2020届二轮复习(文)第2部分专题6第1讲 函数的图象与性质、函数与方程学案
第1讲 函数的图象与性质、函数与方程
[做小题——激活思维]
1．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
D [对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A，C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.]
2．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________.
[答案] 9
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则实数k的取值范围是________．
[答案] (－∞，40]∪[160，＋∞)
4．若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
[答案] ∪(1，＋∞)
5．若函数f(x)＝a－(a∈R)为奇函数，则a＝________.
[答案] 1
6．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝________.
[答案] 2
[扣要点——查缺补漏]
1．函数及其表示
(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．
(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．如T2.
2．函数的图象及应用
(1)函数图象的判断方法
①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到．如T1.
(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题．
3．函数的性质及应用
(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．如T5.
(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．如T3，T4.
(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，则2a是函数f(x)的周期，如T6.
4．函数与方程
(1)判断函数零点个数的主要方法
①解方程f(x)＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③
数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．
(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
函数的概念及表示(5年3考)
[高考解读] 分段函数属高考的重点内容，涉及直接求值、解不等式及已知函数值求参数问题，考查学生分类讨论思想、逻辑推理和数学运算核心素养.
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
D [函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
切入点：f(a)＝－3.
关键点：根据f(a)＝－3求a的值．
A [由于f(a)＝－3，
①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.
由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；
②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，
解得a＋1＝8，a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.
综上所述，f(6－a)＝－.故选A.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
切入点：f(x)＋f＞1.
关键点：正确分类，准确求出f(x)＋f的表达式．
[由题意知，可对不等式分x≤0,0
三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－＜x≤0.
当01，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x>－.]
[教师备选题]
1．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C [若02，所以排除选项C，D，故选B.]
角度二：函数图象的应用
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，即2x(x＋1)(x－1)<0，解得x<－或0，所以函数y＝－x4＋x2＋2在－∞，－，0，上单调递增，在－，0，，＋∞上单调递减，故选D.
法二：令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2，排除C.故选D.]
2．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为( )
D [法一：当x∈(0,1)时，sin x＞0，
∴y＝1＋x＋＞1＋x＞1，排除A，C.
令f(x)＝x＋，
则f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
∴f(x)＝x＋是奇函数，
∴y＝1＋x＋的图象关于点(0,1)对称，故排除B.
故选D.
法二：当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.
故选D.]
1．寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
知式选图
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复.
知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性.
2.利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
1．(图象辨析)定义一种运算：g⊗h＝已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是( )
B [由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x＜0时，2x＜1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.]
2．(知图选式)函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝( )
A. B. C．4 D.
D [将点(0,2)代入y＝logc，得2＝logc，解得c＝.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y＝ax＋b，解得a＝2，b＝2，∴a＋b＋c＝，故选D.]
3．(依图选图)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
D [由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形
．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.]
4．(函数图象的应用)给定min{a，b}＝，已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
(4,5) [设g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，则f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的图象向上平移4个单位长度，可得f(x)的图象，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．]
函数的性质及应用(5年8考)
[高考解读] 高考对函数性质的考查主要涉及已知函数的单调性或奇偶性求参数的取值范围，以及利用函数的单调性解不等式或比较大小等.而函数的性质与导数相交汇问题，会在小题的压轴题中出现，难度较大.
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
切入点：函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)．
关键点：化简函数f(x)的解析式为f(x)＝ln[x(2－x)]或利用f(2－x)＝f(x
)求解．
C [f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．
故选C.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
切入点：①f(x)为奇函数；②f(1－x)＝f(1＋x)；③f(1)＝2.
关键点：利用函数的奇偶性和周期性求解．
C [因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f＞f＞f
B．f＞f＞f
C．f＞f＞f
D．f＞f＞f
切入点：f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．
关键点：将log3，2，2转化到同一个单调区间上．
C [因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
又因为log34＞1＞2＞2＞0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)＜f＜f.
故选C.]
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D [由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
C [A：令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]
3．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
A [法一：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又∵f(x)为偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x
＋1<0⇔0，
∴x＝0不满足f(x)>f(2x－1)，故C错误．
令x＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－，
其中ln 3f(2x－1)，
故B，D错误．故选A.]
1．函数的4个性质及应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
对称性、周期性
利用对称性、周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
2.函数性质综合应用的注意点
(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
1．(奇偶性与单调性的应用)函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x
＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)＜f＜f
B．f＜f(1)＜f
C．f＜f＜f(1)
D．f＜f(1)＜f
B [∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，
即f＜f(1)＜f.故选B.]
2．(奇偶性与周期性的应用)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋5)＝－f(x)，当x∈(0,5)时，f(x)＝x2－x，则f(2 019)＝( )
A．－12 B．－16 C．－20 D．0
D [因为f(x＋5)＝－f(x)，所以f(x＋10)＝－f(x＋5)＝f(x)，所以f(x)的周期为10，因此f(2 019)＝f(－1)＝－f(1)＝0，故选D.]
3．(单调性、奇偶性、对称性的应用)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1,0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－3,1] B．[－4,2]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
A [因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，所以根据题意得|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故选A.]
函数的零点及应用(5年2考)
[高考解读] 高考对函数零点的考查主要涉及方程根的个数的判断、判断零点的存在性或零点所在区间、已知函数零点求参数或参数的范围，且常和函数的图象、性质、导数综合考查，综合性较强，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想.
1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
故选B.]
2．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B. C. D．1
切入点：①x2－2x＝(x－1)2－1；②e－x＋1＝e－(x－1)．
关键点：令t＝x－1换元，然后分离参数求解．
C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C.
法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C.]
[教师备选题]
(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B [f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0；
x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图1所示．
图1
不符合题意，排除A，C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图2所示．
图2
不符合题意，排除D.]
1．判断函数零点个数的3种方法
2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法
1．(判断函数零点所在区间)曲线y＝x与y＝x的交点横坐标所在区间为( )
A. B.
C. D.
B [设f(x)＝x－x，易知f(x)单调递减，∵f＝－＞0，f＝－＜0，∴f·f＜0，
根据函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为，
即所求交点横坐标所在区间为，故选B.]
2．(判断零点个数)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.故选C.
]
3．(研究函数零点的性质)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B [因为f(x＋1)＝－(x)，所以f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)的周期为2.又f(x)为偶函数，∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．函数g(x)＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(－1,3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x＝1对称，其和为2×2＝4，选B.]
4．(已知函数零点个数求参数)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
则实数m的取值范围是________．
(0,1) [作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1)．]
