高考物理天体运动问题的专题研究

高考物理天体运动问题的专题研究

天体运动问题的专题研究　　例1　如图所示，m1、m2为两颗一前一后在同一轨道绕地球做匀速圆周运动的卫星，试述用何种方法可使卫星m2追上前面的卫星m1？　　　　解析　m2不能像在地面上行驶的汽车一样加大速度去追赶m1，而应先通过反向制动火箭把速度变小，这样万有引力就大于m2做匀速圆周运动所需要的向心力，从而轨道半径变小，在较低轨道上匀速圆周运动。由于在较低轨道上m2的运行速率要大些，大于m1的运行速率，就会慢慢赶上前上方的m1，再在恰当位置m2通过助推火箭把速度变大，这时万有引力又小于所需要的向心力，m2将做离心运动，轨道半径将变大到与m1相同，这时m2就追上了m1。　　例2　2006年2月10日，面向社会征集的月球探测工程标志最终确定。上海设计师作品“月球之上”最终当选。我国的探月计划分为“绕”“落”“回”三阶段。第一阶段“绕”的任务由我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”来承担。发射后，“嫦娥一号”探测卫星将用8天至9天的时间完成调相轨道段、地—月转移轨道段和环月轨道段的飞行。其中，假设地—月转移轨道阶段可以简化为：绕地球做匀速圆周运动的卫星，在适当的位置点火加速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的椭圆轨道运行，如图所示。若要此时的“嫦娥一号”进入环月轨道，则必须（　）　　A．在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气　　B．在近月点（远地点）Q启动火箭向运动的反方向喷气　　C．在近月点（远地点）Q启动火箭向运动方向喷气　　D．在近地点P启动火箭向运动方向喷气　　解析　要使月球探测卫星在地球椭圆轨道上变轨绕月球运行，则必须在近月点Q处点火减速，即启动火箭向运动的方向喷气使探测器减速，使月球对探测卫星的引力大于做圆周运动所需的向心力而做向心的变轨运动，正确答案为选项C。　　例3　天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010m，但它离太阳最远距离不能测出。试根据开普勒定律计算这个最远距离。已知太阳系的开普勒常量k=3.354×1018m3/s2。　　解析　设哈雷彗星离太阳的最近距离为R1，最远距离为R2，则椭圆轨道半长轴为。　　　　　根据开普勒第三定律　\n，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4　我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速度约为　　A．0.4km/s　B．36km/s　C．11km/s　D．1.8km/s　　解析　设地球质量、半径分别为M、R，月球质量、半径分别为m、r，则，。　　在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则，即GM=gR2；在月球表面，满足Gm=g＇r2，由此可得，地球表面的第一宇宙速度，在月球表面，有。　　例5　“神舟”六号飞船发射升高时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为m的物体，火箭点火后从地面向上加速升高，当升到某一高度时，加速度为，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的，已知地球的半径为R，g为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度。　　解析　设此时火箭升空高度为h，此处重力加速度为g＇，对火箭内测试仪平台上的小物体，应用牛顿第二定律，有　　　　　\nF－mg＇=ma。　　根据万有引力定律，有　　　　　，。　　　　　将，代入上式解得。　　例6　如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。　　（1）求卫星B的运行周期；　　（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多少时间，他们再一次相距最近？　　解析　　　（1）由万有引力定律和向心力公式得　　　　　，　　　　　　　①　　　　　。　　　　　　　　　　　　　　②　　　　　联立①、②两式得　。　　③　　（2）由题意得　，　　　　　　　④　　　　由③式得　。　　　　　　　⑤　　　　　代入④式得　。　　例7　在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星。已知两颗恒星质量分别为m1、m2\n，两星之间的距离为L，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度。　　　　解析　两恒星构成的系统能保持距离L不变，则两恒星转动的角速度（周期）相同，设它们的角速度为ω，半径分别为r1、r2，则　r1+r2=L。　　　　　　　　①　　它们间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，则　　对恒星m1：　，　　　　②　　对恒星m2：　。　　　　③　　联立①、②、③式解得　，。　　　　　　　　　　　将　代入②式得　。　　讨论：（1）当m1=m2时，，；　　　　　（2）当m1＞＞m2时，r1≈0，r2≈L，，这正是我们已熟知的人造地球卫星的运转模型。　　例8　宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。　　（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；　　（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？　　解析　（1）第一种形式下，如图甲所示，以某个运动的星体为研究对象，根\n据万有引力定律和牛顿第二定律，有　　　　，　　　　，。　　（2）第二种形式下，设星体之间的距离为r，如图乙所示，则三个星体做圆周运动的半径为，由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿第二定律，有　　　　　，　　解得　。　　例9　设想宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，由月球表面乘坐返回舱返回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度，已知返回舱返回轨道的过程中需克服月球的引力做功，返回舱与人的总质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响，则宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？　　解析　返回舱在月球表面上，有　　　　　　，　　　　　　　　①　　设轨道舱质量为m0，速度大小为v，有　　　　　。　　　　　　　②　　所以　。　　　　　③　　返回舱与轨道对接时具有的动能为　　　　　，　　　④\n　　返回舱在返回过程中需克服引力做功　　　　　，　　故返回舱返回时至少需能量　E=Ek+W。　　⑤　　联立解①～⑤式得　。　　例10　如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3。其中，轨道1，2相切于A点，轨道2，3相切于B点。质量为m的人造卫星在轨道1上运动时，轨道半径为r1，速率为v1；在轨道3上运行时，速率为v3，轨道半径为r3。卫星若要从轨道1到轨道3上运行，必须经过两次变轨：第一次是从圆轨道1变到椭圆轨道2上；第二次是从椭圆轨道2变到圆轨道3上。设卫星在椭圆轨道2上运动到A、B两点时的速率分别为vA、vB。试比较v1、v3、vA、vB的大小关系。　　　　1．v1和v3的大小比较　　解析　设地球质量为M，卫星在1，3轨道上运行时，根据万有引力提供向心力分别列方程：　　　　　　　　　①　　　　　　　　　②　　由①②两式分别解得：　　　由于r1＜r3可以比较得v1＞v3　　2．vA和vB的大小比较　　卫星在椭圆轨道2上稳定运行时，仍然是万有引力或万有引力的分力提供向心力，不过向心力中的半径r不再是定值，也不再等于卫星到地心O间的距离，而是等于轨迹上各点的曲率半径，卫星的运行速率也是不断变化的，如图，此时地球位于椭圆的一个焦点上，AB为椭圆的长轴，其长度为r1+r3\n，近地点A和远地点B关于椭圆的中心对称，故A、B两点曲率半径相等，根据数学知识可得椭圆轨道2上A、B两点曲率半径相等，根据数学知识可得椭圆轨道2上A、B两点的曲率半径，对r的表达式进行变形整理得：，由r1＜r3得，则r1＜r；同理，这一结论后面分析时要用到。　　卫星在椭圆轨道2上运行到A、B两个特殊位置时，速度方向都与万有引力垂直，且F向=F万，取卫星为研究对象分别列方程得：　　　　　　③　　　　　　④　　　③④两式相比得：　故vA＞vB　　3．v1和vA的大小比较　　　卫星在圆轨道1上运行到A处时有:　　　　⑤　　　在椭圆轨道2上运行到A点时，有:　　　　⑥　　　⑤⑥两式相比得：　　　由r＞r1，得vA＞v1，这说明卫星在切点A处由圆轨道1变轨道椭圆轨道2上时，必须开努发动机使卫星加速。　　4．vB和v3的大小比较:卫星在椭圆轨道2上运动行到B处时有　　　　　　⑦\n　　　在圆轨道3上运行到B处时有　　　　　　⑧　　由⑦⑧两式相比得：　　由r＜r3得vB＜v3。　　这说明卫星在切点B处由椭圆轨道2变轨道圆轨道3上时，也必须开动发动机给卫星加速，才能完成这一变轨任务。　　综上所述，卫星在变轨问题中所涉及到的四个速度的大小关系为vA＞v1＞v2＞vB。需要特别一提的是，卫星在椭圆轨道2上稳定运行时，不须开动发动机进行加速或减速。而是遵守机械能守恒定律。