2018-2019学年宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 宁夏回族自治区银川一中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归模型建立方法，分析选项，找出散点比较分散且无任何规律的选项可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了统计案例散点图，属于基础题.‎ ‎2．设集合， ，已知，且中含有3个元素，则集合B有（　　）‎ A． 个 B．个 C． 个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】由于是的元素，则在四个元素中选个即可，故选选项.‎ ‎3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是（ ）‎ A．25 B．10 C．9 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这是有放回的抽样，将号码之和的可能情况列举出来即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种情况 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了有放回的抽样，属于基础题.‎ ‎4．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得 ‎“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立 的,则下列说法中正确的是.‎ A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的。指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据。故选D ‎5．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.‎ 详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎6．设，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解答：‎ 在中，‎ 令x=1可得a0+a1+a2+…+a5=1①，‎ 令x=−1可得a0−a1+a2−…−a5=35②。‎ 由①②求得a0+a2+a4=122，a1+a3+a5=−121，‎ ‎∴，‎ 本题选择A选项.‎ ‎7．随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为,所以,解得.即等于.故选B.‎ ‎8．（题文）已知如下数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5.99‎ ‎12.01‎ 则下列四个函数中，模拟效果最好的为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】当x＝1，2，3时，分别代入求y值，离y最近的值模拟效果最好，可知A模拟效果最好．故选A.‎ ‎9．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是(　 　)‎ ‎① ② ③‎ A．最大，最大 B．最大，最大 C．最大，最大 D．最大，最大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正态分布曲线，根据对称轴判断的值，再根据图像的“瘦高矮胖”判断的值可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据正态分布，反应的是正态分布的平均水平，是正态分布密度曲线的对称轴，分析图像可得 ‎ 而越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，而越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，‎ 所以最大 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了正态分布曲线，熟悉图像的性质是解题的关键，属基础题.‎ ‎10．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将直线参数方程代入圆方程得：，解得或，‎ 所以两个交点坐标分别是，所以中点坐标为。故选D。‎ 点睛：本题考查直线的参数方程应用。本题求直线和圆的弦中点坐标，直接求出两个交点坐标，得到中点坐标。只需联立方程组，求出解即可。参数方程的求法基本可以代入直接求解即可。‎ ‎11．将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”， “至少出现一个6点”，则概率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：条件概率与独立事件．‎ 分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．‎ 解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），‎ P（AB）==‎ P（B）=1-P（）=1-=1-=‎ ‎∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==‎ 故选A．‎ ‎12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ A．96 B．84 C．60 D．48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：分三类：种两种花有种种法；‎ 种三种花有2种种法；‎ 种四种花有种种法．‎ 共有2++=84．‎ 故选B 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有________.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况：甲在两头与甲不在两头，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 分为两种情况：甲在两头的排列方法为： ‎ 甲不在两头，则排列方法为： ‎ 所以共有24+12=36‎ 故答案为36‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合中不相邻问题，属于较为简单题目.‎ ‎14．若直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由,可知，,即转化为直角坐标系下的方程为,极点到直线的距离为 考点：1.极坐标方程与直角坐标方程；2.点到直线的距离.‎ ‎15．观察下列各式：‎ ‎ ‎ ‎……‎ 照此规律，当nN时，‎ ‎______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 由已知等式观察知：第一个式子，左边一项，下标为,上标为，右边为；第二个式子，左边两项，下标为,上标依次为，右边为；第三个式子，左边三项，下标为,上标依次为，右边为；第四个式子，左边四项，下标为,上标依次为，右边为；……照此规律，当时,, 综上所述，答案为：.‎ 考点：归纳推理的应用.‎ ‎16．已知，为常数，，且，，成等比数列，的展开式中所有项的系数和为64，则等于________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，根据等比中项可得，再令可得，解得答案即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，成等比数列，所以 又的展开式中所有项的系数和为64，即令时，=64‎ 即 联立，‎ 解得或 且 所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理，还考查等比数列性质，熟悉二项式定理的系数之和是解题关键，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，‎ ‎ （1）求，‎ ‎ （2）求展开式中的一次项的系数.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数。‎ ‎（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 …………………3分 ‎ 解得 …………………5分 ‎ （2）由（1）知，展开式的第项为：‎ ‎ …………………8分 ‎ 令得 …………………9分 ‎ 此时 …………………11分 所以，展开式中的一次项的系数为 ‎18．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：‎ 男性 女性 合计 爱好 ‎10‎ 不爱好 ‎8‎ 合计 ‎30‎ 已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？‎ ‎（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望.参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）没有把握认为爱好运动与性别有关； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可算出爱好运动的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出结果；‎ ‎（2）典型的超几何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 男性 女性 合计 爱好 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 不爱好 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 合计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ 由已知数据可求得：‎ ‎，‎ 所以没有把握认为爱好运动与性别有关．‎ ‎（2）的取值可能为0，1，2，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散随机变量和超几何分布，读懂题意是解题关键，属于基础题.‎ ‎19．高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如表数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是的强化训练次数（保留整数）；‎ ‎（2）若用（）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，，样本数据，，…，的标准差为 ‎【答案】(1)答案见解析；(2)有效.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件中的数据可求得，进而可得关于的线性回归方程，然后进行预测即可．（2）先求出这四组数据的“强化均值”，然后再求出标准差，最后根据题意作出判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由所给数据计算得：,，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴所求回归直线方程是．‎ 令100=14+5，解得=6.79.‎ ‎∴预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为7次． ‎ ‎（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9,其平均数是7，‎ ‎ 所以“强化均值”的标准差是，‎ ‎∴这个班的强化训练有效．‎ ‎【点睛】‎ 求线性回归直线方程的步骤 ‎(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎(2)求系数：公式有两种形式，即，根据题目具体情况灵活选用；‎ ‎(3)求：；‎ ‎(4)写出回归直线方程．‎ 说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求．‎ ‎20．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互换公式可得曲线 的直角坐标方程。（2）射线平分曲线，所以射线过圆心，即极坐标方程为，射线方程代入曲线方程，求得，所以。‎ 试题解析：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；‎ 曲线的直角坐标方程是..‎ ‎（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，‎ 又，所以，因此.‎ ‎【点睛】‎ 用公式可由直角坐标与极坐标互换。‎ ‎21．已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 .‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线上任一点为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用，将转化成直角坐标方程，利用消参法法去直线参数方程中的参数，得到直线的普通方程；（Ⅱ）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程 曲线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为，即 又点在曲线上，则（为参数）‎ 代入，得 所以的取值范围是．‎ 考点：1、参数方程与普能方程的互化；2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、伸缩变换．‎ ‎22．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:‎ 年入流量 发电量最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.‎ ‎（1）依题意，，‎ ‎，，‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：‎ ‎.‎ ‎（2）记水电站年总利润为（单位：万元）‎ ‎①安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，‎ 对应的年利润，.‎ ‎②安装2台发电机.‎ 当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 因此.由此得的分布列如下：‎ ‎4200‎ ‎10000‎ ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以.‎ ‎③安装3台发电机.‎ 依题意，当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此；‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 此时，‎ 当时，三台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 由此得的分布列如下：‎ ‎34‎ ‎9200‎ ‎15000‎ ‎0.2‎ ‎0.8‎ ‎0.1‎ 所以.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.‎ 考点：二项分布，随机变量的均值.‎