2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由Venn图中阴影部分确定的集合为B∩（∁UA），然后根据集合的基本运算求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由Venn图中阴影部分可知对应集合为B∩（∁UA），‎ ‎∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，‎ ‎∴∁UA＝{4，5}，B∩（∁UA）＝{4}．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定对应的集合是解决本题的关键．‎ ‎2．已知是实数集，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过解不等式可得集合，通过函数求函数的值域可得结合，根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ 则，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，求出，是解决本题的关键，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．‎ ‎3．若函数的定义域是，则函数定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的定义域，得出函数的自变量满足的关系式，解不等式组即可．‎ ‎【详解】‎ 根据题意有：，‎ 所以，即，‎ 所以的定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数的定义域，得出函数的自变量满足的关系式，属于基础题．‎ ‎4．若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由一元二次不等式，可知，所以，得到的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为一元二次不等式，对一切实数都成立，‎ 所以，即，解得 所以的取值范围为 故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.‎ ‎5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ A中两函数定义域不同；‎ B中两函数定义域不同；‎ C中两函数对应关系不同；‎ D中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，‎ 故选D.‎ ‎6．下列函数中值域为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据初等函数的性质通过对四个选项分别求出值域，即可判断正确选项．‎ ‎【详解】‎ 因为中，，所以，故A不正确；‎ 因为在内递减，在内递增，所以，故B不正确；‎ 根据指数函数性质可得，即的值域为，故C正确；‎ 在内单调递增，，故D不正确，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的值域的判断，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，熟练掌握各初等函数的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7．已知，则的解析式为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，解出，代入，化简即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 设，则，所以，即．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用换元法求函数的解析式，属于基础题，解本类题需要注意的是：换元后需确定新元的取值范围.‎ ‎8．设为定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数奇偶性的性质，将不等式进行等价转化，然后结合单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵为定义在上的偶函数，且在上是增函数，‎ ‎∴在上是减函数，‎ 由得，‎ 等价为，‎ 则，得，得，‎ 即实数的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，考查学生的转化能力，难度不大．‎ ‎9．函数的单调递增区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即的单调减区间，同时满足真数大于0.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为：，设，函数的单调增区间即的单调减区间，‎ 的单调减区间为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的单调性，遵循同增异减原则,和对数型的复合函数有关的单调性，除了内外层的单调性，还需要满足真数大于0.‎ ‎10．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ 的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝( )‎ A．1 B．2 C．3 D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由|BM|=|MN|=|NA|，点A（1，0），B（0，1）知，M（，），N(，)，所以=，=，所以=，=，所以===1，故选A.‎ 考点:函数与方程的综合运用，幂函数的实际应用，对数与指数的互化，对数换底公式 ‎11．给出下列四个命题：‎ ‎①映射不一定是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射；‎ ‎②函数的反函数是，则；‎ ‎③函数的最小值是；‎ ‎④对于函数，则既是奇函数又是偶函数.‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）．‎ A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①根据映与函数的定义即可判断出其关系；②先得出的反函数是，再计算函数值即可；③利用基本不等式得结果；④根据函数的奇偶性定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 当映射不是定义在数集上时就不是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射，故①正确；‎ 的反函数是，则，所以，故②不正确；‎ 函数，当且仅当时取等号，因此其最小值是，故③正确；‎ 由，解得：，，‎ ‎∴是奇函数，不是偶函数，故④不正确．‎ 其中所有正确命题的序号是①③．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义性质、反函数的定义、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎12．设是定义在实数集上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得图象关于对称，由题意易得时，函数单调递增，将转化到区间上，借助函数的单调性判断大小即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴函数的图象关于对称，‎ 又∵当时，，函数在时单调递减，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 又∵， ‎ 即，‎ ‎∴，即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性及其应用，解决本题的关键是利用所给条件把问题转化到已知区间上利用函数性质解决问题，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．函数（其中且）的图象恒过定点，则点坐标是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由指数函数的图象恒过点 而要得到函数（其中且）的图象，‎ 可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位．‎ 则点平移后得到点．点的坐标是．‎ ‎【考点】指数函数的性质 ‎14．已知函数（，且）在上是减函数，则取值范围是_________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】分为和两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数（，且）在上是减函数，‎ 当时，故本题即求在满足时，函数的减区间，‎ ‎∴，求得，‎ 当时，由于是减函数，故是增函数，不满足题意，‎ 综上可得取值范围为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．‎ ‎15．已知函数，（是非零常数），若，则_________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】将和5分别代入函数表达式，两式相减即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴①，‎ ‎②，‎ ‎①②得：，故，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．‎ ‎16．已知是定义在上的奇函数，且，若时，有.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先用定义判断出函数单调递增，对任意的不等式恒成立，等价于，对任意恒成立，可看作关于的一次函数，借助数形结合思想可得关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是定义在区间上的奇函数，且，‎ 时，有，‎ ‎∴任取，，且，‎ 则，‎ ‎∴，∴函数在上单调递增．‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ 把看作的函数，由知其图象是一条线段，‎ 故有，即，‎ 解得或或，‎ 故实数的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的判断，考查不等式解集的求法，考查转化思想、数形结合思想．解题时要认真审题，注意定义法、等价转化思想、构造法的合理运用，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）2（2）19‎ ‎【解析】（1）直接利用对数的运算性质结合即可得结果；（2）根据指数的运算性质计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）原式 ‎(2)原式 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数式与指数式的运算，熟练掌握指数与对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，，全集．‎ 当时，求；‎ 若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由集合并集的运算得：A=，所以A∪B=，‎ ‎（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：A∩B=A，得A⊆B，讨论①当A=∅，②当A≠∅，综合可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当a=2时，A=，‎ 所以A∪B=，‎ ‎（2）因为A∩B=A，所以A⊆B，‎ ‎①当A=∅，即a-1≥2a+3即a≤-4时满足题意，‎ ‎②当A≠∅时，由A⊆B，有，‎ 解得-1，‎ 综合①②得：‎ 实数a的取值范围为：或-1，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合并集的运算及集合间的包含关系及空集的定义，属简单题．‎ ‎19．已知幂函数在上单调递增.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可得出范围；（2）由于在区间，上都是减函数，且，分三种情况讨论，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，‎ 又因为在上单调递增，所以，即，‎ 所以.‎ ‎（2）由于在区间都是减函数，且 分三种情况讨论：‎ ‎①当，即时，原不等式成立；‎ ‎②当且时，有，即，解集为空集；‎ ‎③当且时，有，即，‎ ‎∴‎ 综上所述：的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．设是定义在上的单调递增函数，满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据可令，从而可求出的值；（2）根据条件可求出，原不等式可化为，再根据是定义在上的单调递增函数列出不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，令，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴由得，‎ 且是定义在上的单调递增函数，‎ ‎∴，解得，‎ 故原不等式的解集是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了增函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎21．经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而且销售价格近似满足于（元）.‎ ‎（1）试写出该种商品的日销售额与时间的分段函数表达式；‎ ‎（2）求该种商品的日销售额的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）该种商品的日销售额的最大值为1225元.‎ ‎【解析】（1）根据可得该种商品的日销售额与时间的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得：‎ ‎（2）由（1）知 ‎①当时，‎ 该函数在递增，在递减.‎ ‎（当时取得）.‎ ‎②当时，‎ 该函数在递减，‎ ‎.‎ 由①②知，‎ 答：该种商品的日销售额的最大值为1225元.‎ 点睛：本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，以及分段函数，分段函数求最值的问题，设计到了二次函数求最值，属于中档题.解决此类题目，能够理解题意，迅速将实际问题转化为数学问题是关键，对学生的计算能力，阅读理解能力要求较高，一般转化为数学问题后会涉及函数最值，要学会采用合理的方法求函数的最值.‎ ‎22．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．‎ ‎【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，‎ ‎∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.‎ log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.‎ ‎(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．‎ ‎①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.‎ 综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．‎