试题名称：中考数学热点专题质点运动型问题资料

试题名称：中考数学热点专题质点运动型问题资料

第九章质点运动型问题【考点透视】质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．质点运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．解决质点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．质点运动型问题有时把函数、方程、不等式联系起来．当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．【典型例题】ACQP图9—1B例1．如图9—1，在△ABC中，∠B＝90°,AB＝6cm，BC＝3cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于4cm?（1995年山东省中考试题）分析：本题如果设t秒钟后，P、Q间的距离等于4cm，那么PB、QB都能用t来表示，根据勾股定理，可以列出关于t的方程求解．解：设t秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．则PB＝（6－t）cm，QB＝2tcm．根据勾股定理，得（6－t）2＋（2t）2＝（4）2．解这个方程，得t1＝，t2＝2．因为点Q从点B开始沿BC边移动到点C以只需要1.5秒，所以只取t＝．答：秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置关系：PQ＝4cm，直接利用勾股定理，建立方程模型解决问题．图9—2ABCQP例2．如图9—2，在△ABC中，∠C＝90°,BC＝8cm，sinB＝，点P从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时PQ∥AB?（1997年陕西省咸阳市中考试题）\n分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．解:设P、Q分别从B、C同时出发，运动开始后t秒时，PQ∥AB．则．∵sinB＝，∴cosB＝，tgB＝．∴AC＝BC·tgB＝8·＝6．∴BP＝2t，AQ＝AC－QC＝6－t．∴．解得t＝2.4(s)．∴P、Q分别从B、C同时出发，运动开始后2.4s时，PQ∥AB．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置PQ∥AB，利用平行线分线段成比例定理求解．例3．如图9—3，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）写出S△DPQ与x的函数关系式；图9—3ABCQDP（3）求出S△DPQ最小值和S△DPQ最大值，并说明理由．（1998年湖北省襄樊市中考试题）分析：点P、Q在运动过程中，x在变，S△DPQ也在变，而S△DPQ与x之间可以根据条件列出方程或函数关系式求解．解：（1）根据题意，得·2x·（6－x）＝8．即x2－6x+8＝0．解得x1＝2，x2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．（2）S△DPQ＝S四边形ABCD－S△APD－S△PBQ－S△DCQ＝12·6－·x·12－·6·（12－2x）－·（6－x）·2x＝x2－6x+36．（3）S△DPQ＝x2－6x+36＝（x－3）2+27．∴S△DPQ的最小值是27，S△DPQ的最大值是36．\n∵当|x－3|最小时，S△DPQ有最小值；当|x－3|最大时，S△DPQ有最大值，又∵0＜x≤6，∴当x＝3时，S△DPQ有最小值；当x＝6时，S△DPQ有最大值．说明：本题第（1）小题是利用方程模型求解，它是P、Q运动过程中，△PBQ处于特殊位置；而第（2）、(3)小题是利用函数模型求解．另外，在几何图形中求函数关系式，问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件．例4．如图9—4，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？A图9—4BCQP（1998年江苏省宿迁市中考试题）分析：在P、Q分别从A、B同时出发运动的过程中，可能有两种状态出现：（1）；（2）．因此，这两种情况都要考虑．解：设P、Q分别从A、B同时出发后，经xs，△PBQ与△ABC相似．则AP＝2x，BQ＝4x，PB＝8－2x．（1）如果，那么可得．解得x＝2．（2）如果，那么可得．解得x＝．所以经过2s钟或s钟，△PBQ与△ABC都相似．说明：本题是一道需要讨论的质点运动型中考题，即在P、Q分别从A、B同时出发运动的过程中，有两种情况使△PBQ与△ABC相似．例5．如图9—5，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；ACBQDP图9—5（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？（2002年河北省中考试题）\n分析：（1）只要把QA、AP用含t的代数式表示，利用QA＝AP求解；（2）可以分别求出△QAC和△APC的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形．即6－t＝2t．解得t＝2（秒）．所以当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．（2）在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，∴S△QAC＝QA•DC＝（6－t）•12＝36－6t．∵在△APC中，AP＝2t，BC＝6，∴S△APC＝AP•BC＝•2t•6＝6t．∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36（cm2）．由计算结果发现：在P、Q两点的移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可以提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来求解：当时，△QAP∽△ABC．∴．解得t＝1.2（s）．∴当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC．当时，△PAQ∽△ABC．∴．解得t＝3（秒）．∴当t＝3s时，△PAQ∽△ABC．例6．如图9—6，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC＝2cm．现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s）．（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP:PC的值．（2001年南昌市中考试题）分析：（1）当EF∥BC时，四边形BCFE是矩形；（2）线段EF与半圆相切时，EF＝BE+CF，可以过点F作KF∥BC交AB于K，构造直角三角形求解；（3）可以利用正方形ABCD中的不变关系AB∥DC，通过△AEP∽△CFP求解．A图9—7BCDFEA图9—6BCD\n解：（1）如图9—7，设E、F出发后运动了ts时，有EF和BC平行．则BE＝t，CF＝4-2t．∴t＝4-2t．解得t＝．∴当t＝s时，线段EF和BC平行．（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切．过点F作KF∥BC交AB于K．如图9—8．则BE＝t，CF＝4-2t，EK＝t-（4-2t）＝3t-4，EF＝BE+CF＝t+（4-2t）＝4-t．又∵EF＝EK+FK，∴（4-2t）＝（3t-4）+2．解得t＝．∵1＜t＜2，∴t＝．∴当t＝s时，线段EF与半圆相切．A图9—9BCDFEPA图9—8BCDFEK（3）答：当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．证明：1≤t＜2时，设E、F出发后运动了ts时，EF位置如图9—9所示，则BE＝t，AE＝2-t，CF＝4-2t．∴＝.又∵AB∥DC，∴△AEP∽△CFP.∴.即点P的位置与t的取值无关．∴1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP:PC的值是．\n【习题9】1．如图9—10，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，设PB＝x，梯形APCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系式；图9—10ABCxDP（2）如果S△ABP＝S梯形APCD，请确定P点的位置．（2001年新疆维吾尔族自治区乌鲁木齐市中考试题）2．如图9—11，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动．同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）运动开始后第几秒钟时，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设运动开始后第ts钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；图9—11ABCQDP（3）t为何值时S最小？求出S最小值．（1995年云南省昆明市中考试题）3．如图9—12，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动．（1）P、Q两点，从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积33cm2？（2）P、Q两点，从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？ACQDP图9—12B（1999年湖北省荆州中考试题）\n4．如图9—13，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC?（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．图9—13ABCQP（2003年浙江省金华市中考试题）5．如图9—14所示，已知A、B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点．连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为．（1）当t＝1s时，求梯形OPFE的面积．t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）设t的值分别取t1、t2时，（t1≠t2），所对应的三角形分别为和△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似．请证明你的判断．y图9—14A（28，0）PFB（0，28）OxE（2003年广西壮族自治区南宁市中考试题）7．如图9—15，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,AD＝13cm，BC＝16cm，CD＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图9—15ABCQPOD（2002年山东省潍坊市中考试题）\n7．如图9—16，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了xs，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含x的代数式表示，不要写出x的取值范围）；（2）设从出发起运动了xs，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半．①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．y图9—16PB（14，3）OxC（4，3）A（14，0）1Q（2002年江苏省苏州市中考试题）8．已知：如图9—17，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝acm，AC＝bcm，a＞b，且a、b是方程x2－（m－1）x＋（m＋4）＝0的两根．当AB＝5cm时，（1）求a和b；（2）若△A’B’C’与△ABC完全重合，当△ABC固定不动，将△A’B’C’沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后△A’B’C’与△ABC的重叠部分的面积为ycm2，求y与x之间的函数关系式；几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2?（1998年吉林省中考试题）ACBA’C’B’图9—17\n习题九1．解：（1）∵正方形ABCD的边长为，PB＝x，∴CP＝－x．∴y＝[（－x）＋]·＝2－x，0＜x＜．（2）∵S△ABP＝··x＝x．S梯形APCD＝2－x，S△ABP＝S梯形APCD，∴x＝（2－x）．∴x＝．∴P点在BC的处．2．解：（1）运动开始后第xs钟时，△PBQ的面积等于8cm2．根据题意，得·2x·（6－x）＝8．即x2－6x+8＝0．解得x1＝2，x2＝4．所以2s或4s后△PBQ的面积等于8cm2．（2）运动开始后第ts钟时，S＝S矩形ABCD－S△PBQ＝12·6－·（6－t）·2t＝t2－6x+72．（3）S＝t2－6x+72＝(t－3)2+63．所以当t＝3时，S最小，S的最小值是63cm2．3．解：（1）设xs时，四边形PBCQ的面积33cm2．可得PB＝16－3x，CQ＝2x，BC＝6．则（16－3x＋2x）•6＝33．解得x＝5．所以P、Q两点，从出发开始到5s时，四边形PBCQ的面积33cm2．（2）设ys时，点P和点Q的距离是10cm．过点P作PE⊥CD，垂足为E．则EQ＝|16－3y－2y|＝|16－5y|．在Rt△PEQ中，PE＝6cm，PQ＝10cm，由勾股定理，得EQ＝8cm．∴|16－5y|＝8．\n解得y1＝，y2＝．根据题意，0≤y≤，∴y1、y2都符合题意．∴P、Q两点，从出发开始到s或s时，点P和点Q的距离是10cm．4．解:（1）根据题意，得AP＝4xcm，AQ＝AC－QC＝（30－3x）cm．如果PQ∥AB，那么．则．解得x＝（s）．∴当x＝s时，PQ∥AB．（2）∵∠A＝∠C，∴当或时，△APQ能与△CQB相似．①当时，．解得x＝．∴AP＝4x＝．②当时，．解得x1＝5，x2＝－10（舍去）．∴AP＝4x＝20．所以当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．5．解：当t＝1s时，OE＝1，AP＝3．∴OP＝28－3＝25．∵OA＝OB，EF∥OA，∴EF＝EB＝28－1＝27．∴S梯形OPFE＝＝＝26．S＝＝－2t2+28t＝－2（t－7）2+98．所以当t＝7s时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是98．\n（2）相似．证明：分别过F1、F2作F1H1⊥AP2，F2H2⊥AP2，垂足分别为H1、H2．∵∠OAB＝45°,∴AH1＝F1H1＝t1，AH2＝F2H2＝t2．∴AF1＝t1，AF2＝t2．∴．又∵AP1＝3t1，AP2＝3t2，∴．∴．∵∠OAB＝∠OAB，∴△AF1P1∽△AF2P2．ABCQPODE6．解：（1）过点作DE⊥BC，垂足为E．则BE＝AD＝13cm，EC＝3cm．∵在Rt△DEC中，DC＝5cm，∴DE＝4cm．∴⊙O的直径是4cm．（2）∵点P、Q的运动速度分别是1cm/s和2cm/s，由于∴当P、Q运动ts时，PD＝（13－t）cm，CQ＝2tcm．∴四边形PQCD的面积是y＝·AB（PD＋CQ）＝×4（13－t＋2t）＝2t＋26．（0≤t≤8）当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ－PD＝2CE，∴2t－（13－t）＝6．解得t＝．此时四边形PQCD的面积是y＝．（3）存在．如果直线PQ与⊙O相切，切点为G，作PH⊥BC，垂足为H．∴PG＝AP＝t，QG＝QB＝16－2t．∴QH＝QB－BH＝（16－2t）－t＝16－3t，PQ＝QB＋AP＝16－t．根据勾股定理，得PQ2＝PH2＋QH2．∴（16－t）2＝16＋（16－3t）2．解得t1＝4＋，t2＝4－．∵4＋和4－都在0≤t≤8内，∴在t＝（4＋）s或t＝（4－）s时，直线PQ与⊙O相切．\n7．解：（1）当点Q在OC上时，坐标为（，），当点Q在CB上时，坐标为（2x－1，3）．yPB（14，3）OxC（4，3）A（14，0）1QM16－xx（2）①点Q所经过的路程为16－x，速度为．②当Q在OC上时，作QM⊥OA，垂足为M．则QM＝（16－x）．∴S△OPQ＝·（16－x）·xx（16－x）．令x（16－x）＝18．解得x1＝10，x2＝6．∵当x1＝10时，16－x＝6，这时点Q不在OC上，故舍去．∴当Q在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．点Q在CB上时，CQ＝16－x－5＝11－x．∴S梯形OPQC＝·（11－x＋x）·3＝．∵≠18，∴点Q在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．P1yB（14，3）OxCA（14，0）xQ11－x8．解：根据题意，得a＋b＝m－1，ab＝m＋4．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°,∴AB2＝BC2＋AC2．∴a2＋b2＝25．∴（a＋b）2－2ab＝25．∴（m－1）2－2（m＋4）＝25．∴m＝8或m＝－4（不合题意，舍去）∴a＋b＝7，ab＝12．解得a＝4，b＝3或a＝3，b＝4．∵a＞b，∴a＝4，b＝3．（2）设A’C’交AB于P，\n∵A’C’∥AC，∴△A’B’C’∽△ABC．∵BC＝4cm，AC＝3cm，CC’＝xcm，∴．即（或）．若S△PBC’＝cm2，则解得x1＝3，x2＝5．∵0≤x≤4，∴x＝5不符合题意，只能取x＝3．∴3s钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2．