【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第五节　函数的奇偶性与周期性作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第五节　函数的奇偶性与周期性作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·唐山二模)函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)‎ A．－3　　　　　　　　　 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：选B.由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.‎ ‎∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故选B.‎ ‎2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析：选A.易知函数f(x)的定义域为R且关于原点对称．‎ ‎∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ 又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－在R上是增函数，‎ ‎∴f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.‎ ‎3．(2018·南京模拟)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选D.设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，‎ g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．‎ ‎∴g(x)是奇函数，‎ ‎∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，‎ 因此f(lg 2)＋f＝2.‎ ‎4．(2018·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)‎ A.＋1 B．－1‎ C．－－1 D．－＋1‎ 解析：选D.因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.‎ ‎5．(2018·乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，‎ ‎∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，故选A.‎ ‎6．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 解析：选D.当x＞时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，故选D.‎ ‎7．(2018·青岛模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)‎ A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)‎ C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0‎ 解析：选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(3)＝f(－1)．‎ 又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，‎ 即f(1)＜0＜f(3)，故选C.‎ ‎8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x ‎＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．‎ 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)，‎ 又∵f(x)的周期为2，‎ ‎∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，‎ 即f(x＋2)＋f(－x)＝0，‎ 令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.‎ 又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.‎ ‎∴f＋f(1)＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎9．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________．‎ 解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎10．(2018·武汉模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：‎ ‎①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．‎ 解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ 所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)＋f(0)‎ ‎＝2－1＋21－1＋20－1＝.‎ 答案： B级　能力提升练 ‎11．(2018·莆田模拟)对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)‎ A．2和1 B．2和0‎ C．2和－1 D．2和－2‎ 解析：选B.设g(x)＝asin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.‎ ‎12．(2018·佛山模拟)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：选B.因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，‎ 因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，‎ 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．‎ 所以函数f(x)的周期为4，‎ 又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，‎ 因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；‎ b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，‎ c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，‎ 又因为f(x)在[0，1]上为增函数，‎ 所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.‎ ‎13．(2018·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)‎ C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ 解析：选C.∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.‎ ‎14．(2018·河北衡水中学一模)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝‎2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)‎ A．0 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．‎ 令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝‎2f(1)，‎ 即f(1)－f(1)＝‎2f(1)＝0，即f(1)＝0.‎ 则f(x＋2)－f(x)＝‎2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，‎ 即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.‎ ‎15．(2018·内蒙古包头模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．‎ 解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.‎ 答案：－8‎ ‎16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　)‎ A．f(－31)＜f(84)＜f(13)‎ B．f(84)＜f(13)＜f(－31)‎ C．f(13)＜f(84)＜f(－31)‎ D．f(－31)＜f(13)＜f(84)‎ 解析：选A.根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间上是增函数，则函数f(x)在上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.‎ C级　素养加强练 ‎17．(2018·泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．‎ 解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．‎ 令x＝y＝0，‎ 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，‎ 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．‎ 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．‎ 因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．‎ 由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以周期T＝4，‎ 即f(x)为周期函数．‎ f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．‎ 又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，‎ 所以函数关于x＝1对称．‎ 由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，‎ 所以f(x)在[1，2]上为减函数．‎ 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．‎ 答案：①②③④‎