【数学】2018届一轮复习人教A版考点46几何概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版考点46几何概型学案

典型高考数学试题解读与变式 2018 版 考点 46 几何概型 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． ②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． (3)几何概型的概率公式：P(A)＝ 构成事件A的区域长度角度 试验全部结果所构成的区域长度角度 2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知 识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为 5 分，难度为基础题或中档题. 二、题型与相关高考题解读 1.与长度角度有关的几何概型 1.1 考题展示与解读 例 1 【2016 高考新课标 2 文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持 续时间为 40 秒.若一名行人 到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ，故选 B. 【解题能力要求】应用意识，运算求解能力 【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模 型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键 是构建事件的区域(长度、角度)． 1.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】若正方形 边长为 为四边上任意一点，则 的长度大于 7 10 5 8 3 8 3 10 40 15 5 40 8 − = ABCD 4, E AE 5 的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 分别为 或 靠近点 的四等分点，则当 在线段 上时， 的长度大于 ， 所能取到点的长度为 ， 正方形的周长为 ， 的长度大 于 ，的概率等于 ，故选 D. 【变式 2：改编结论】在区间 内随机取一个数 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ， ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆的概率是 ，故 选 D. 【变式 3：改编问法】已知 ，直线 和曲线 有两 个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为 ，向区域 上随机投一点 ，点 落在区域 内 的概率为 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）学+ A. B. C. D. 【答案】B 1 32 7 8 3 8 1 8 M N， BC CD C E ,CM CN AE 5 E 2  16 AE∴ 5 2 1=16 8 [ ]1,5 m 2 2 24 1m x y+ = y 3 5 1 5 1 4 3 4 2 2 24 1m x y+ = y 2 4m > 2m > 2 5m< < 2 2 24 1m x y+ = y 5 2 3 5 1 4P −= =− 2.与面积有关的几何概型 2.1 考题展示与解读 例 2【2017 课标 1，理】如图，正方形 ABCD 内的图形 自中国古代的太极图.正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取 自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题. 【答案】B 【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力 【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可 根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求 解． 2.2【典型考题变式】 :学 ] 【变式 1：改编条件】如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切 圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方 形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ） 1 4 π 8 1 2 π 4 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的半径 为 1，所以白色区域的面积为 ，由几何概型概率公式可得所 求概率为 ，选 D。 【变式 2：改编结论】如图，在菱形 中， ， ，以 4 个顶点为 圆心的扇形的半径为 1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 ，则 圆周率 的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式 3：改编问法】2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此 发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 ，面 额 元．为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） 64 π 32 π 16 π 8 π 2 2 24 2 4 1 8π π π π× − × − × × = 2 8 8 8 π π= ABCD 3AB = 60BAD∠ =  0p π 07.74p 07.76p 07.79p 07.81p 22mm 100 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为 22mm，得半径 r=11mm，则圆形金质纪念币的面 积为 πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是 ，故选 B. 3.与体积有关的几何概型 3.1 考题展示与解读 例 3 在棱长为 的正方体中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 的概 率为　(　　) A. B. C. D. 【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题. 【答案】A 【解析】符合条件的点 P 落在棱长为 的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得 P= = . 故选 A. 【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力 【方法技巧归纳】求解与体积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何体的体积， 必要时可根据题意构造三个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的空间几何 体，以便求解． 3.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】一个球形容器的半径为 ，里面装满纯净水，因不小心混入了 1 个 感冒病毒，从中任取 水含有感冒病毒的概率为（ ） A. B. C. D. 2726 5 mm π 2363 10 mm π 2363 5 mm π 2363 20 mm π 230 363121 100 10 mm ππ × = a 3 a 1 27 1 16 1 9 1 3 3 a 3 3 3 a a     1 27 3cm 1mL 1 3 1 3π 1 36π 4 9π 【答案】C 【解析】由题意,球的体积为 ，由几何概型公式可得从中任取 水(体积为 1 ),含有感冒病毒的概率为 ；故选 C. 【变式 2：改编结论】在球 内任取一点 ，则 点在球 的内接正四面体中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式 3：改编问法】已知正方体 ABCD ­A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M， 则四棱锥 M ­ABCD 的体积小于 的概率为______． 【答案】 【解析】 正方体 的棱长为 正方体体积 ，当四棱锥 的体积小于 时，设它的高为 ，则 ，解之得 ，则点 在到 平面 的距离等于 的截面以下时，四棱锥 的体积小于 ，求得使得四 棱锥 的体积小于 的长方体的体积 四棱锥 的 3 34 3 36 363 cm mlπ π π× = = 1mL 3cm 1 36π 1 6 1 2  1 1 1 1ABCD A B C D− 1,∴ 1 1 1 1V = × × = M ABCD− 1 6 h 1 1 3 6h× < 1 2h < M ABCD 1 2 M ABCD− 1 6 M ABCD− 1 6 1 1' 1 1 ,2 2V = × × = ∴ M ABCD− 体积小于 的概率 ，故答案为 . 4.几何概型与其他知识的交汇 4.1 考题展示与解读 例 4【2016 高考山东理数】在 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 相交”发生的概率为 . 学+ 【命题意图探究】本题主要考查直线与圆的位置关系、几何概型，是中档题. 【答案】 【解题能力要求】化归与转换思想、运算求解能力 【方法技巧归纳】与其他知识交汇的几何概型问题，先用相关知识计算出满足条件的长度或 面积或体积，再利用几何概型公式计算其概率. 4.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知 ， 是 上的两个随机数，则 到点 的距离 大于其到直线 x=-1 的距离的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【 解 析 】 ， 是 上 的 两 个 随 机 数 ， 则 可 由 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间， 考查如下轨迹方程问题： 到点 的距离等于其到直线 的距离， 1 6 ' 1 2 VP V = = 1 2 [ 1,1]- 2 2( 5) 9x y- + = 3 4 x y [ ]0 1， ( )P x y， ( )1 0， 1 12 11 12 1 4 3 4 x y [ ]0 1， ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ( )P x y， ( )1 0， 1x = − 由抛物线的定义可得，轨迹方程为 ，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域， 对 求解定积分可得其面积为： ，据此可得，满足题意的概率 值为 ，故选 A. 【变式 2：改编结论】已知 是 所在平面内一点， ，现在 内任取一点，则该点落在 内的概率是__________．[ : ] 【答案】 【解析】如图：，可得 ,所以点 到 的距离是 点 到 的距离的 ， . 【变式 3：改编问法】设 是由 轴，直线 和曲线 围成的曲边三角形 区域，集合 ，若向区域 上随机投一点 ，点 落在区域 内 的概率为 ，则实数 的值是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 2 4y x= y 1 2 2 3 1 0 0 1 1 1|4 12 12y dy y = =  ∫ 1 112 1 1 12p = =× P ABC∆ 4 0PB PC PA+ + =    ABC∆ PBC∆ 2 3 4 2 0 0 2PD PA P P PA= − = ⇒ = −     P BC A BC 2 3 2 2 3 3PBC ABCS S P∆ ∆∴ = ⇒ = 【解析】根据题意，区域 Ω 即边长为 1 的正方形的面积为 1×1=1，区域 A 即曲边三角形的 面积为 ，若向区域Ω 上随机投一点 P，点 P 落在区域 A 内的概率是 ， 则有 ，解可得， ，故选 D． 三、课本试题探 必修 3 P142 页习题 3.3 B 第 1 题：甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠 6 小时，假定它 们在一昼夜的时间段中随机的到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概 率. 四．典例高考试题演练[ :学 ] 1.【广东省化州市 2018 届第二次模拟】如图，正方形 内得图形 自宝马汽车车标的里 面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形 内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）学 A. B. C. D. ABCD 1 4 4 π 8 π 1 2 【答案】C 【解析】 设正方形 的边长为 ，则正方形的面积 ，则圆的半径为 ，阴 影 部 分 的 面 积 为 ， 根 据 几 何 概 型 及 其 概 率 的 计 算 公 式 可 得 ，故选 C. 2.【广西柳州高中、南宁市二中 2018 届第二次联考】老师计算在晚修 19:00-20:00 解答同 学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要 20 分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去 问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 19:00-20:00 对应时刻 ，甲乙的问问题的时刻为 ，则 ， 两人独自去时不需要等待满足 ，概率为 ，选 B. 3.【四川省南充高中 2018 届三检】若 ， ，则方程 有实数根的 概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B ABCD 2 1 4S = 1r = 2 2 1 1 2 2S rπ π= = 2 1 1 2 4 8 SP S π π= = = 2 9 4 9 5 9 7 9 [ ]0,60 ,x y [ ], 0,60x y∈ 20x y− ≥ ( )21 60 20 2 42 60 60 9 × − × =× b [ ]1,1c∈ − 2 22 0x bx c+ + = 2 3 1 2 5 6 3 4 4.【广西桂林市十八中 2018 届第三次月考】若在 上任取实数 ，则 的概率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ， ，∴ ，∴ 的概率为 ， 故选：A. 5.【辽宁省沈阳市交联体 2018 届上学期期中】设不等式组 表示的平面区域为 ， 在区域 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 1 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】平面区域 为边长为 1 的正方形区域，面积为 1,平面区域 点到坐标原点的距 离大于 1 的区域的面积为：1 ,∴点到坐标原点的距离大于 1 的概率是 。 6. 【 湖 南 师 大 附 中 2018 届 11 月 考 】 在 区 间 上 随 机 地 选 择 一 个 数 ， 则 方 程 有两个正根的概率为（ ） A. B. C. D. ( )0,π x 2sin 2x > 1 2 2 2 1 4 2 4 2sin 2x > ( )x 0,π∈ 3πx ,4 4 π ∈   2sin 2x > 3π 14 4 0 2 π π − =− 0 1{ 0 1 x y ≤ ≤ ≤ ≤ D D 4 π 2 2 π − 6 π 4 4 π− D D内， 4 π− 4 4 π− [ ]0,4 p 2 3 8 0x px p− + − = 1 3 2 3 1 2 1 4 【答案】A 7.【黑龙江省齐齐哈尔市八中 2018 届 9 月考】矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为 204 颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分 的面积约为 (　　) A. 16 B. 16.32 C. 16.34 D. 15.96 【答案】B 【解析】设阴影部分的面积为 ，则由几何概型概率公式可得 即 ,故选 B. 8.【广东省揭阳市第三中学 2018 届 10 月考】在区间 上随机选取一个数 ，若 的概率为 ，则实数 的值为 A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】由题意结合几何概型可得： ，解得： .故选 C. 9.【2018 届河南三门峡市一高 11 月考】在平面直角坐标系中，记抛物线 与 轴 所围成的平面区域为 ，该抛物线与直线 （ ）所围成的平面区域为 ，向区 域 内随机抛掷一点 ，若点 落在区域 内的概率为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析:因区域 的面积 ,由 x 3 2 ( ) ( ) 1 1 2 1 5m − − =− − 4m = 2y x x= − x M y kx= 0k > A M P P A 8 27 k 1 3 2 3 1 2 3 4 可 得 交 点 的 横 坐 标 ， 而 区 域 的 面 积 ， 由 题 设 可 得 ，解之得 ，故应选 A. 10.【2017•咸阳三模】某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 xm 的河流，该人不 小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知 该物品能被找到的概率为 ，则河宽为（　　）学！ A．80m B．100m C．40m D．50m 【答案】B． 【解答】由已知易得：l 从甲地到乙=500，l 途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率 P= =1﹣ = ， ∴x=100（m），故选 B． 11.【2017•商丘二模】若不等式组 表示的区域 Ω，不等式（x﹣ ）2+y2 表示的区域为 Γ，向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 Γ 中芝麻数约为（　　） A．114 B．10 C．150 D．50 【答案】A 【解答】作出平面区域 Ω 如图：则区域 Ω 的面积为 S△ABC= = 区域 Γ 表示以 D（ ）为圆心，以 为半径的圆， 则区域 Ω 和 Γ 的公共面积为 S′= + = ． ∴芝麻落入区域 Γ 的概率为 = ． ∴落在区域 Γ 中芝麻数约为 360× =30π+20≈114．故选 A． 12.【2018 届高三南京市联合体学校调研测试】欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一 葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖 油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱是直径为 4cm 的圆，中间有边长为 cm 的正方形孔，若 你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 ，则 =_______ 【答案】1cm 13.【2018 届山西运城一高二模】某人向边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机丢一粒芝 麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于 2 的地 方的概率为__ . 【答案】 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于 2 的区域的面积恰好为一个半径为 2 的半圆 的面积，即 ，所以与三个顶点的距离都大于 2 的区域的面积 。 由 几 何 概 型 的 概 率 公 式 知 其 恰 落 在 与 三 个 顶 点 的 距 离 都 大 于 2 的 地 方 的 概 率 为 ． 14.【湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中 2018 届第二次月考】记抛物线 与圆 所围成的封闭图形为区域 则从圆 中随机选取一点 恰好 的概率 为______________. 理 数学试题 【答案】 a 1 4π a 15 15 π− 2π 30 2π− 30 2 15 30 15 π π− −= 【解析】 ；设 为事件 A，则； 的面积为 . 15.【河南省中原名校 2018 届高三上学期第一次质量考评】心理学家发现视觉和空间能力与 性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名 同学（男 30 女 20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行 解答．选题情况如下表：（单位：人） （1）能否据此判断有 97．5 的把握认为视觉和空间能力与性别有关? （2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5～7 分钟，女生乙每次解 答一道几何题所用的时间在 6～8 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的 概率． 附表： 【解析】(1)由表中数据得 K2 的观测值 ， ∴根据统计有 97.5 的把握认为视觉和空间能力与性别有关； (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x，y 分钟， ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 50 22 12 8 8= 5.556 5.02430 20 30 20 n ad bck a b c d a c b d − × × − ×= ≈ >+ + + + × × × 则基本事件满足的区域为 ， 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”，乙比甲先解答完的事件为 A，则满足的区域为 x＞y， ∴由几何概型 P（A）= = ， ∴乙比甲先解答完的概率 P= ． 5 7{ 6 8 x y ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1 12 2 2 × × × 1 8 1 8