2018-2019学年河南省周口市高二上学期期末抽测考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省周口市高二上学期期末抽测考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省周口市高二上学期期末抽测考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，分别求得集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合，，‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎2．命题“，”的否定为（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可求得命题的否定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为“”，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有量词的否定问题，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确作出书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解 ‎【详解】‎ 由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎4．已知，则“”是“方程表示的曲线是椭圆”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由方程表示的曲线是椭圆时，满足，且，进而利用充要条件的判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得方程表示的曲线是椭圆时，满足，且，‎ 所以“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，以及必要不充分条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知，则下列不等式正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，则 ‎ 对于A中，则 ，所以，所以不正确；‎ 对于B中，因为函数为单调递减函数，所以，所以不正确；‎ 对于C中，因为函数为单调递增函数，又因为，则，‎ 所以是正确的；‎ 对于D中，由，所以，所以不正确，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列满足，即，‎ 所以数列为等差数列，‎ 设等差数列的公差为，则，‎ 所以数列的通项公式为，‎ 令，即，解得，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以数列中前项的和最大，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知变量，满足约束条件则目标函数的最大值为( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，由目标函数，得，结合图象，得到目标函数的最优解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 又由目标函数，得，‎ 由图象可知，当直线过可行域内点A时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，‎ 又由，解得，‎ 所以目标函数的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中解答中正确画出约束条件坐标表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．已知等比数列中的各项均为正数，，则的值为( )‎ A．30 B．15 C．5 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可得，再根据对数的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，等比数列中的各项均为正数，满足，‎ 由等比数列的性质可得 ‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟练应用等比数列的性质，以及熟练应用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知空间三点，，，若向量与垂直，则的值为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】用点坐标表示出向量与，由向量垂直得到向量点乘等于零，计算出的值 ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎,‎ 向量与垂直，‎ 则 ‎ 即：‎ ‎,‎ 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了运用点坐标求解向量垂直时参数的取值，运用向量垂直计算公式即可计算出结果，较为简单 ‎10．在正方体中，若棱长，则点到平面的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎,‎ 设平面的法向量 则，取，可得 点到平面的距离为 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了点到平面的距离，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，运用公式计算出结果，较为基础 ‎11．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且轴，若的面积为，则的周长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意中三角形面积结合双曲线的几何性质，运用勾股定理得到关于的方程，求出的值，然后再计算出三角形周长 ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 故 轴，‎ ‎，‎ ‎，,‎ ‎,,‎ 解得 由定义可得 ‎,‎ ‎,‎ 根据勾股定理可得 ‎,‎ ‎,‎ 解得，或（舍去）‎ 则，，‎ 的周长为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了焦点三角形的周长问题，在计算过程中熟练运用双曲线的性质来解题，较为基础，注意计算不要出错 ‎12．已知是等腰直角三角形，点在线段的延长线上，若，则( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出图形，运用余弦定理求出的长 ‎【详解】‎ 由图可得 ‎,‎ 解得或（舍去）‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用余弦定理解三角形，画出图形后即可计算出结果，较为基础 二、填空题 ‎13．已知的三边长分别为2，5，，则的面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理可得一内角的余弦值，进而可得正弦值，代入三角形的面积公式即可得到答案 ‎【详解】‎ 在中，由题意不妨设的三边长分别为 则由余弦定理可得 ‎,‎ ‎.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎14．已知正实数，满足，则的最小值为___．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意，可得，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，正实数，满足，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，取得最小值，其最小值为4，故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由已知条件计算出点三点共线，然后计算出三角形面积 ‎【详解】‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ ‎,‎ 为公共点，‎ 则三点共线 由题可得 则 ‎,‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线与向量的综合，在计算过程中结合向量的知识将其转化为三点共线，然后再计算三角形面积，属于基础题 ‎16．已知数列的前项和.设，则数列的前10项和为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件先推得的通项公式，然后运用裂项相消法求出最后结果 ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求数列的和，需要掌握此类题目的解答过程，运用裂项相消法求出最后的值，属于中档题 三、解答题 ‎17．已知函数在上单调递增；，.若为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，根据函数的单调性，求得当为真，则；在根据三角函数的性质，求得当为真，则，又由命题一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，函数的定义域为.‎ 由于，‎ 故函数在和上单调递增，‎ 若为真，则.‎ 因为，所以，.‎ 若为真，则.‎ 若真假，则实数满足无解.‎ 若假真，则实数满足所以.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中根据函数单调性和三角函数的性质，正确求解命题为真时，实数的取值范围，在分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知正项等比数列满足，且，，依次成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，设的公比为，根据题意，求得公比，进而利用等比数列的通项公式，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设的公比为.‎ 因为，，依次成等差数列，,‎ 所以所以.‎ 解得（负值舍去）.所以.‎ ‎（Ⅱ）依题意，.‎ 故 ，‎ ‎ .‎ 故 .‎ 故 ，‎ 即，‎ 整理得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎19．已知曲线位于第一、四象限（含原点），且上任意一点的横坐标比其到点的距离小1.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线上到直线的距离最小的点的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，得到曲线是以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得到曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与直线平行的切线方程为，联立方程组，求得实数的值，进而可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为曲线上任意一点的横坐标比其到点的距离小1，‎ 所以任意一点到直线的距离等于其到的距离.‎ 因此曲线是以为焦点，以为准线的抛物线.‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设曲线与直线平行的切线方程为.‎ 将与联立得.‎ 由得.‎ 此时，，所以距离最近的点为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义法求解抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中利用抛物线的定义，正确求解抛物线的标准方程，以及合理利用直线与抛物线联立，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知的内角，，所对的边分别是，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的周长的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理和两角和的正弦函数的公式，化简求得，进而得到角的大小；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，求得，得到，进而得到周长的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理可得.‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 由于，故.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得.‎ 即 ，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以，即，，所以.‎ 故的周长的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎21．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，.过的中点作于点，连接，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1‎ ‎【解析】（1）先证明，接着证明平面，.然后运用线面垂直的判定定理求出结果 ‎（2）分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出法向量，由公式计算出结果 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎∵四边形是矩形，∴.‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎∵，为的中点，∴.‎ 又∵，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设，如图，以点为坐标原点，‎ 分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.‎ 则，，.‎ 由（Ⅰ）知平面，∴.‎ 又∵，，∴平面.‎ ‎∴是平面的一个法向量，‎ 易知是平面的一个法向量.‎ ‎∴ .‎ 解得，‎ 即的长为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间位置关系，线面垂直的证明以及空间向量解决立体几何问题，需要掌握并熟练运用，属于中档题 ‎22．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点. ‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程.‎ ‎（Ⅱ）斜率不为0的动直线过点且与轨迹交于，两点，为坐标原点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心和半径，结合已知可得点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，进而求出b，a,即可求得答案 ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，求出和的表达式，然后结合题意中为定值计算出结果 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，得，‎ 所以，半径为4.‎ 因为线段的中垂线与交于点，所以，‎ 所以.‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，‎ 所以.‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线，，.‎ 联立化简整理得，‎ 所以，.‎ 因为 ，‎ ‎ ，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 当，即时，取定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质以及直线与圆的位置关系，在计算过程中需要注意方法，设而不求，给出点坐标后进行计算，需要一定的计算能力，属于中档题