性和函数值域等.‎ ‎16.（2010·广东高考文科·Ｔ16）设函数，，，‎ 且以为最小正周期．‎ ‎（1）求．‎ ‎（2）求的解析式．‎ ‎（3）已知，求的值．‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数的性质以及三角变换.‎ ‎【思路点拨】（1）直接将x=0代入函数解析式求解.（2）由已知条件求出，从而求出的解析式．‎ ‎（3）由 ‎【规范解答】（1）‎ ‎（2） ，，所以的解析式为 ‎（3）由 ，得，即 ，‎ ‎， ‎ ‎【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解.‎ ‎17.（2010·广东高考理科·Ｔ16）已知函数在时取得最大值4.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)求f(x)的解析式.‎ ‎(3)若f(α+)=,求sinα.‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数的性质以及三角变换.‎ ‎【思路点拨】(2)由已知条件,.‎ ‎（3）由 ‎【规范解答】（1）由,得 ‎（2）由得最大值4，得又在处取得最大值，所以，得，因为，所以，所以.‎ ‎（3），即，，所以，，所以 ‎ ‎【方法技巧】（1）三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解，‎ ‎（2）在求的过程中，要考虑的规定范围. ‎ ‎ ‎