【数学】2020届一轮复习人教A版第19课导数的基本运算作业（江苏专用）
随堂巩固训练(19)
1. 若f(x)＝ax3－3x2＋2，f′(1)＝4，则实数a＝____．
解析：因为f(x)＝ax3－3x2＋2，所以f′(x)＝3ax2－6x，则f′(1)＝3a－6＝4，解得a＝.
2. 已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1，3)，则实数b的值为__3__．
解析：由题意，得y′＝3x2＋a，则解得故实数b的值为3.
3. 已知点P在曲线y＝(其中e为自然对数的底数)上运动，则曲线在点P处的切线斜率最小时的切线方程为__x＋4y－2＝0__．
解析：设点P(m，n)，因为y′＝－，所以曲线在点P处的切线斜率k＝－＝－.由em＋e－m≥2＝2，当且仅当m＝0时取等号，即切线斜率的最小值为－，此时切点为，故切线方程为x＋4y－2＝0.
4. 若过曲线y＝x3＋x－2上的点P0的切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为__(1，0)或(－1，－4)__．
解析：设点P0的坐标为(a，b)．由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由曲线在点P0的切线平行于直线y＝4x，得切线方程的斜率为4.即3a2＋1＝4，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，b＝0；当a＝－1时，b＝－4，即点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
5. 已知定义在R上的可导函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x)＝f(－x)，且当x≠0时，有x·f′(x)<0，现设a＝f(－sin32°)，b＝f(cos32°)，则实数a，b的大小关系是__a>b__．
解析：因为当x≠0时，x·f′(x)<0，所以当x>0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．因为y＝f(x)对任意x∈R都有f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数，所以a＝f(－sin32°)＝f(sin32°)．因为0
f(cos32°)，即a>b.
6. 已知函数f(x)＝bx的图象与函数g(x)＝lnx的图象有公共点，则实数b的最大值是____．
解析：由题意可知，当f(x)＝bx与g(x)＝ln x相切时，实数b取得最大值．由g(x)＝ln x，得g′(x)＝.设切点为(x0，y0)，则解得故实数b的最大值为.
7. 设f(x)＝x－2sinx，若f′(x0)＝0且x0∈(0，π)，则x0＝____．
解析：因为f(x)＝x－2sinx，所以f′(x)＝1－2cosx.由f′(x0)＝1－2cosx0＝0，得cosx0＝.因为x0∈(0，π)，所以x0＝.
8. 曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是____．
解析：曲线y＝和y＝x2的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y＝－x＋2和y＝2x－
1，所以三角形三个顶点的坐标为(2，0)，，(1，1)，则它们与x轴围成的三角形的面积为××1＝.
9. 设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角θ的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为____．
解析：由题意得切线的斜率k＝tanθ∈[0，1]．设切点为P(x0，y0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0＋2，所以2x0＋2∈[0，1]，所以x0∈.
10. 已知点P在曲线y＝x3－x＋上移动，且曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__∪__．
解析：因为y′＝3x2－1∈[－1，＋∞)，即tan α∈[－1，＋∞)，所以α∈∪.
11. 已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有相同的切线，求实数a，b，c的值．
解析：因为函数f(x)的图象过点(2，0)，所以f(2)＝16＋2a＝0，解得a＝－8.因为f′(x)＝6x2＋a，所以f′(2)＝16.又因为g′(x)＝2bx，所以g′(2)＝4b＝16，解得b＝4.又g(2)＝4b＋c＝0，所以c＝－4b＝－16.综上，a＝－8，b＝4，c＝－16.
12. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx在x＝1处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝a·ex(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．
(1) 求b，c的值；
(2) 若x∈(0，2]，使得g(x)＝f′(x)成立，求实数a的取值范围．
解析：(1) f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
所以f′(1)＝2b＋c＋3＝3.
又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，
所以6－2(b＋c＋1)－1＝0.
联立解得
(2) 由(1)知f′(x)＝3x2－3x＋3，
因为g(x)＝f′(x)，所以a·ex＝3x2－3x＋3，
所以a＝.
令h(x)＝，x∈(0，2]，
则h′(x)＝
＝，
令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
当x变化时，h(x)与h′(x)的变化如下表所示：
所以h(x)有极小值h(1)＝，极大值h(2)＝.
因为h(0)＝3>，所以h(x)的值域为，
所以实数a的取值范围为.
13. 已知函数f(x)＝(x－a)lnx(a≥0)．
(1) 当a＝0时，若直线y＝2x＋m与函数y＝f(x)的图象相切，求实数m的值；
(2) 若函数f(x)在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的最小值．
解析：(1) 当a＝0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)＝2，得x＝e.
因为f(e)＝e，所以切点为(e，e)，
所以2e＋m＝e，解得m＝－e.
故实数m的值为－e.
(2) f′(x)＝lnx＋1－，
因为f(x)在区间[1，2]上是单调减函数，
所以lnx＋1－≤0在x∈[1，2]上恒成立，
即a≥xlnx＋x在x∈[1，2]上恒成立．
令g(x)＝xlnx＋x，则g′(x)＝lnx＋2，x∈[1，2]．
因为g′(x)>0，
所以g(x)＝xlnx＋x在区间[1，2]上是单调增函数，
所以a≥g(2)＝2ln2＋2，
所以实数a的最小值为2ln 2＋2.
