【数学】2018届一轮复习北师大版 几何概型学案
第5讲 几何概型
[学生用书P200])
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
辨明两个易误点
(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．
1．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B．
C. D．
B [解析] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
2．(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B．
C. D．
B [解析] 由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为.
3．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B．
C. D．
C [解析] 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.
4．(2017·江西省八所中学联考)已知实数a∈[－2，5]，则a∈{x∈R|x2－2x－3≤0}的概率为________．
[解析] x2－2x－3≤0⇒－1≤x≤3，故所求概率为P＝＝.
[答案]
5. 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
[解析] 设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为R，
则所求事件的概率为
P＝＝＝.
[答案]
与长度(角度)有关的几何概型[学生用书P200]
[典例引领]
(1)(2015·高考重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
(2)(2016·高考山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．
【解析】 (1)因为方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，
所以
解得
8.所以P＝＝.
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
[解析] 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.
[答案]
3．(2017·昆明三中、玉溪一中统考)设a∈[0，10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________．
[解析] 因为函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，
所以a－2＜0，解得a＜2，
所以函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝.
[答案]
与面积有关的几何概型(高频考点)[学生用书P201]
与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度较小，多为容易题或中档题．
高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下三个命题角度：
(1)与平面图形面积有关的几何概型；
(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型；
(3)与定积分交汇命题的几何概型．
[典例引领]
(1)(2017·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为( )
A. B．
C. D．
(2)(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B．
C. D．
【解析】 (1)(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A(4，2)，所以P＝＝.选D．
(2)设由构成的正方形的面积为S，x＋y＜1构成的图形的面积为S′，
所以＝＝，
所以π＝，故选C.
【答案】 (1)D (2)C
与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，
以便求解．
[题点通关]
角度一 与平面图形面积有关的几何概型
1．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
D [解析] 由题设菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，知菱形的面积S菱形ABCD＝2××AB×BC×sin 150°＝4×4×＝8，
设事件M为“该点到菱形的四个顶点的距离大于1”，则事件M对应的区域是菱形内部且在以顶点为圆心，半径为1的圆外的部分，如图所示，根据几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝1－.
角度二 与线性规划知识交汇命题的几何概型
2．(2017·郑州市第一次质量预测)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.
[答案]
角度三 与定积分交汇命题的几何概型
3．(2017·辽宁大连模拟)在区间[0，π]上随机地取两个数x，y，则事件“y≤sin x”发生的概率为( )
A. B．
C. D．
D [解析] 在区间[0，π]上随机地取两个数x，y构成的区域的面积为π2，事件“y≤sin x”发生的区域的面积为sin xdx＝－cos x|＝2，所以所求概率为，故选D.
与体积有关的几何概型[学生用书P202]
[典例引领]
一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 因为VFAMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.
【答案】 D
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
B [解析] 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，
以1为半径的半球外．
记“点P到点O的距离大于1”为事件M，
则P(M)＝＝1－.
[学生用书P202])
——混淆长度型与面积型几何概型致误
(2017·黑龙江实验中学期末)已知线段AB的长为10，在线段AB上随机取两个点C、D，则CD>2的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 设CA＝x，DA＝y，则x，y∈[0，10]，
CD＝|CA－DA|＝|x－y|.
由题意知点(x，y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部，其面积为S＝10×10，而满足CD>2的区域如图中阴影部分所示，其面积为S1＝2××8×8＝64，则CD>2的概率为P＝＝.
【答案】 D
解决几何概型问题的易误点
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．
(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．
(3)本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，误以为该题的几何概型是用线段的长度来度量的．
在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M，求AM2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
12．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
[解] (1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.
