精编国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务 4 试题及答案
形考任务 4
常微分方程学习活动 4
第二章基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、
第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点, 重
点复习，争取尽快掌握.
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相 应
网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、 填空题
1. 方程也 = ^sin(x2 +*2)的任一非零解不能 与*轴相交.
dx
2 ・李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分二条件.
3. 方程 V 士 ysinx = e'的任一解的存在区间必是(-8, +8).
4. 一阶显式方程解的最大存在区间一定是一 开区间 .
5. 方程也=亍+ 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平面・
dx _
6. 方程^ = sinx-cosj；满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平面.
dx _
7. 方程华=%2 + siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 XOY 平而.
dx
8. 方程孚=陌+ 1 满足解的存在唯一性定理条件的区域是—D = {(x,y)ER2 y>0}f (或不含*轴的上半平而).
dx
9. 方程曳=叫一七满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面.
dx 1 + x+y
10. 一个不可延展解的存在在区间一定开区间.
二、 计算题
1. 判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
(1) yr = x2 +y2 (2) yf = x + siny
1. 解 (1)因为/(工,力=乂 2+；?及= 在整个 xo*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以 在整个平面上，
初值解存在且唯一.
(2)因为/.(x/) = x + sinv 及 4(X,J0 = COSV 在整个 x。*平而上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以在 整个、0*
平面上，初值解存在且唯一.
2. 讨论方程在怎样的区域中满足定理 2. 2 的条件.并求通过(0,0)的一切解.
dx 2
3 - 1
2 •解 因为方程 f(x,y) = -y3 在整个 xo*平面上连续，f；(x,y) = ^ 除 x 轴外，在整个 x。*平面上有界，所
2 2/
3
以除 x轴外在整个 xoy平面上都满足定理 2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为* = ±(x-c)5,x>c, 其中 c>0.
另外容易验证 y = 0 是方程的特解.因此通过(0,0)的解有无穷多个，分别是：
0,x
c
3. 判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解.
(1) — = -y/y-x (2) — = -x ± y/x2 +2y
dx dx
3. 解 (1)因为，(x 疗)=缶三在半平
而 y>x±连续，= 当* =工时无界，所以如果存在
2Jy_x
奇解只能是* = x,但 y = x 不是方程的解，故方程无奇解・
_______ 2 ] 2
⑵ 因为，3 湛)=一 x 土在-一的区域上连续，r(x^) = ± J 当^ = 一一时无界，所
2 Jx2+2y 2
以如果方程有奇解，则奇解只能是 y = -—.显然 y = -—是方程的解，是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求
2f
1
出方程的通解 y = ±cx + -c2.由此可见对于％轴上点(0,0),存在通过该点的两个解：y = -一及 y = 0.故
2 2
X2 y = 一~-是奇解.
三、证明题
1.试证明：对于任意的 X。及满足条件 Ovyvl 的坊，方程二*的解 y = y(x)在(-00, + 00)上存在. dr 1 + x +y
2-设/(")在整个平面上连续有界，对，有连续偏导数，试证明方程*=/(")的任—解、="在区间
(-00, + 00)上有定义.
3.设 0(x)在区间(-oo,+ oo)上连续.试证明方程
的所有解的存在区间必为(-00, + 00)・
4. 在方程中，已知 7*3)，伊 3 在(-°°? + oo)±连续，旦仞(±1) = 0.求证：对任意 x0^n|y0| <1, 满足初值条件 y(x()) = y0
的解 y(x)的存在区间必为(-oo, + oo)・
5. 假设方程^ = f(x,y)在全平而上满足解的存在惟一性定理条件，且 M(x),歹 2(》)是定义在区间/上的两个解・求
dx
证：若 M(Xo)<*2(Xo)，气仁/，则在区间/上必有 y} (x) xQ 不能与直线"相交.若不然，±>Xo 使得= 且
Xx)<^0+M(x-x0)?xe(x0?x1),但由拉格郎日中值定理，龙£(%工］),使得 V(§) =)二-伐)=M .矛 而一工 0
盾.此矛盾证明曲线 y = y(xx>x.不能与直线"相交.同理可证，当 X>XO 时，它也不能与匕相交.故当 x>x0 时解曲线 V =
v(x)位于直线"，A 之间•
同理可证，当 x))，若 yQ =k7r 9 则过该点的解是 y = k/r,显然是在(-oo, + oo)上有定义.
若;Vo。Avr ,则 Vo G (kji. (k + l)/r),记过该点的解为 y = v(x),那么一方而解 y = v(x)可以向平而的无穷远无限 延
展；另一方而在条形区域-oox0 方向，(反之亦然).
假设存在 x>xQ，使得 yx (x) > y2(x) ( ^(x)=y2(x)不可能出现,否则与解惟一矛盾).
令 y(x) = y}(x)-y2(x)9 那么
yM=y}M-y2M< °， y(x)=y}(x)-y2(x)> o
由连续函数介值定理，存在 x* G(X0?X),使得
V(£)=Vi(X*)-、2(X*)= 0
即 Vi(x*) 二 %(『)
这与解惟一矛盾
6. 证明 由已知条件知方程存在零解.该方程满足解的存在惟一性定理条件.
设*(x)是方程的一个非零解，假如它满足
”0)=0, 孚=0,
位心。
由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有又 x)三 0,这与贝 x)是非零解矛盾.
7. 证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
又* = ±1 是该方程的两个常数解.
现取 XOC(YO, + OO), [yo|vl，记过点(Xo，*o)的解为 y(x)・一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又 不
能上下穿越* = ±1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区域 G = {(xj)|M
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