2019届二轮复习第2讲　函数与方程、数形结合思想学案（全国通用）

2019届二轮复习第2讲　函数与方程、数形结合思想学案（全国通用）

第 2 讲 函数与方程、数形结合思想 数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量 之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数 学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决 问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解 方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想， 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题 直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数 定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 热点一 函数与方程思想 应用 1 求解不等式、函数零点的问题 【例 1】 (1)设 00， 则 f′(x)＝ex－1>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0， ∴ex－1>x，即 ea－1>a. 又 y＝ax(0ae， 从而 ea－1>a>ae. (2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即1 x ＋ln x＝k. 令函数 f(x)＝ln x＋1 x ，若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间 1 e ，e 上有两个不等实根， 则函数 f(x)＝ln x＋1 x 与 y＝k 在区间 1 e ，e 上有两个不相同的交点，f′(x)＝1 x －1 x2 ， 令1 x －1 x2 ＝0可得 x＝1，当x∈ 1 e ，1 时f′(x)<0，函数是减函数；当x∈(1，e)时，f′(x)>0， 函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为 f(1)＝1，而 f 1 e ＝－1＋e，f(e)＝1 ＋1 e ，又－1＋e>1＋1 e ，所以，函数的最大值为 e－1.所以关于 x 的方程 xln x－kx ＋1＝0 在区间 1 e ，e 上有两个不等实根，则实数 k 的取值范围是 1，1＋1 e . 答案 (1)B (2)B 探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与 不等式的性质求解. 2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程 根的问题转化为函数零点问题. (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练 1】 (1)设函数 f(x)＝x 2 －cos x，则方程 f(x)＝π 4 所有实根的和为( ) A.0 B.π 4 C.π 2 D.3π 2 (2)(2018·石家庄质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝ log2(1－x)，若 f(a2－1)<1，则实数 a 的取值范围是( ) A.(－ 2，0)∪(0， 2) B.(－ 2， 2) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，1) 解析 (1)由 f(x)＝x 2 －cos x＝π 4 ，得x 2 －π 4 ＝cos x， 令 y＝x 2 －π 4 ，y＝cos x. 在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点 π 2 ，0 . ∴方程 f(x)＝π 4 的实根之和为π 2. (2)依题意，f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(x)在 R 上是偶函数. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(1)＝f(－1)＝1. 由 f(a2－1)<1，得|a2－1|<1，解得－ 20 恒成立， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3， 即当 n＝1 时，(bn)max＝1 6. 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立， 则须使 k≥(bn)max＝1 6 ，∴实数 k 的最小值为1 6. 探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求 bn， 构造函数，利用单调性求 bn 的最大值. 2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前 n 项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其 表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助 an＋1－an 的 正负判断其单调性. 【训练 2】(2018·东北三省四校二模)已知等差数列{an}的公差 d＝1，等比数列{bn} 的公比 q＝2，若 1 是 a1，b1 的等比中项，设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且 a·b ＝5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设 cn＝2anlog2bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)依题设，a1b1＝1，且 a·b＝5. ∴ a1b1＝1， a1b1＋a2b2＝5， 即 a1b1＝1， a1b1＋（a1＋1）·2b1＝5. 解之得 a1＝1， b1＝1. 数列{an}的公差为 d＝1，{bn}的公比 q＝2， 所以 an＝n，bn＝2n－1(n∈N*). (2)cn＝2anlog2bn＝2n·log22n－1＝(n－1)2n(n∈N)， Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n， 2Tn＝23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)2n＋1， 两式相减得， －Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)2n＋1， ＝22－2n×2 1－2 －(n－1)2n＋1＝－4＋(2－n)2n＋1， Tn＝(n－2)2n＋1＋4(n∈N*). 应用 3 函数与方程思想在几何问题中的应用 【例 3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线 y＝kx(k ＞0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点. (1)若ED→ ＝6DF→ ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解 (1)依题意得椭圆的方程为x2 4 ＋y2＝1，直线 AB，EF 的方程 分别为 x＋2y＝2，y＝kx(k＞0). 如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1＜x2，且 x1，x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4， 故 x2＝－x1＝ 2 1＋4k2.① 由ED→ ＝6 DF→ 知 x0－x1＝6(x2－x0)， 得 x0＝1 7(6x2＋x1)＝5 7x2＝ 10 7 1＋4k2 ； 由 D 在 AB 上知 x0＋2kx0＝2， 得 x0＝ 2 1＋2k.所以 2 1＋2k ＝ 10 7 1＋4k2 ， 化简得 24k2－25k＋6＝0，解得 k＝2 3 或 k＝3 8. (2)根据点到直线的距离公式和①式知，点 E，F 到 AB 的距离分别为 h1＝|x1＋2kx1－2| 5 ＝2（1＋2k＋ 1＋4k2） 5（1＋4k2） ， h2＝|x2＋2kx2－2| 5 ＝2（1＋2k－ 1＋4k2） 5（1＋4k2） . 又|AB|＝ 22＋12＝ 5， 所以四边形 AEBF 的面积为 S＝1 2|AB|(h1＋h2) ＝1 2· 5· 4（1＋2k） 5（1＋4k2） ＝2（1＋2k） 1＋4k2 ＝2 1＋4k2＋4k 1＋4k2 ＝2 1＋ 4 1 k ＋4k ≤2 2， 当且仅当 4k2＝1(k＞0)，即当 k＝1 2 时，上式取等号. 所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求 解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目 标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这 是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法. 【训练 3】 (1)(2018·长沙一中质检)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切 削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件 的一个面内，则原工件材料的利用率为 材料利用率＝新工件的体积 原工件的体积 ( ) A. 8 9π B.16 9π C.4（ 2－1）3 π D.12（ 2－1）3 π (2)若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双 曲线右支上的任意一点，则OP→ ·FP→的取值范围为________. 解析 (1)如图所示，原工件是一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥， 依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上 的面是正方形，设正方形的边长为 a，长方体的高为 h，则 0m， 其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的 方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________. 解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数 y＝x2＋1，y＝x＋3， y＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集 R 上，min{x2＋1， x＋3，13－x}为 y＝x＋3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间 的部分，线段 BC，与直线 y＝13－x 点 C 下方的部分的组合 图.显然，在区间[0，＋∞)上，在 C 点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大 值. 解方程组 y＝x＋3， y＝13－x 得点 C(5，8).所以 f(x)max＝8. (2)作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2 ＋4m－m2. ∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m20.又 m>0，解得 m>3. 答案 (1)C (2)(3，＋∞) 探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函 数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两 个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原 则，不要刻意去用数形结合. 【训练 4】 若函数 f(x)满足 f(x－1)＝ 1 f（x）－1 ，当 x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在 区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为________. 解析 ∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x. ∴当 x∈(0，1)时，－11 2 时，作出不等式组 x＋2y≥0， mx－y≤0， x－2y＋2≥0 表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边 界). y＝2x－z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z＝2x－y 取得最大值. 易求点 B 2 2m－1 ， 2m 2m－1 ， ∴最大值为 z＝2× 2 2m－1 － 2m 2m－1 ＝2，解得 m＝1. 答案 (1)A (2)C 探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适 当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解. 2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选 择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关 系解决问题. 【训练 5】 (1)当 x∈(1，2)时，(x－1)21. 在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象. 若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. (2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，设OC→ ＝ c，OA→ ＝a，OB→ ＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即AC→⊥BC→. 又因为OA→ ⊥OB→ ，所以 O，A，C，B 四点共圆.当且仅当 OC 为圆 的直径时，|c|最大，且最大值为 2. 答案 (1)(1，2] (2)C 应用 3 圆锥曲线中的数形结合思想 【例 6】 已知抛物线的方程为 x2＝8y，点 F 是其焦点，点 A(－2，4)，在此抛物 线上求一点 P，使△APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为________. 解析 因为(－2)2<8×4，所以点 A(－2，4)在抛物线 x2＝8y 的 内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q， 过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连接 AQ.则△APF 的周长为|PF|＋|PA| ＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|. 因为 A(－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(－2，y0)，代 入 x2＝8y，得 y0＝1 2 ，故使△APF 的周长最小的点 P 的坐标为 －2，1 2 . 答案 －2，1 2 探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其 中的相互关系求解. 2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比 值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式—— 可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离. 【训练 6】 (2018·江南名校联考)设 A，B 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且|AB|＝ 3，点 P 在直线 l：3x＋4y－12＝0 上运动，则|PA→＋PB→|的最小值为( ) A.3 B.4 C.17 5 D.19 5 解析 设 AB 的中点为 D，则PA→＋PB→＝2PD→ ， ∴当且仅当 O，D，P 三点共线时，|PA→＋PB→|取得最小值， 此时 OP⊥AB，且 OP⊥l. ∵圆心到直线 l 的距离为 12 9＋16 ＝12 5 ，|OD|＝ 1－3 4 ＝ 1 2 ，∴|PA→＋PB→|的最小值为 2× 12 5 －1 2 ＝19 5 . 答案 D