高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习理北师大版

高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习理北师大版

‎12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 核心考点·精准研析 考点一　分类加法计数原理及其应用 ‎ ‎1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有 (　　)‎ A.30 B.20 C.10 D.6‎ ‎2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有 (　　)‎ A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 ‎3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________________. ‎ ‎【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法.‎ ‎2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时,‎ 满足条件有3种方法(如图),‎ 同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.‎ 由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.‎ ‎3.渐升数由小到大排列,形如的渐升数共有6+5+4+3+2+1=21(个).‎ 形如 的渐升数共有5个.‎ 形如 的渐升数共有4个.‎ 故此时共有21+5+4=30(个).‎ 因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359.‎ 答案:1 359‎ ‎　应用分类加法计数原理的四个步骤 - 6 -‎ ‎(1)完成的一件事是什么.‎ ‎(2)确定分类时,n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事.‎ ‎(3)确定恰当的分类标准,对完成这件事的办法分类时要“不重不漏”,即每一种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的.‎ ‎(4)把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.‎ 考点二　分步乘法计数原理及其应用 ‎ ‎【典例】‎ ‎1.一个小朋友从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数,则他写出的三位数有____________个. (　　) ‎ A.1 000 B.900 C.720 D.648‎ ‎2.已知集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,则集合中的元素个数为________________. ‎ ‎3.有4个同学各自在2020年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,则有多少种选法?‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由组成三位数想到先确定百位数字,再确定十位数字,最后确定个位数字 ‎2‎ 由x∈A,y∈B,z∈C想到先确定x,再确定y,最后确定z ‎3‎ 由4个同学在三天中任选一天,联想到每个人有3种选择.‎ ‎【解析】1.选D.分三个步骤:第一步确定百位数字,有9种方法,第二步确定十位数字,有9种方法,第三步确定个位数字,有8种方法,所以由分步乘法计数原理得他写出的三位数有9×9×8=648(个).‎ ‎2.分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有9种方法,由分步乘法计数原理得集合中元素个数为4×3×9=108.‎ 答案:108‎ ‎3.每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81(种).‎ ‎　应用分步乘法计数原理的三个步骤 ‎(1)完成的一件事是什么.‎ ‎(2)需要分几个步骤.每一步各有多少种方法.‎ 每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤,但是不能完成这件事.‎ ‎(3)把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.‎ - 6 -‎ ‎1.(2019·济南模拟)某校2019年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人,其中数学科有7人,物理科有5人,化学科有3人,从三个学科中各选一人作护旗手,则选出这3个人的方法有____________种 (　　) ‎ A.15 B.35 C.56 D.105‎ ‎【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手,所以应该分成三步:‎ 第一步,从数学科7人中选出1人,有7种方法,‎ 第二步,从物理科5人中选出1人,有5种方法,‎ 第三步,从化学科3人中选出1人,有3种方法,‎ 所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有7×5×3=105(种).‎ ‎2.从集合{1,2,3,…,11}中任意取两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的个数是 (　　)‎ A.43 B.72 C.86 D.90‎ ‎【解析】选B.根据题意,m是不大于10的正整数,n是不大于8的正整数.但是当m=n时,+=1是圆而不是椭圆.先确定n,n有8种可能,对每一个确定的n,m有10-1=9种可能,故满足条件的椭圆有8×9=72个.故选B.‎ 考点三　两个计数原理的综合应用 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查“分类”与“分步”的关系 ‎(2)考查两个计数原理的综合应用 ‎2.怎么考:以实际问题(数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等)为背景,考查两个计数原理,多数是以选择题或填空题,或者解答题的一个小题的形式考查 ‎3.新趋势:结合新背景,考查两个计数原理的综合应用 学 霸 好 方 利用两个计数原理解题的关键:‎ ‎(1)认真阅读审题,选择适合的分类标准进行合理分类,简化问题 ‎(2)根据题意,弄清楚完成一件事的要求,正确区分先分类再分步还是先分步再分类 - 6 -‎ 法 数字问题 ‎【典例】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________________个.(用数字作答)‎ ‎【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:5×4×3×2=120,第二种:四位数中有一位为偶数的个数为4×4×5×4×3=960,则共有1 080个.‎ 答案:1 080‎ 如何求与数字有关的计数问题?‎ 提示:(1)先确定是分类还是分步,分类时确定好统一标准,不重复,也不遗漏,分步时,确定好步骤.‎ ‎(2)先根据题意确定特殊数位的数字(如首位不能为0,奇数的个位为奇数等),再确定其他位置上的数字.‎ 染色问题 ‎【典例】如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. ‎ ‎【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.‎ 当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).‎ 如何求解染色问题的计数?‎ 提示:(1)分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的染色顺序.‎ ‎(2)选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,分类与分步交叉时不要计数重复,也不要遗漏.‎ 几何中的计数问题 - 6 -‎ ‎【典例】设α,β是两个平行平面,若α内有3个不共线的点,β内有4个点(任意3点不共线),从这些点中任取4个点最多可以构成____________个四面体 (　　) ‎ A.34 B.18 C.12 D.7‎ ‎【解析】选A.完成的一件事是“任取4个点构成四面体”,所以分成三类:第一类,从α上取1个点,β上取3个不同的点,可以构成四面体的个数为3×4=12,第二类,从α上取2个点,β上取2个不同的点,可以构成四面体的个数为3×6=18,第三类,从α上取3个点,β上取1个不同的点,可以构成四面体的个数为1×4=4,所以共有四面体的个数为12+18+4=34.‎ 如何解决几何中的计数问题?‎ 提示:(1)准确读取题目中的有用信息,明确已知与未知;‎ ‎(2)正确进行分类与分步,会在实际问题中应用它.‎ ‎1.小明有一盒10种颜色的画笔,给如图所示图形涂上颜色,相邻的两块颜色不能相同,则他可以有____________种涂色方法 (　　) ‎ A B C A.810 B.1 000 C.27 D.4 320‎ ‎【解析】选A.分三个步骤:第一步涂A,有10种方法,第二步涂B,有9种方法,第三步涂C,有9种方法,所以由分步乘法计数原理得共有10×9×9=810(种)涂色方法.‎ ‎2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 (　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎【解析】选B.由题意可得,比40 000大的五位数万位只能是4或5,‎ 当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有2×4×3×2=48(种)情况;‎ 当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0,2或4中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有3×4×3×2=72(种)情况;‎ 由分类加法计数原理可得,满足题意的数共有48+72=120(个).‎ ‎3.某班要从5名男生和3名女生中选出2人作为社区服务志愿者,若用变量x表示选出的志愿者中女生的人数,y表示对应的方法数,试用列表法表示这个函数.‎ ‎【解析】x的取值为0,1,2‎ - 6 -‎ ‎(1)x=0,即选出的2人都是男生,把5名男生编号为1,2,3,4,5,则选出的两人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10种方法,此时y=10.‎ ‎(2)x=1,即选出的2人中1个男生,1个女生,‎ 分两个步骤,第一步选出男生,有5种方法,第二步选出女生,有3种方法,所以共有5×3=15种方法,此时y=15.‎ ‎(3)x=2,即选出的2人都是女生,有3种方法,此时y=3.‎ 列表如下:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎10‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎1.一个小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9写出的两位数中偶数的个数为________________. ‎ ‎【解析】分两个步骤:第一步,写个位数字,从2,4,6,8中选一个,有4种方法,第二步,写十位数字,有9种方法,所以写出的两位数中偶数的个数为4×9=36.‎ 答案:36‎ ‎2.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________________. ‎ ‎【解析】分两种情况讨论:(1)对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个).‎ ‎(2)对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.‎ 所以正方体中“正交线面对”共有36个.‎ 答案:36‎ - 6 -‎