技能培训 电工作业 一阶电路和二阶电路的时域分析

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2021-3-21 1 第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析 7.8 7.2 7.3 7.4 7.5 7.7 7.6 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应和全响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.1 动态电路的方程及其初始条件 2021-3-21 2 2. 零输入响应、零状态响应和全响应的概念 4.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定 3.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的求法(三要 素法） ¯ 重点： 难点： 2. 二阶电路的分析计算 1. 电路的冲激响应 2021-3-21 3 摩托车点火系统 电容放电 2021-3-21 4 自然闪电 人造闪电装置 2021-3-21 5 自然闪电 人造闪电 2021-3-21 6 基于电感放电的 放电“口香糖” 日光灯的点亮原理 2021-3-21 7 暂态的危害作用 2021-3-21 8 电路处于稳定工作状态下的分析和计算 线性电路分析涉及两方面 稳态分析： 电阻电路、正弦稳态电路、非正弦周期电流电路 暂（动）态分析： 电路暂处的工作状态（非稳定工作状态、过渡状 态）下的的分析和计算 方法 时域分析法 拉普拉斯变换法 （经典法） （频域法） 2021-3-21 9 i = 0 , uC= Us i = 0 , uC = 0 S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达 到新的稳定状态： S未动作前，电路处于稳定状态： 电容电路 uC t0 t1 前一个稳定状态 新的稳定状态 Us ? 过渡状态 有一过渡期 (t →) + – uCUs R C i + - + – uCUs R C + - S(t = 0) 1 2 i 2021-3-21 10 u电路暂态（动态）分析的内容 u研究暂态过程的实际意义 2021-3-21 11 含有动态元件(电容、电感)的电路称动态电路。 1. 动态电路及其方程 7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 动态电路的方程 S(t = 0) + – uCUs R C i + - (t >0) + – uCUs R C i + - S闭合后 例 2021-3-21 12 应用KVL和电容的VCR得： 若以电流为变量： 1. 动态电路及其方程 一阶线性常系数非齐次常微分方程 一阶电路 (t >0) + – uCUs R C i + - SC UuRi  t uCi d d C SC C d d Uut uRC  )(d1 S tUtiCRi   t tU C i t iR d )(d d d S 2021-3-21 13 SC C 2 C 2 d d d d Uut uRCt uLC  SC UuuRi L  二阶电路t uCi d d C t iLuL d d 应用KVL和元件的VCR得： 一般含有二个动态元件的线性电路，其电路 方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。 1. 动态电路及其方程 二阶线性常系数非齐次常微分方程 2 C 2 d d t uLC S(t = 0) + – uLUs R L i + - + _ uC C (t >0) + – uLUs R L i + - + _ uC C 2021-3-21 14 一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 二阶电路 描述电路的方程是二阶微分方程。 结论 一阶RC电路 一阶RL电路 RLC电路 GLC电路 1. 动态电路及其方程 高阶电路 电路中有多个动态元件，描述 电路的方程是高阶微分方程。 2021-3-21 15 2. 动态电路的特征 电路结构或元件参数的改变所引起 电路的变化称为 “换路”Ø换路 (t = t0)开关合向1，电路结构变化， t = t0时换路 iL + 20V- L S(t=0) 10 + uC 10 10 C - + – uCUs R C + - S(t = t0) 1 2 i 2021-3-21 16 Ø3个时刻0-、0、0+ 2. 动态电路的特征 0－ 换路前的最终时刻 0＋ 换路后的最初时刻 0 换路时刻 换路经历的时间： 0－ ～ 0＋零 研究方便 Ø过渡过程 换路时，电路改变原来的稳定状 态，转变到另一稳态，中间经历 的过程即为过渡过程。 2021-3-21 17 i = 0 , uC= Us i = 0 , uC = 0 S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达 到新的稳定状态： S未动作前，电路处于稳定状态： 电容电路 uC t0 t1 前一个稳定状态 新的稳定状态 Us ? 过渡状态 有一过渡期 (t →) + – uCUs R C i + - WC=0 + – uCUs R C + - S(t = t0) 1 2 i 2 s2 1 CUWC  2021-3-21 18 过渡过程产生的原因 2. 动态电路的特征 过渡过程是动态电路的重要特征 ①电路内部含有储能元件 L、C； ②电路发生换路。 例 过渡期为零 电阻电路 + - Us R1 R2 S(t = 0) i 2siU/R 12siU(RR) 一般认为：电阻电路无过渡过程 0 t i )( 21s RRUi  2s / RUi  2021-3-21 19 时域分析法： 以uC(t) 和 iL(t)为变量，根据KCL、 KVL及元件的VCR建立起电路方程， 该方程是以t为自变量的常微分方程， 解方程求得响应。 3.电路的初始条件 如 通解： p1、p2 特征根，只与电路的结构与元件参数有关 A1、A2 积分常数，由电路的初始条件决定 0d d d d C C 2 C 2  ut uRCt uLC tptp eAeAtu 21 21C )(  2021-3-21 20 ①初始条件： 电路变量及其从1阶到（n-1)阶导数 在t=0+时刻的值。 3.电路的初始条件 独立的初始条件： 电容电压 uC(0+) 电感电流 iL(0+) 非独立的初始条件： 其它的初始条件，如 iC(0+)、 uL(0+)、uR(0+)等。 独立的原因 ∴以 uC(t)，iL(t)为变量列方程 •uC(0+) 、 iL(0+)可由换路前的 电路求出 2021-3-21 21 ②uC(0+)的确定 0 当i()为有限值时 3.电路的初始条件 q (0+) = q (0－)uC (0+) = uC (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后维持不变。 电荷 守恒结论  d)(1)()( 0 0  t tCC iCtutu  d)(1)0()0( 0 0     iCuu CC  d)()()( 0 0  t t itqtq 2021-3-21 22 ③iL(0+)的确定 0 当u()为有限值时 3.电路的初始条件 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后维持不变。 磁链 守恒结论 ΨL (0＋)= ΨL (0－)iL(0＋)= iL(0－)  d)(1)()( 0 0  t tLL uLtiti  d)(1)0()0( 0 0     uLii LL  d)()()( 0 0  t tLL uttΨ 2021-3-21 23 L (0+)= L (0－) iL(0+)= iL(0－) qC (0+) = qC (0－) uC (0+) = uC (0－) ④换路定则 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定 则成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后维持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为 有限值，则电容电压（电荷）换 路前后维持不变。 ②换路定则反映了能量不能跃变。 注意 3.电路的初始条件 2021-3-21 24 (2)由换路定则 uC (0+) = uC (0－)=8V (1) 由0－电路求 uC(0－) uC(0－)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+) iC(0－)=0 iC(0+) 例1 求 iC(0+) 电 容 开 路 + - 10V + uC - 10kΩ 40kΩ 电容用 电压源 替代 注意 解 + 8V 0+等效电路 + 10V i iC10kΩ －－ 10V + - i iC + uC -S(t=0) 10kΩ 40kΩ mA2.010 810)0( Ci 2021-3-21 25 iL(0+)= iL(0－) =2A 例 2 t = 0时闭合开关S ,求 uL(0+) ①先求 ②应用换路定则: 电 感 用 电 流 源 替 代 解 电感 短路 ③由0+等效电路求 uL(0+) 注意 iL + uL - L10V S(t=0) 1 4 + - iL10V 1 4 + - 2A + uL -10V 1 4 + - )0( Li A241 10)0( Li )0()0(   LL uu V842)0( Lu 2021-3-21 26 求初始值的步骤: 1) 由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2)由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3)画0+等效电路。 4)由0+电路求所需各变量的0+值。 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 a. 换路后的电路 （取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电 感电流方向相同） 小结 2021-3-21 27 求S闭合瞬间流过它的电流值 解 ①确定0－值 ②给出0＋等效电路 例3 iL + 20V- L S(t=0) 10 + uC 10 10 C － iL + 20V- 10 + uC 10 10 － 1A 10V si + uL － iC + 20V- 10 + 10 10 － A120 20)0()0(   LL ii V10)0()0(   CC uu A21110 20)0(s i V1010)0()0(   LL iu A110/10)0( Ci 2021-3-21 28 7.2 一阶电路的零输入响应 换路后无外施激励，仅由动态元 件初始储能产生的响应。零输入响应 零状态响应 换路后电路在零状态下由外施激 励产生的响应。 初始储 能为零 激励 响应 动态元件的 初始储能 2021-3-21 29 1.RC电路的零输入响应 已知 uC (0－)=U0 iS(t=0) + – uRC + – uC R 无激励，但uC(0+)=U0t≥0+时， 特征方程 RCp+1=0 2 02 1)0( CUWC  t uCi C d d 0d d  C C ut uRC pt C eu A通解 0 CuRi RCp 1特征根 2021-3-21 30 1.RC电路的零输入响应 则 代入初始值 uC (0+)=U0 A=U0 或 i (0-)=0 iS(t=0) + – uRC + – uC R tRC C eu 1 A      0 1 0 0 teIeR U R ui RCRC t C    0 0 teUu RC t C t uCi C d d RC t eR U   0)1(0 RCeCU RC t   2021-3-21 31 令  =RC , 称为一阶电路的时间常数 ①电压、电流按同一指数规律衰减 ②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关; 表明 1.RC电路的零输入响应  = RC=-1/p    0 0 teUu RC t C t U0 uC 0 连续 函数 I0 t i 0 跃变 电容放电过程            安 伏法欧 RC  秒安 安秒        伏 库 2021-3-21 32 时间常数 的大小反映了过渡过程进展的快慢  大→过渡过程慢  小→过渡过程快 电压初值U0一定： R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小 放电时间长 U0 t uC 0  小  大 C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大 •物理含义 1.RC电路的零输入响应 ③ 的意义  = RC，由结构、参数决定    0 0 teUu RC t C 2021-3-21 33 a.  :电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t 0  2 3 5 0 t Cu U e   U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 1.RC电路的零输入响应 b. •几何意义 响应曲线上某点的次切距 工程上认为, 经过 3 5 , 过渡过程结束。 2021-3-21 34 t1 t2 U0 t uC 0  ＝ t2－ t1 t1时刻曲线的斜率等于 次切距的长度 1.RC电路的零输入响应 α 曲线上任意一点，如果以该点 的斜率为固定变化率衰减，经 过 时间变为零值。 1 C tt u d d )(368.0)( 1C2C tutu   t eUu 0C   21 1C 0)( tt tu   1 0 t t eU     )(1 1C tu  2021-3-21 35 ④能量关系 过渡过程即为电容不断释放能量， 电阻不断吸收能量的过程 直到全部 消耗完毕. uC(0+)=U0 电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： 1.RC电路的零输入响应 tRiW R d0 2   2 02 1 CU tReR U RC t d)( 2 0 0   2 02 1 CUteR U RC t d 2 0 2 0     0 2 2 0 |)2( RC t eRC R U uC R + － C i 2021-3-21 36 例1 图示电路中的电容原充有24V电压，求S闭合后， 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有： t ≥0+ 等效电路 i3 S(t=0) 3+ uC 2 6 5F － i2i1 + uC 4 5F － i1    0 V24 20 teu t C s 2045V 240  RCU  2021-3-21 37 分流得： t ≥0+ 等效电路 i3 S(t=0) 3+ uC 2 6 5F － i2i1 + uC 4 5F － i1 A64 20 1 t C eui   A43 2 20 13 t eii  A23 1 20 12 t eii   2021-3-21 38 2. RL电路的零输入响应 t≥0+ i L + – uL R 电路稳定t≤0-时， t=0时，换路 电感具有能量 t≥0+时， 特征方程 Lp+R=0 1 i S(t=0) U0 L + – uL R R0 + - 2 0)0()0( Iii   2 02 1)0( LIWL  0d d  Rit iL L Rp 特征根 0 0 0)0( IR Ui  2021-3-21 39 2. RL电路的零输入响应 代入初始值 t≥0+ i L + – uL R 1 i S(t=0) U0 L + – uL R R0 + - 2 A= i(0+)= I0 ptAeti )( tL R pt eIeIti   00)( t iLtu L L d d)( tL R eRI 0   2021-3-21 40 连续 函数 跃变 ②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关; t I0 i 0 2.RL电路的零输入响应 -RI0 uL t0 ①电压、电流按同一指数规律衰减 表明 电感放电过 程 tL R eIti   0)( i L + – uL R 2021-3-21 41 时间常数 的大小反映了过渡过程的快慢  大→过渡过程慢  小→过渡过程快 2.RL电路的零输入响应 令 称为一阶RL电路时间常数 = L/R ][][] [ 欧 亨 R L ][][ 秒伏 秒伏  tL R eIti   0)(  t eI   0 ][伏 安 ][安 韦 2021-3-21 42 ③能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。 电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： 2.RL电路的零输入响应 i L + – uL R tRiWR d  0 2 2 02 1 LI tReI RL t d2/ 0 0 )(   2 02 1 LIteRI RL t d/ 2 0 2 0     0 2 2 0 |)2 /( RC t eRLRI 2021-3-21 43 i(0+) = i(0-) =35/0.189= 185.2 A 造成 V 损坏。 例2 p.144 例7-2 解 i S(t=0) + – uV L R V RVU + – (1) (2) (3) (4) 开关处电弧 uV (0+)=－ 926kVA2.185 12560 tei  sμ6.79105189.0 398.0 3 V  RR L kV926 2500 VV teiRu  2021-3-21 44 例2 t=0时,开关S由1→2， 求电感电压和电流及 开关两端电压u12。iL S(t=0) + – 24V 6H 3 4 4 6+ － uL 2 1 2 例3 求:(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化 的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的 耗能。 C2=20F u1(0-)=4V u S C1=5F + + - -- i u2(0-)=24V 250k + 2021-3-21 45 例2 t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及 开关两端电压u12。 解 t ≥0+ iL + – uL 6 6HiL S(t=0) + – 24V 6H 3 4 4 6+ － uL 2 1 2 s16 6  R L )0()0(   LL ii  66//)42(3R 6//324 24  A263 6  2021-3-21 46 t ≥0+ iL + – uL 6 6HiL S(t=0) + – 24V 6H 3 4 4 6+ － uL 2 1 2 A2 t L ei  V424242412 tL eiu  V12 tL L et iLu  d d 2021-3-21 47 换路后电路在零状态下由外施激 励产生的响应。 方程： 7.3 一阶电路的零状态响应 解的形式为： 1.RC电路的零状态响应 零状态响应 非齐次方程特解 齐次 方程 通解 非齐次线性常微分方程 i uC (0－)=0 S(t=0) Us + –uR C+ – uC R + – sC C d d Uut uRC  CCC uuu  2021-3-21 48 与激励的形式一样 变化规律由电路参数和结构决定 齐次通解Cu  特解Cu  1.RC电路的零状态响应 RC t Aeu  C的通解0C C  ut uRC d d SC Uu SC C Uut uRC  d d 的特解 2021-3-21 49 全解 uC (0+)=US+A= 0 A= － US 由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A )1( s ssC RC t RC t eUeUUu   从以上式子可以得出： 1.RC电路的零状态响应 )1)((  t C eu   RC t AeUuutu   SCCC )( t uCi d d C RC t R eUu   s RC t eR U   s i uC (0－)=0 S(t=0) Us + –uR C+ – uC R + – 2021-3-21 50 ① uC按指数规律增长； uR、i 按指数规律衰减 连续 函数 跃变 表明 -US uC" uC' US t uC 0 t i 0 SU R 1.RC电路的零状态响应 )1)(( C  t C euu   电容的充电过程 稳态分量 暂（瞬）态分量 +强制分量 自由分量 特解 通解+② uC由两部分构成 +)(Cu 2021-3-21 51 ③响应变化的快慢，由＝RC决定； 大，充电慢，  小充电就快。 ④响应与外加激励成线性关系； ⑤能量关系 过渡过程为电容的充电过程， 充电效率只有50% 表明 R C + - Us 1.RC电路的零状态响应 2 S2 1 CU电容储存能量： 电源提供能量： 2 SCU 2 S2 1 CU 电阻消耗能量： tRR UtRi RC t e d)(d 2 0 S 0 2     tiU d0 S  )(S  qU 2021-3-21 52 2. RL电路的零状态响应 已知iL(0－)=0，电路方程为： iLS(t=0) us + –uR L + – uL R + - ① us=Us直流激励 )1)((  t LL eii   suiRt iL L L d d )1(s tL R L eR Ui   LLL iii  R UiL sA0)0(  tL R L AeR Ui   s R UiL s 2021-3-21 53 2. RL电路的零状态响应 设： 稳态解 代入上述方程，用待定系数法可确定Im 和θ iLS(t=0) us + –uR L + – uL R + -  t L Aei   )cos(   tIi mL R L arctan  t Ae  )cos(   u m L tZ Ui   u22 mm )( LR U Z UI m   通解： suiRt iL L L d d ② 正弦激励)cos(s um tUu   2021-3-21 54 2. RL电路的零状态响应  t u m L AetZ Ui   )cos( 0)0( Li )cos(m   uZ UA 电流 iL：  t u m u m L eZ UtZ Ui   )cos()cos( 分析： 稳态分量 暂态分量 A与φu、 有关 2  u 无过渡过程 iLS(t=0) us + –uR L + – uL R + - 2021-3-21 55 例1 t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。 解 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有： t > 0+ V200010)( 100100 eq tt L eeRtu   iL S(t=0) + – uL2H R 80 10A 2 0 0  3 0 0  iL + – uL2H10A Req 诺顿等 效电路 Ω200300//20080eq R s01.0200/2/ eq  RL A10)( Li A)1(10)( 100 t L eti  2021-3-21 56 例2 p.193 7-12 解 这是RC电路零状态响应问题，先化简电路，有： S(t=0) + _2V 1Ω 4i1 2Ωi1 3µF _ + uC (t≥0+) + _2V 1Ω 4i1 2Ωi1 + uoc _ 1Ω 4i1 2Ωi1 + u _ 7Ω + _2V 3µF _ + uC 戴维宁等 效电路 111 752 iiiu  μs21 RC V2)( Cu V )1(2)( 21 10 C 6 t etu   V2oc u 2021-3-21 57 当一个非零初始状态的电路受到激励 时，电路的响应称为全响应。 7.4 一阶电路的全响应 以RC电路为例，电路微分方程：1.经典法 全响应 解答为： uC(t) = uC' + uC"  = RC i S(t=0) Us + –uR C + – uC R + – uC (0－)=U0 sUut uRC C C  d d 特解 uC' = Us 通解  t C Aeu   2021-3-21 58 uC (0－)=U0 uC (0+)=A+Us=U0  A=U0 - Us 由初始值定A  t C eUUUu   )( s0s 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) 1.经典法 i S(t=0) Us + –uR C + – uC R + – 2021-3-21 59 全响应的两种分解方式 全响应 = 强制分量 ①着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰 t uC 0 uC" -USU0 暂态解 uC'US 稳态解 U0 uC 全 解 2.叠加法 全响应 = 稳态分量uC' 自由分量 暂态分量uC'' + +  t C eUUUu   )( s0s 2021-3-21 60 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应  tt C eUeUu   0s )1( ②着眼于因果关系 便于叠加计算 零输入响应零状态响应 2.叠加法 线性性质 叠加法  t C eUUUu   )( s0s 2021-3-21 61 例1 t=0 时 ,开关S打开，求t >0后的iL。 解 这是RL电路全响应问题， 有： iLS(t=0) 24V 0 . 6 H 4 + uL 8 －－ + s20/112/6.0/  RL A64/24 )0()0(    LL ii A6)( 20)1( t L eti 零输入响应： A)1(2)( 20)2( t L eti 零状态响应： A42)1(26)( 202020 ttt L eeeti  全响应： A212/24)( Li 2021-3-21 62 3. 三要素法 一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 令 t = 0+ 其解答一般形式为：  t efftftf    )]0()0([)()( 特 解 特解初 始值  t Aetftf   )()( Atff   0)()0( )0()0(   ffA ctbft tfa  )(d )(d 2021-3-21 63 分析一阶电路问题转为求解电路的三 个要素的问题。 用0+等效电路求解 用t→的稳态电路求解 直流激励时：  t effftf    )]()0([)()( 注意 3. 三要素法 A 由换路前的电路求解 稳态解  t efftftf    )]0()0([)()( )0( )0(  CL ui )()(  ftf )0(  f      时间常数 初始值 稳态解 三要素 )0( )(  f f 戴维宁、诺顿 2021-3-21 64 + – uC 3F1A Req t≥0+ 例2 已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t) 解 t uC 2 (V) 0.667 0 1A 2 13FuC + － S(t=0) i V2)0()0(   CC uu V667.01)1//2()( Cu s233 2 eq  CR V 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 tt C eeu    t C euuutu    )]()0([)()( CCC A33.1667.01 5.0 tC eui  2021-3-21 65 例3 P.195 7-20 解 三要素为： 2A 4 1 0.1F + uC +4 i1 2i1 8V 12 S + － 1 － －－ 4 + 4 i1 2i1 u + － － V12624 111  iiiuoc V8)0()0(   CC uu  110iu  10/ 1iuReq 2021-3-21 66 10+ uC + － － 12V 0.1F2A 4 1 0.1F + uC +4 i1 2i1 8V 12 S + － 1 － －－  t euuutu    )]()0([)()( CCCC V2012]128[12)(C tt eetu   s11.010eq  CR 2021-3-21 67 例4 已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。 解 三要素为：换路后，电路可分为两个 + – 1H 0.25F 5 2 S 10V iiL iC + －uC + – 1H 5 10V iL 0.25F 2 + －uC iC V10)0()0(   CC uu 0)( Cu s5.025.02eq2  CR 0)0()0(   LL ii A25/10)( Li  t euuutu    )]()0([)()( CCCC A)1(2 5te t LLLL eiiiti    )]()0([)()( V10 2te s2.05/1/1  eqRL 2021-3-21 68 + – 1H 0.25F 5 2 S 10V iiL iC + －uC + – 1H 5 10V iL 0.25F 2 + －uC iC )A5)1(2(2 )()()( 25 ttC L eetutiti   A)1(2 5t L ei  V10 2t C eu  2021-3-21 69 V1 10V R1 10kohm C1 1uF A B T G XSC1 J1 Key = Space Ø一阶RC电路充放电仿真 2021-3-21 70 R1 4kohm C1 0.1uF A B T G XSC1 J1 Key = Space V2 0V 5V 50Hz A B T G XSC2 Ø 波形产生电路仿真实验 2021-3-21 71 7.5 二阶电路的零输入响应 uC(0-)=U0 i(0-)=0已知： 1. 二阶电路的零输入响应 电路方程： R L C + - i uC S(t=0) + - uL 02 2  C CC ut uRCt uLC d d d d 0 CL uuRi t uCi C d d t iLuL d d 2 2 d d t uLC C tptp C eAeAu 21 21  2021-3-21 72 012  RCpLCp 02 2  C CC ut uRCt uLC d d d d 特征方程： uC(0+)=U0 i(0+)=0 1. 二阶电路的零输入响应 特征根： 通解： LCpp L Rpp 1 21 21   R L C + - i uC S(t=0) + - uL 0 0  t C t u d d LC LCRCRCp 2 4)( 2  LCL R L R 1)2(2 2  tptp C eAeAu 21 21  2021-3-21 73 1. 二阶电路的零输入响应 uC(0+)=U0 0 0  t C t u d d tptp C eAeAu 21 21  0210C )0( UAAUu  02211 )0(   ApApt uC d d          0 12 1 2 0 12 2 1 Upp pA Upp pA 2021-3-21 74 2. 三种情况分析 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 LCL R L Rp 1)2(2 2 2,1  二个不等负实根 2 C LR  二个相等负实根 2 C LR  二个共轭复根 2 C LR  2021-3-21 75 2 )1( C LR  0 12 1 2 0 12 2 1 Upp pA Upp pA    )( 21 12 12 0 tptp C epeppp Uu  tptp C eAeAu 21 21  t uCi C d d t iLuL d d )()( 21 12 0 tt pepeppL U   )()( 21 21 12 0 tt peppeppp U   LCpp L Rpp 1 21 21   2. 三种情况分析 R L C + - i uC S(t=0) + - uL 2021-3-21 76 设： p1<0，p2<0 ， p1>p2,|p2|>|p1| ①电容电压 U0 uC tO tpe 1 tpe 2 2 1 p tp e tpep 1 2-p2 p1 )( 21 12 12 0 tptp C epeppp Uu  )( 21 12 21 0 tptp C epeppp Uu  uC(0+)=U0， 2. 三种情况分析 LCL R L Rp 1)2(2 2 2,1 uC(∞)=0 2 )1( C LR  )()( 21 12 0 ttC pepeppL U t uCi   d d 电容一直释放能量 2021-3-21 77 t=0+ i=0 , i>0 t = tm 时i 最大 ②电容和电感电流 )( 21 12 12 0 tptp C epeppp Uu  U0 uC tm i tO )()( 21 12 0 ttC pepeppL U t uCi   d d 2. 三种情况分析 21 1 2ln pp p p tm  t= i=0 LCL R L Rp 1)2(2 2 2,1  2 )1( C LR  )()( 21 21 12 0 tt L peppeppp U t iLu   d d 2021-3-21 78 tO 0< t < tm ， i 增加, uL>0， t > tm i 减小, uL <0 t=2tm 为uL的极值点 ③电感电压 2tm uL U0 uC tm i R LC + - uC + - uL i t=tm 为uL的过零点 2. 三种情况分析 2 )1( C LR  )()( 21 21 12 0 tt L peppeppp U t iLu   d d ,0 0Uut L  0 ,  Lut 2021-3-21 79 ④能量转换关系 0 < t < tm uL>0 ，i 增加。 t > tm uL<0 ，i 减小. tO 2tm uL U0 uC tm i R LC + - uC + - uL i R LC + - uC + - uL i 电容一直放电，不 可能出现电感向电 容充电的情况 过阻尼2. 三种情况分析 2 )1( C LR  2021-3-21 80 LCL R L Rp 1)2(2 2 2,1  uC 的解答形式： 经常写为： )sin(    tAeu t C 共轭复根 δ ωω0 2. 三种情况分析 2 )2( C LR  j p 2 (衰减系数)：令 L R 1 22 0 角频率)谐振( LC   21 21 tptp C eAeAu  角频率)固有振荡( )2(1 2 L R LC  )( j 2 j 1 ttt eAeAe    2021-3-21 81   arctan sin 0  ，UA )sin(    tAeu t C ω，ω０，δ的 关系 δ ωω0  2. 三种情况分析 )sin( 0 0      teUu t C 2 )2( C LR         0)0( )0( 0 dt du Uu C C 由初始条件 0 sin    0 0 UA   0cossin)(   AA 0sin UA  2021-3-21 82 t=0 时 uC=U0 uC=0（过零点）： t = -，2- ... n- ωt- 2- 20 U0 uC teU 0 0     teU 0 0     uC是振幅按指数规律衰减的正弦函数。 2. 三种情况分析 2 )2( C LR  )sin( 0 0      teUu t C 2021-3-21 83 uL=0：t =  ，+，2+ ... n+ i=0（过零点）：t =0，，2 ... n ，为 uC极值点  i uC ωt- 2- 20 U0 i 的极值点为 uL 过零点。 2. 三种情况分析 uL 2 )2( C LR  teL U t uCi tC   sin 0  d d )sin( 0 0      teUt iLu t L d d 2021-3-21 84 能量转换关系： 0 < t <  < t < - - < t <  R LC + - R LC + -  ωt- 2- 20 U0 uC i R LC + - uC + - uL i uL 2. 三种情况分析 2 )2( C LR  2021-3-21 85 特例：R=0 时 等幅振荡 t LC + - 0 2L R )2(1 2 L R LC  δ ωω0  )sin( 0 0      teUu t C teL Ui t   sin 0  2. 三种情况分析 Lu)90sin( 0 0  tUuC  2 )2( C LR  tL Ui  sin0 2 1 0 0   ，， LC 2021-3-21 86 tptp C teAeAu 2 1  相等负实根 2. 三种情况分析 非振荡放电 2 )3( C LR   L Rpp 221 tt C teAeAu 2 1           0)0( )0( 0 t u Uu C C d d由初始条件      02 01 UA UA 0)( 21  AA     01 UA 2021-3-21 87 可推 广应 用于 一般 二阶 电路 小结 δ ωω0  非振荡放电 过阻尼， 2 C LR  tt C peApeAu 21 21  振荡放电 欠阻尼， 2 C LR  )sin(    tAeu t C 非振荡放电 临界阻尼， 2 C LR  tptp C teAeAu 2 1  定常数      )0( )0( t u u C C d d由初始条件 2021-3-21 88 p.159 例7-6 + – uC Us R C + S(t = 0)1 2 i + – uL L－ 解 即 uC(0+)=10 i(0+)=0 得 tt C eAeAu 3732 2 268 1   02 2  C CC ut uRCt uLC d d d d 010410 3 2 2 6   C CC ut u t u d d d d 2681 p 37322 p 0 0  t C t u d d 1021  AA 03732268 21  AA 77.101 A 77.02 A tt C eeu 3732 268 77.077.10   mA)(89.2d d10 3732 2686 ttC eet ui   2021-3-21 89 p.165 例7-9 首先写微分方程解 例 G L C iLis - + uL - + uC iCiG 特征方程： 特征根： 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 s iiii LCG  0102000 62  pp 3 1,2 10 p )( 21 21 tptp LL eAeAii  1d d102d d10 3 2 2 6   L LL it i t i s2 2 d d d d iit iGLt iLC L LL  2021-3-21 90 特解： 初始条件： 全响应仅 此不同 1d d102d d10 3 2 2 6   L LL it i t i G L C iLis - + uL - + uC iCiG 3 1,2 10 p )( 10 21 3 t LL etAAii  1s  iiL )(1 10 21 3 t L etAAi  0)( 0 Li 01 1  A 010 21 3  AA 3 21 10,1  AA )101(1 103 3 t L eti  0d )(d t tiL 0)0(  CuL 1 L UuLt ti Ii C L L 0 0 )0(d )(d 0      1 )( 0 2021-3-21 91 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 1. 单位阶跃函数 定义 延迟的单位阶跃函数 t  (t) 0 1  (t-t0) t0 1 t0 在0发生跃变 在t0发生跃变        )0(1 )0(0)( t t t         )(1 )(0 )( 0 0 0 tt tt tt 2021-3-21 92 特解： 初始条件： 全响应仅 此不同 1d d102d d10 3 2 2 6   L LL it i t i G L C iLis - + uL - + uC iCiG 3 1,2 10 p )( 10 21 3 t LL etAAii  1s  iiL )(1 10 21 3 t L etAAi  0)( 0 Li 01 1  A 010 21 3  AA 3 21 10,1  AA )101(1 103 3 t L eti  0d )(d t tiL 0)0(  CuL 1 L UuLt ti Ii C L L 0 0 )0(d )(d 0      1 )( 0 2021-3-21 93 太阳能草坪灯 太阳能草坪灯的组成 2021-3-21 94 蓄电池充放电示意图 充放电控制器基本原理 充放电控制主电路 2021-3-21 95 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 1. 单位阶跃函数 定义 延迟的单位阶跃函数 t  (t) 0 1  (t-t0) t0 1 t0 在0发生跃变 在t0发生跃变        )0(1 )0(0)( t t t         )(1 )(0 )( 0 0 0 tt tt tt 2021-3-21 96 1. 单位阶跃函数 幅度为A的阶跃函数 t A (t) 0 A 2.阶跃函数的用途 ①模拟开关的动作 Usε(t) t = 0 ， u(t)从0跃变为Us 开关函数        )0( )0(0)( tA t tA u(t) + _ + _ u(t) + _ S Us + _ 2021-3-21 97 t f(t) 0 t0 sin t t()() Isε(t) i(t)SIs i(t) t = 0 i(t)从0跃变为 Is2.阶跃函数的用途 ②起始一个函数 )()sin( 0ttt  2021-3-21 98 ③延迟一个函数 2.阶跃函数的用途 ④用单位阶跃函数表示复杂的信号 1 t0 t f(t) 0 t f(t) 0 1  (t) - (t-t0) t0 例 1 t f (t) 0 t0 ( ) ( )sin t t )()()( 0ttttf   )()sin( 00 tttt   2021-3-21 99 例 2 2.阶跃函数的用途 1 t 1 f(t) 0 2 43 t f(t) 0 1 2 - (t-3) 3 4 2 (t-1) - (t-4) )4()3()1(2)(  ttttf  2021-3-21 100 例 4 例 3 1 t 1 f(t) 0 2 43 1 t 1 f(t) 0 ( )t t )1()]1()([)(  tttttf  )1()1()(  tttt  )4()3( )1()()(   tt tttf   ( 1) ( 1)t t   2021-3-21 101 )()( )1( ttu  )1()2( )4(  ttu  )1()1( )3(  ttu  )()1( )2( ttu  例 3 t 1 0 2 已知电压u(t)的波形如图， 试画出下列电压的波形。 t 1 u(t) 0－2 2 t 1 0－1 1 t 1 0 1 t 1 0 21 起始与延迟的 区别 2021-3-21 102 3. 一阶电路的阶跃响应 电路处于零状态，由单位阶跃 函数激励产生的响应。单位阶跃响应 注意 i C + – uC R uC (0－)=0 ( ) t 直流激励下的零状态响应 i C + – uC R t≥0+ 1V )( )1()( tetu RC t C   )( 1)( teRti RC t   )( tei RC t   和    0 tei RC t 的区别 2021-3-21 103 1 t0 i t uC 1 0 3. 一阶电路的阶跃响应 t0 i 1 0-之前为 0 0之前不 知道 0+后是一样的 )( tei RC t      0 tei RC t )( )1()( tetu RC t C   2021-3-21 104 )( )1()( tetu RC t C   )( 1)( teRti RC t   3. 一阶电路的阶跃响应 )( )1()( 0 teUtu RC t C   )( )( 0 teR Uti RC t   激励为ε(t), 单位阶跃响应s(t) ， 激励变为Aε(t), 则阶跃响应为As(t) 零状态线性 i C + – uC R uC (0－)=0 ( ) t i C + – uC R t≥0+ 1V )( 0 tU  2021-3-21 105 激励在 t = t0 时加入， 则响应延迟至t0开始。 t- t01 RC Ci eR   ( t - t0 ) 不要写为：注意 3. 一阶电路的阶跃响应 iC  (t -t0) C + – uC R t iC 0 1 R t0 激励为ε(t), 单位阶跃响应s(t) ， 激励变为ε(t-t0), 则阶跃响应为s(t-t0) 时不变性 激励变为Aε(t)+Bε(t-t0), 则响应为As(t)+Bs(t-t0) )( 1)( teRti RC t   )(1 0 tteR RC  - t 2021-3-21 106 求图示电路中电流 iC(t)例 10kΩ 10kΩ us + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 0.5 10 t/s us/V 0 开关在t=0时合向2， 在t=0.5s时，又合向1 求图示电路中电流 iC(t) + - uC 10kΩ 10kΩ + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 S 10V 1 2 + - uC 2021-3-21 107 开关在t=0时合向2， 在t=0.5s时，由合向1 求图示电路中电流 iC(t) 解一 (1)在（0，0.5）零状态响应 + - uC 5kΩ 5V + - iC 1 0 0  F + - uC 10kΩ 10kΩ + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 S 10V 1 2 V5)( Cu s5.010510100 36  RC V)1(5)( 2 t C etu  mA)( 2 t C eti  2021-3-21 108 开关在t=0时合向2， 在t=0.5s时，由合向1 求图示电路中电流 iC(t) 解一 (2)在（0.5，∞）零输入响应 + - uC 5kΩ iC 1 0 0  F + - uC V)1(5)( 2 t C etu  10kΩ 10kΩ + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 S 10V 1 2 V5632.0)5.0( Cu s5.010510100 36  RC 0.5)-2( 5632.0)( t C etu  mA632.0)( 0.5)-2( t C eti  2021-3-21 109 Us=ε(t)时的uC(t)记为suC(t) 例 等效 10kΩ 10kΩ us + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 0.5 10 t/s us/V 0 解二 + - uC 5kΩ 0.5us + - iC 1 0 0  F uC(0_)=0 + - uC )5.0(10)(10s  ttu  2021-3-21 110 求单位阶跃响应suC + - suC 0 5 ( ). t 5kΩ+ - iC 100F )5.0(10)(10  ttuS  s5.010510100 36  RC )V( )1(5.0)( 2 tetu t Cs  )5.0( )5(1-)( )1(5)( 0.5)-2( 2   tetetu tt C  mA)5.0()()( )5.0(22   tetedt duCti ttC C  )mA( 1.0)( 2 tet t Csi  2021-3-21 111 分段表示为： （0，0.5） （0.5，∞） 0)5.0( 1)(  tt  )5.0(22 C   tt eei 1)5.0( 1)(  tt  mA632.0 )5.0(2  te )1( 1)5.0(2   ee t mA2 C tei  mA)5.0()()( )5.0(22   teteti tt C  2021-3-21 112 t/s iC/mA 0 1 -0.632 0.5 波形 0.368 uC       s)0.5( mA 0.632- s)5.0(0 mA )( 5)0.-2(- 2 C te teti t t       s)0.5(V 50.632 s)5.0(0V )1(5)( 5)0.-2(- 2 C te tetu t t 2021-3-21 113 2. 二阶电路的阶跃响应 对结点应 用KCL 已知图示电路中uC(0-)=0, iL(0-)=0，求单位阶跃 响应 iL（t） p.170 例7-12 解 is 0.25H0.2 2F A)(t iR iLiC 0.5iC )(5.0 tiii LCR sCLCR iiiii  5.0 2 2 d d d d t iLCt uCi LC C t i R L R ui LR R d d 2 2 d d5.0 t iL )(d d25.1d d25.0 2 2 tit i t i L LL  t iL d d25.1 2021-3-21 114 0.25H0.2 2F (t )A iR iLiC 0.5iC )(44d d5d d 2 2 tit i t i L LL  LLL iii  tptp L AAi 21 ee 21  0452  pp 11 p 42 p 其解为 特解 特征方程 通解 解得特征根 1Li )(d d25.1d d25.0 2 2 tit i t i L LL  tt L AAi 4 21 ee1   2021-3-21 115 0.25H0.2 2F (t )A iR iLiC 0.5iC代初始条件 阶跃响应 电路的过渡过程是非振荡增长的 3 4 1 A 3 1 2 A 0)0(d )(d 0    C L uLt ti 1 tt L AAi 4 21 ee1   0)0()0(   LL ii 0)0()0(   CC uu      04 01 21 21 AA AA )()3 1 3 41()()( 4 teetsti tt L   2021-3-21 116 7.8一阶电路和二阶电路的冲激响应 1. 单位冲激函数 定义 单位脉冲函 数的极限 t (t) 1 0 t p(t)  / 2 1/  - / 2 )0( 0)(  tt     1d)( tt  1 0 )()(lim0 ttp   )]2()2([1)(  tttp  2021-3-21 117 延迟的单位冲激函数 t  (t-t0) t00 1 1. 单位冲激函数 强度为k延迟的冲激函数 t k (t-t0) t00 k        1d)( )( 0)( 0 00 ttt tttt          ktttk ttttk d)( )( 0)( 0 00   2021-3-21 118 2. 冲激函数的性质 ①冲激函数对时间的积分等于阶跃函数           0 1 0 0 d)( t tt  ②冲激函数的‘筛分 性’   tttf d)()(  ttf d)( )0( 0 0     )0(f )( t t  (t) 0 同理 )(d )( d tt t   )(d)()( 00 tfttttf    d)6()(sin tttt    02.162 1 66sin   2021-3-21 119 uC不是冲激函数 , 否则KCL不成立 分二个时间段考虑冲激响应 电容充电，方程为 (1) t 在 0－ ～ 0+间求uC(0+) 例1 3. 一阶电路的冲激响应 电路处于零状态，由单位冲激 函数激励产生的响应。 单位冲激响应 求RC电路单位冲激响应uC、iC。 解 注意 uC(0－)=0 iC R (t) C + - uC uC(0+)≠uC(0_) 实质为零输入响应 不满足 换路定 则 )(d d tR u t uC CC  2021-3-21 120 )0(1)0(   CC uCu 电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。 tttR utt uC d)(ddd d 0 0 0 0 C0 0 C          0 1)]0()0([ CC   uuC 结论 (2) t ≥0+ 为零输入响应（RC放电） C)(uC 10  RC t eCu C 1   RC t eRCR ui C C 1   iC R C + uC - ?)0( Ci0)0(  tuC )(1 C teCu RC t   uC(0－)=0 iC R (t) C + - uC R uti C C )(   2021-3-21 121 uC t0 C 1 iC t 1 RC 1 0 )(1 C teCu RC t   )(1)( C teRCti RC t    uC(0－)=0 iC R (t) C + - uC 2021-3-21 122 )(d d tt iLRi L L  例2 求RL电路的单位冲激响应。 分二个时间段考虑冲激响应解 iL不是冲激函数 , 否则KVL不成立。注意 tttt iLtRi L L d)(dd dd 0 0 0 0 0 0          0 )0(1)0(   LL iLi (1) t 在 0－ ～ 0+间求iL(0+) 1)]0()0([   LL iiL L + - iLR )(t + - uL 0)0( Li iL(0+)≠iL(0_) 实质为零输入响应 不满足 换路定 则 2021-3-21 123 电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。 )0(1)0(   LL iLi 结论 (2) t ≥ 0+ RL放电 R L LiL 1)0(   t L eLi 1    t LL eL RRiu   L R + - uL iL t≥0+ 0)0(  tiL )(1 teLi t L   L + - iLR )(t + - uL 0)0( Li 2021-3-21 124 零状态 r(t))(te 4. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系 单位阶跃响应 单位冲激响应 h(t) s(t) 单位冲激  (t) 单位阶跃  (t) t tt d )(d)(   )(d d)( tstth  激励 响应 2021-3-21 125 4. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系 t tt d )(d)(   )(d d)( tstth  uC(0－)=0 iC R (t) C + - uC ε(t) uC(0－)=0 iC R C + - uC )V( )1()( teRtu RC t Cs   ))(()( dt tSudtu C C  )V( 1 teC RC t   2021-3-21 126 Ø本章小结： 1.换路定则及初始值的确定 2.零输入响应、零状态响应和全响应的概念 3.一阶电路的三要素分析方法  t efftftf    )]0()0([)()(