2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二下学期期中数学理试题（解析版）

2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二下学期期中数学理试题（解析版）

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.是虚数单位，＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：；应选B.‎ 考点：复数的运算.‎ ‎2. 设若，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,解得,故选B.‎ ‎3. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（ ）‎ A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数 C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据命题的否定可知，所以用反证法证明命题：“,且，则中至少有一个负数”时的假设为“全都大于等于”故选C.‎ 考点：反证法.‎ ‎4. 已知为函数的极小值点，则＝（ ）‎ A. －9 B. －2 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当或时，单调递增；‎ 当时，单调递减．‎ ‎∴当时，有极小值，即函数的极小值点为2．选D．‎ ‎5. 函数在[0，2]上的最大值是（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎∴．选A．‎ ‎6. 观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝（ ）‎ A. B. － C. D. －‎ ‎【答案】D ‎【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。‎ ‎7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 30 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】四名学生中有两名分在一所学校的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一所学校的有种，故不同的安排方法种数是 －＝30.‎ ‎8. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．‎ 考点：积分的几何意义．‎ 视频 ‎9. 若函数在上的最大值为，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎①当，即时，．‎ 令，解得，不合题意．‎ ‎②当，即时，在上单调递减，故．‎ 令，解得，符合题意．‎ 综上．‎ 点睛：‎ ‎（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．‎ ‎（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．‎ ‎10. 若数列是等差数列，，则数列也为等差数列，类比这一性质可知，若是正项等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】将等差数列中的加法和除法分别类比成等比数列中的乘法和开方，可得在等比数列中的表达式应为．选D．‎ ‎11. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ）‎ A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前次共取了 个数，且第次取的最后一个数为．当时，，故第63次取时共取了2016个数，都为奇数，并且最后一个数为，即第2016个数为，所以第2014个数为3965．选A．‎ 点睛：‎ 解答本题时要用归纳推理的方法从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数或偶数构成，其中每组中数的奇偶性与组数n的奇偶性相同，然后确定出第n次取后得到的数的总数及每组数的最后一个数的规律性，然后通过尝试的方法并利用所得规律解题．‎ ‎12. 若函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得（），‎ ‎∴ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 由于，‎ ‎∴要使函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，需满足，‎ 即，‎ 解得或，‎ 又，‎ ‎∴或．选B．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 复数，其中为虚数单位，则的实部为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】试题分析：．故答案应填：5‎ ‎【考点】复数概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为 视频 ‎14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为_________.‎ ‎【答案】112‎ ‎【解析】由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，‎ 所以不同的抽取方法共有种．‎ 答案：112‎ ‎15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.‎ 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.‎ 视频 ‎16. 有 粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳＝__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎，此时；‎ ‎，此时；‎ ‎，此时；‎ ‎，此时；‎ ‎……‎ 由此可猜想：．‎ 答案： ‎ 点睛：破解归纳推理的思维步骤 ‎(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；‎ ‎(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；‎ ‎(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.‎ ‎（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．‎ ‎（2）若ω＝，求证：ω为纯虚数．‎ ‎【答案】（1）|z1|＝1，z1的实部的取值范围是；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，则，由是实数，得，由此求出的实部的取值范围；‎ ‎（2），由此能证明是纯虚数.‎ 试题解析：‎ 设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).‎ ‎(1)z2=z1+=a+bi+=+i.‎ 因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.‎ 由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2)ω====-i.‎ 因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.‎ 点睛：本题考查了复数的实部的取值范围的求法，考查纯虚数的证明，解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算时解答的关键.‎ ‎18. 已知曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先根据导数的几何意义求得曲线在点P处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．‎ 试题解析：‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 设切点为，则，‎ ‎∴所求切线方程为， ‎ 即，‎ ‎∵切线过点P（），‎ ‎∴ ，‎ 整理得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴点． ‎ 故切线方程为，即 ．‎ 由，解得．‎ ‎∴点B的坐标为（）．‎ 画出图形如图所示．‎ ‎∴切线与C围成的图形的面积． ‎ 点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤 ‎(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案．‎ ‎19. 已知.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；‎ ‎（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ 点睛:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．‎ ‎20. 已知函数，‎ ‎（1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）m≤e；（2）(2－2ln 2,3－2ln 3].‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数 的取值范围； （2）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．‎ 试题解析：（1）当时，由得，‎ ‎∵，∴，∴有在上恒成立，‎ 令，由得，‎ 当，∴在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴，∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，函数，‎ 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，‎ 令，则，‎ 当，；当，，‎ ‎∴在上单减，在上单增，，‎ 又，如图所示，所以实数的取值范围为(]‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组．‎ ‎21. 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】假设存在，使得所给等式成立．‎ 令代入等式得解得 以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．‎ ‎①当时，由以上可知等式成立；‎ ‎②假设当时等式成立，‎ 即，‎ 当时，‎ ‎．‎ 即时等式成立．‎ 由①②知等式对于一切正整数都成立．‎ 点睛：‎ ‎（1）用数学归纳法证题的步骤：①明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．②“假设n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题正确”，然后证明当n＝k＋1时命题成立，最后得出结论．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．‎ ‎（2）数学归纳法证明的关键点：注意“n＝k＋1”时与“n＝k”时命题形式的差别，弄清等式（或不等式）左端应增加的项，明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．‎ ‎22. 已知函数 ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；‎ ‎（3）如果，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了运用导数研究函数的性质的综合运用。‎ ‎（1）利用导数，结合导数的符号与函数单调性的关系得到第一问中的单调区间和极值问题。‎ ‎（2）先利用对称性求解函数的解析式，然后构造函数证明不等式恒成立，或者利用第一问的结论，结合对称性得到证明。‎ ‎（3）由上可知函数的的单调性，结合性质可知不等式的证明。‎ ‎（Ⅰ）．令，则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 增 ‎ 极大值 ‎ 减 ‎ 所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．‎ 函数在处取得极大值．且．‎ ‎（Ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，‎ 所以，于是．‎ 记，则，，‎ 当时，，从而，又，所以，‎ 于是函数在区间上是增函数．‎ 因为，所以，当时，．因此．‎ ‎（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ ‎(2) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ 根据(1)，(2)可得．不妨设．‎ 由（Ⅱ）可知，所以．‎ 因为，所以，又，由（Ⅰ），在区间内是增函数，‎ 所以　，即．‎