2018-2019学年云南省玉溪市一中高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年云南省玉溪市一中高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 云南省玉溪市一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集，集合, 集合，那么（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），‎ 又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），‎ 即CUB=（﹣∞，1），‎ 所以A∩（CUB）=（0，1），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数函数的定义域，属于基础题．‎ ‎2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】选项不正确，因为是可能；选项不正确，因为，和都有可能；选项不正确，因为，可能；选项正确。故选 ‎3．已知直线平行，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；‎ 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；‎ 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，‎ ‎∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．‎ 综上可得：m=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．‎ ‎4．一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．‎ 详解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， ‎ ‎∵正方体的棱长是1， ∴三棱锥的体积 ‎ ‎∴剩余部分体积，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，， 为等比数列的连续三项，则 的值为（ ）‎ A． B． 4 C． 2 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得a32=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q，即可得出所求值 ‎【详解】‎ 数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，‎ ‎∴a32=a1•a7，可得（a1+2d）2=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．‎ ‎∴公比q====2．‎ 则===，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C． D． 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知：‎ k=1，s=2‎ k=2，s=6‎ k=3，s=14‎ k=4，s=30‎ k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎7．已知且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanα 的值，再根据tan（α﹣β）=﹣，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，‎ 又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎8．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）‎ A． ‎ B． 甲得分的方差是736‎ C． 乙得分的中位数和众数都为26‎ D． 乙得分的方差小于甲得分的方差 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，‎ 对于B，甲得分的平均值为，‎ 其方差为，B错误；‎ 对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，‎ 对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．‎ ‎9．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量需满足条件，再比较选项确定结果.‎ ‎【详解】‎ 因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；所以样本容量为 的约数，因为 ，所以样本容量为的倍数，因此舍去B,D;‎ 因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，所以样本容量为的约数加1，因此选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样和分层抽样方法，考查基本求解能力.‎ ‎10．已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A． 5 B． 3 C． 1 D． -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（2，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．‎ 代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=5．即z=2x﹣y的最大值为5．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎11．已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（ ）‎ A． 正三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，利用共线定理求出||=||，判断△ABC是等腰三角形．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，﹣=k×（其中k是非零常数），‎ 如图所示；‎ ‎∴﹣=k×（﹣），‎ ‎∴+k=k+，‎ ‎∴（+k）=（k+），‎ 又、不共线，‎ ‎∴+k=k+=0，‎ ‎∴||=||，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用平面向量知识判断三角形的形状，解题关键利用好平面向量基本定理，属于中档题.‎ ‎12．已知函数,若，使 成立，则称为函数的一个“生成点”,则函数的“生成点”共有(　)‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]‎ ‎=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，‎ 得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63‎ 所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，‎ 由，得或，解得或，‎ 所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，，，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积运算和夹角公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵=，，，‎ ‎∴=0，解得=．‎ ‎∴的夹角为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数量积运算性质和夹角公式，属于基础题．‎ ‎14．数列 的前49项和为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，分母为等差数列的前n项和，用列项法可求得 ，从而可求得数列的前49项和．‎ ‎【详解】‎ 令， ， ∴， ∴ ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，属于中档题．‎ ‎15．若定义在上的函数满足，且是奇函数，现给出下列4个结论：①是周期为4的周期函数；‎ ‎②的图象关于点对称；‎ ‎③是偶函数；‎ ‎④的图象经过点,其中正确结论的序号是__________（请填上所有正确的序号）．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数f（x）的周期，判断出函数的奇偶性，从而求出答案即可．‎ ‎【详解】‎ 由f（x+2）=﹣f（x）可知函数周期为4，‎ 由f（x+1）是奇函数关于原点对称，‎ 可知f（x）关于（1，0）对称，即f（1+x）=﹣f（1﹣x），‎ f（﹣x）=﹣f（﹣x+2）=﹣f（1+1﹣x）=f（1﹣（1﹣x））=f（x），‎ 所以函数为偶函数，f（﹣2）=﹣f（﹣2+2）=﹣f（0），无法判断其值．‎ 综上，正确的序号是：①②③．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识．在阅读题目的时候，采用逐句转化的方法，即读到“f（x+2）=﹣f（x）”时，将其转化为函数的周期为4，这个要记住小结论，即若，f（x+a）=﹣f（x），则函数f（x）为周期函数，且周期为2a．f（x）向左平移1个单位后得到f（x+1），这是函数变换的知识．‎ ‎16．已知正实数，满足，若不等式有解则实数的取值范围是_____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：不等式有解即巧用均值不等式求最值即可.‎ 详解：由已知得：‎ 由题意：，解得：‎ 故答案为： 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设的内角的对边分别为已知 ‎（I）求；‎ ‎（II）若求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边a,b,c化成角的正弦值,用两角和与差的正弦公式化简,可求出角B;(2)由余弦定理求出边a,根据三角形的面积公式求解即可.‎ 试题解析:‎ ‎（I）由已知以及正弦定理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（II）由（I）以及余弦定理可得 . ‎ ‎ . ‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数中的恒等变换应用可得，令，可得单调增区间；‎ ‎（2）由，可得，利用正弦函数的性质从而可求函数f（x）的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）. ‎ 由,‎ 所以函数的单调增区间是 ‎（2）由，可得，，从而，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．‎ ‎19．设，数列满足且.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等比数列的定义，只需判断是否为定值即可；（2）因为，且已知，考虑用累加法求数列的通项公式.‎ 试题解析：（1）由题知：‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎（2）由（1）可得，故 ‎，‎ 累加得：，‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎20．如图，已知平面, 是正三角形，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（I）取 的中点 的中点 ，连接 ，由，△BCE是正三角形， ，结合三角形中位线性质，我们可得四边形 是平行四边形，则 ，根据线面平行的判定定理，即可得到结论． （II）由 根据线面垂直判定定理可得 ，结合（I）中 ，可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ； （III）过作 ，连接BM，我们可以得到 为二面角 的平面角，解三角形 即可求出二面角的正切值．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)当F为BE的中点时,CF∥平面ADE…(1分)‎ 证明：取BE的中点F. AE的中点G，连接GD，GD，CF ‎∴GF=12AB,GF∥AB 又∵DC=12AB,CD∥AB ‎∴CD∥GF，CD=GF ‎∴CFGD是平行四边形…(3分)‎ ‎∴CF∥GD ‎∴CF∥平面ADE…(4分)‎ ‎(Ⅱ)∵CF⊥BF，CF⊥AB ‎∴CF⊥平面ABE ‎∵CF∥DG ‎∴DG⊥平面ABE…(6分)‎ ‎∵DG⊂平面ABE ‎∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)‎ ‎(Ⅲ)∵AB=BE ‎∴AE⊥BG ‎∴BG⊥平面ADE 过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE 则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角…(9分)‎ 设AB=BC=2CD=2，则 BG=2√,GE=2√‎ 在Rt△DCE中，CD=1，CE=2‎ ‎∴DE=5√‎ 又DG=CF=3√‎ 由DE⋅GM=DG⋅EG得GM=30−−√5…(11分)‎ ‎∴tan∠BMG=BGGM=15−−√3‎ ‎∴面角的正切值15−−√3…(12分)‎ ‎21．设圆的圆心在轴上，并且过两点.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）圆的圆心在的垂直平分线上，又的中点为， ，∴的中垂线为.∵圆的圆心在轴上，∴圆的圆心为，因此，圆的半径，（2）设M,N的中点为H，假如以为直径的圆能过原点，则.，设是直线与圆的交点，将代入圆的方程得： .∴.∴的中点为.代入即可求得，解得.再检验即可 试题解析：‎ ‎(1)∵圆的圆心在的垂直平分线上，‎ 又的中点为， ，∴的中垂线为.‎ ‎∵圆的圆心在轴上，∴圆的圆心为，‎ 因此，圆的半径，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎(2)设是直线与圆的交点，‎ 将代入圆的方程得： .‎ ‎∴.‎ ‎∴的中点为.‎ 假如以为直径的圆能过原点，则.‎ ‎∵圆心到直线的距离为，‎ ‎∴.‎ ‎∴，解得.‎ 经检验时，直线与圆均相交，‎ ‎∴的方程为或.‎ 点睛：直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，务必牢记d与r的大小关系对应的位置关系结论的理解.‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）若函数是奇函数，求实数的值；‎ ‎（2）在在（1）的条件下，判断函数与函数的图像公共点个数，并说明理由；‎ ‎（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)1；(2)答案见解析；(3).‎ ‎【解析】分析：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，结合等式成立的条件整理计算可得.‎ ‎（2）由（1）知，则，函数的定义域，原问题等价于在定义域上的解的个数.结合函数的单调性和函数零点存在定理可知函数与函数的图象有2个公共点.‎ ‎（3）原问题等价于在上恒成立，利用换元法，令，则在恒成立.令，.结合二次函数的性质分类讨论可得的取值范围是.‎ 详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.‎ 上面等式左右两边同时乘以得：‎ ‎，‎ 化简得:，‎ 上式对定义域内任意恒成立，所以必有，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）知，所以，即，‎ 由得或，‎ 所以函数定义域，‎ 由题意，要求方程解的个数，即求方程：‎ 在定义域上的解的个数.‎ 令，显然在区间和均单调递增，‎ 又，，‎ 且，，‎ 所以函数在区间和上各有一个零点，‎ 即方程在定义域上有2个解，‎ 所以函数与函数的图象有2个公共点.‎ ‎（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，‎ 必须使在上恒成立，‎ 令，则，上式整理得在恒成立.‎ 令，.‎ ‎① 当，即时，在上单调递增，‎ 所以，恒成立；‎ ‎②当，即时，在上单调递减，‎ 只需，解得与矛盾；‎ ‎③当，即时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以由，解得，‎ 又，所以.‎ 综合①②③得的取值范围是.‎ 点睛：函数零点的求解与判断方法：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎