2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第二次月考数学（理）试题 word版

2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第二次月考数学（理）试题 word版

玉溪一中高2021届高二上学期第二次月考 理科数学 试卷 ‎ ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 抛物线的准线方程是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺），则与的关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A. －1 B. ‎1 ‎ C. －2 D. 2‎ ‎5. 已知命题，则为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6. “”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎7.如图1是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ 图1‎ A．32 B．28 C．24 D．20‎ 图2‎ ‎8. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标。如图2是某地‎11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A. 从日到日，日均值逐渐降低 B.从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 C. 这天中日均值的平均数是49.3‎ D. 这天的日均值的中位数是45‎ ‎9. 新定义运算若，当时，的值域为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的个数为（ ）‎ ①的实轴长为 ②的离心率为 ‎ ③曲线经过的一个焦点 ④直线与有两个公共点 A．1个 B．2个 C.3个 D．4个 ‎11.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且 PA⊥平面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线的两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于 的直线分别交于A,B两点．若成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.狄利克雷函数(Dirichlet)是数学分析中病态函数的典型例子，在高等数学中是一个研究导数存在性，连续性的重要函数，是完全建立在主观意义上的函数，值得我们细细研究。已知狄利克雷函数,则 .‎ ‎14. 设 满足，则的最大值为 .‎ ‎15.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ ‎16. 中，，边上的高为2，则的内切圆半径为 ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分）设函数，.‎ ‎（1）已知，函数是偶函数，求的值；‎ ‎（2）设，求的单调递减区间 .‎ 18． ‎ (本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的 分组 频数 频率 ‎[10，15）‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎[15，20）‎ ‎25‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 ‎1‎ 统计表和频率分布直方图如下：‎ （1） 求出表中，及图中的值；‎ ‎（2）若该校高一学生有360‎ 人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；‎ ‎（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．‎ ‎19.(本小题满分12分) ‎ 已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项.‎ （1） 求与；‎ （2） 若数列满足，设数列的前项和为，求证：‎ ‎20. (本小题满分12分)如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC， PA=AC=2，,‎ ‎∠BAC=60°,D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PBC;‎ ‎（2）证明：EF∥平面ABC；‎ ‎（3）求二面角B﹣CD﹣A的正弦值；‎ ‎21.(本小题满分12分)已知.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当，且有最小值2时，求的值；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22、（本题满分12分 ）‎ 在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为 ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与轨迹交于两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ 玉溪一中高2021届高二上学期第二次月考 理科数学 参考答案 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A D C B D D C A A 二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 1 14. 5 15. 16. ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (10分）解：（I）因为是偶函数，所以，对任意实数都有，即，‎ 故，所以．又，因此或．…4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎………8分 解不等式，可得：‎ 所以，的单调递减区间为，………10分 18． ‎(12分)解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以 因为频数之和为40，所以．‎ 因为是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．（5分）‎ ‎（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，‎ 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（8分）‎ ‎（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人 设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．‎ 则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（10分）‎ 而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，‎ 至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．（12分）‎ ‎19.(12分) 解：（1）由可得，所以等比数列的公比，‎ 所以.由是与的等差中项，可得，‎ 即，解得，所以，‎ ‎.‎ （1） 由（1）知：，所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增，所以，从而 ‎20. (12分) ‎ ‎（1）证明：在中，由正弦或余弦定理得AB=1或 ∠ABC=90°，从而 因为PA⊥平面ABC，，所以 ‎（2）证明：法一：过点F作FM∥PA交AB于点M，‎ 取AC的中点N，连接MN，EN．‎ ‎∵点E为CD的中点，∴EN∥AD，EN=．‎ 又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．‎ ‎∴FM=，FM∥AD，∴FM∥EN且FM=EN，‎ 所以四边形MFEN为平行四边形，‎ ‎∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，‎ ‎∴EF∥平面ABC． ‎ 法二：取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，‎ 因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC．‎ ‎（3）解：过点B作,垂足为H，则可证，在直角中过点B作,垂足为O,则∠BOH为所求二面角的平面角 则 ‎(采用其他方法酌情给分)‎ ‎21.解：（1）‎ 即（2分）‎ ‎（2）， ‎ ‎ ‎ 又在单调递增， ‎ 当，解得 ‎ 当， ‎ 解得（舍去） ‎ ‎ 所以 （7分） ‎ ‎(3），即 ‎ ‎，，，，‎ ‎，依题意有 ‎ 而函数 ‎ 因为，，所以.（12分）‎ ‎22、解：（1）设动点的坐标为，因为，，‎ 所以． 整理得．‎ 所以的轨迹的方程．…………4分 ‎（2）解法1：过点的直线为轴时，显然不合题意．……5分 所以可设过点的直线方程为， ‎ 设直线与轨迹的交点坐标为，，‎ 由得．……6分 因为，‎ 由韦达定理得＝，＝．…………………7分 注意到＝．‎ 所以的中点坐标为．…………8分 ‎…9分 点到直线的距离为．…………10分 因为，…………………11分 即，所以直线与以线段为直径的圆相离．……12分 解法2：①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与交于和两点，此时直线与以线段为直径的圆相离．…………5分 ‎②当过点的直线斜率存在时，设其方程为，‎ 设直线与轨迹的交点坐标为，，‎ 由得．……………6分 因为，‎ 由韦达定理得，．…………7分 注意到．‎ 所以的中点坐标为．……8分 因为 ‎．…………9分 点到直线的距离为．………10分 因为，……………11分 即， 所以直线与以线段为直径的圆相离．…12分