2020届二轮复习极值点偏移第五招---函数的选取学案（全国通用）

2020届二轮复习极值点偏移第五招---函数的选取学案（全国通用）

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.‎ ‎★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．‎ ‎（1）求的取值范围； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求证：； ‎ ‎（4）求证：．‎ 解：（1），若，则，在上单调递增，‎ 至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，*‎ 在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．‎ ‎（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．‎ ‎（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：‎ ‎（ii）构造函数，则 ‎*‎ ‎（4）（i）同上；‎ ‎（ii）构造函数，则 ‎ ‎ 当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；‎ ‎（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在 上递增，故，． ‎ 点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．‎ 再次回到题设条件：‎ ‎，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．‎ ‎（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，， ‎ 由不妨设．‎ ‎ ‎ ‎【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．‎ 注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．‎ 注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：‎ ‎①若，则，结论成立；‎ ‎②当时，类似于原解答．‎ 而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．‎ ‎【思考】‎ 练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？‎ 提示：用函数来做，用函数来做．*‎ 练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设, ，为函数的两个零点，求证.‎ 提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.‎ ‎【招式演练】‎ ‎★已知函数有两个零点，‎ 求证：.‎ 只要证：即证：，即证：，由 的单调性知，只需证：，*‎ 同理构造函数，利用单调性证明，下略.‎ ‎★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ 又构造函数：，‎ 则，‎ 故在上单调递增，由于时，，‎ 且，‎ 故必存在，使得，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ 又时，，且，‎ 故在上恒成立，‎ 也即在上恒成立，‎ 令，有，*‎ 再由，且在上单调递增，‎ 故，即证：成立.‎ 综上：即证成立.‎ 从而对恒成立，同理得出：.‎ 综上：即证成立，也即原不等式成立. *‎ ‎★已知函数．‎ ‎（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为点在曲线上，所以，解得．‎ 因为，所以切线的斜率为0，‎ 所以切线方程为．‎ ‎（2）因为，‎ ‎①当时， ， ，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎②当，即时， ， ，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎③当，即时，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 则；*‎ ‎④当，即时， ， ，‎ 函数在上单调递减，则．‎ 综上，当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， ．‎ 令，则，于是，‎ 令（），‎ 则，‎ 故函数在上是增函数，‎ 所以，即成立，所以原不等式成立．‎ 所以，即成立，所以原不等式成立．*‎ ‎【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.‎