湖北省鄂州市部分高中联考协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

湖北省鄂州市部分高中联考协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学试卷 考试时间：2019年 11月14 日上午 8:00——10:00 试卷满分：150分 一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是(　 　)‎ A．∃x0∈R，x＋x0≤0　 　B．∀x∈R，x2＋x<0‎ C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∃x0∈R，x＋x0<0‎ ‎2. 若数列是等差数列且，设其前项和为. 若，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 某商店为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：‎ 摄氏温度 ‎－1‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎17‎ 饮料瓶数 ‎3‎ ‎40‎ ‎52‎ ‎72‎ ‎122‎ 由上表可得回归方程中的为6，则可预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（ ）‎ ‎ A. 141 B. 241 C. 211 D. 191 ‎ ‎4. 当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α的值为(　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　 　)‎ A．充分不必要条件 B． 充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6等比数列{an}中，，‎ A. B. C. D. ‎7. 如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为(　 　) ‎ A. B. C. D. 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第1页 ‎8. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　 　)‎ A. － B．－ C. D． ‎9. 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C表示向上的一面出现的数字不小于4，则(　 　)‎ A．B与C是对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．A与B是互斥而非对立事件 ‎ ‎10. 自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　 　)‎ A．8x－6y－21＝0　　　　　 B．6x－8y－21＝0‎ C．6x＋8y－21＝0 D．8x＋6y－21＝0‎ ‎11. 已知等腰直角三角形ABC中，，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥C—ABD的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于(　 　)‎ A．4×2 0192－1 B．4×2 0182－1 C．4×2 0172－1 D．4×2 0172‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ‎ ‎14. 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为________．‎ ‎15. 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前2019项的和为________．‎ ‎16. 给出下面四个命题：‎ ‎①“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；‎ ‎②“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；‎ ‎③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；‎ ‎④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．‎ 其中正确命题的序号是 ‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （10分）已知公差的等差数列满足，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式 ；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求数列的前n项和.‎ ‎18. （12分）已知命题：“，使等式2成立”是真命题．‎ ‎（1）求实数的取值集合； ‎ ‎（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．‎ ‎19. （12分）某校命制了一套调查问卷(试卷满分均为100分)，并对整个学校的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．‎ ‎(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；‎ 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第3页 ‎(2)用样本估计总体，若该校共有2 000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；‎ ‎(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．‎ ‎20. （12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PNB；‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．‎ ‎21. （12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎22.（12分） 在数列中，为数列的前项和，‎ ‎ （1）求数列的通项公式 ‎ （2）设，数列的前项和为，证明 高二数学参考答案 ‎1-12 DBDBC CBDAB AB ‎13． 14．x＋2y－6＝0. 15． 16. ①④ ‎ ‎12. 解析：选B　由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n－1，‎ 所以＝·＝(2×2 019－1)(2×2 018－1)‎ ‎＝(2×2 018＋1)(2×2 018－1)＝4×2 0182－1.‎ ‎17. （1）由条件知，‎ 又，则有，又，故，故.…………………4分 ‎（2）由（1）可得，………………7分 即．………10分 ‎18.解：（1）由题意，方程 在 上有解。…………………2分 令 .只需在值域内. …………………4分 易知值域为 。 的取值集合 。…………6分 ‎（2）由题意，。显然N不为空集. ……………………………………8分 ‎①当即时， .‎ ‎ . ………………………………………………………10分 ‎②当即时， .‎ ‎ .‎ 综合：或……………………………………12分 ‎19. (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02. ………………………………………………………………………………………………………………2分 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．…………………………………………………………………………4分 由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．‎ 设中位数为t分，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝，‎ 即所求的中位数为分．…………………………………………………………………………………6分 ‎(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为 ‎2 000×0.6＝1 200. …………………………………………………………………………8分 ‎(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.‎ 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种．‎ 其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a，b，c)，只有1种，‎ 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P＝1－＝.………………………12分 ‎20. 解： (1)证明：连接BD.‎ ‎∵PA＝PD，N为AD的中点， ‎ ‎∴PN⊥AD.‎ 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴BN⊥AD，‎ 又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB. ……………………………………………………………6分 ‎(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，‎ ‎∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝.………………………………………………………………9分 ‎∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，‎ ‎∴VPNBM＝VMPNB＝VCPNB＝×××2＝.…………………………………………………………………12分 ‎21. 解　(1)由得圆心C(3,2)，‎ ‎∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，………………………………2分 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，‎ 即kx－y＋3＝0，∴＝1，∴|3k＋1|＝，∴2k(4k＋3)＝0，…………………4分 ‎∴k＝0或k＝－，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3，‎ 即y＝3或3x＋4y－12＝0. …………………………………………………………………………………………6分 ‎(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，∴设圆心C为(a,2a－4)，‎ 则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1. …………………………………………………………7分 又∵|MA|＝2|MO|，∴设M(x，y), 则＝2，‎ 整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，…………………………………………………………………………9分 ‎∴点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，……………………………………10分 ‎∴2－1≤≤2＋1，解得a的取值范围为[0，]．…………………12分 ‎22.解析：（1）‎ ‎ ……………………………1分 ‎ 两式相减得……………………………2分 ‎ ……………………………3分 ‎ ……………………………4分 ‎ 数列是以3为首项， 3为公比的等比数列.................................5分 ‎ ……………………………6分 ‎ （2）……………………8分 ‎ ………10分 ‎ ………………………………………………………………12分