2015年中考数学复习课件+教学案+练习专题六运动型问题试卷试题含答案解析

2015年中考数学复习课件+教学案+练习专题六运动型问题试卷试题含答案解析

专题六　运动型问题所谓“运动型问题”是探究几何图形(点、直线、三角形、四边形)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．“运动型问题”题型繁多、题意创新，考查学生分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点．从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理．在运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程．在变化中找到不变的性质是解决数学“运动型”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．解题方法对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．　点动问题【例1】　(2013·菏泽)如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次函数y＝－x＋3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．(1)试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：(1)由y＝－x＋3，令x＝0，得y＝3，所以点A(0，3)；令y＝0，得x＝4，所以点C(4，0)，∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为(－4，0)，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为(8，3)，将点B(－4，0)、点D(8，3)代入二次函数y＝x2＋bx＋c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2－x－3(2)∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5.①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ\n＝t，AQ＝5－t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴＝，即＝，解得：t＝.即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC.②∵S四边形PDCQ＋S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5－t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：＝，解得：h＝(5－t)，∴S△APQ＝t×(5－t)＝(－t2＋5t)＝－(t－)2＋，∴当t＝时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12－＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到P运动后的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式．1．(2014·西宁)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P不与点B，C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E.设BP＝x，BE＝y，那么y关于x的函数图象大致应为(C)　线动问题【例2】　(2014·衡阳)如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A(－4，0)，B(0，3)，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y＝x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO，BO于点C，D，设运动时间为t秒(0＜t＜5)．(1)证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；(2)当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．\n解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，由题意，得，解得：，∴y＝x＋3.∴直线AB∥直线y＝x.∵A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝5.∴sin∠BAO＝，tan∠DCO＝.作PE⊥AO，∴∠PEA＝∠PEO＝90°∵AP＝t，∴PE＝0.6t.∵OD＝0.6t，∴PE＝OD.∵∠BOC＝90°，∴∠PEA＝∠BOC，∴PE∥DO.∴四边形PEOD是平行四边形，∴PD∥AO.∵AB∥CD，∴四边形ACDP总是平行四边形(2)∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∴tan∠DCO＝tan∠BAO＝.∵DO＝0.6t，∴CO＝0.8t，∴AC＝4－0.8t.∵四边形ACDP为菱形，∴AP＝AC，∴t＝4－0.8t，∴t＝.∴DO＝，AC＝.∵PD∥AC，∴∠BPD＝∠BAO，∴sin∠BPD＝sin∠BAO＝.作DF⊥AB于F.∴∠DFP＝90°，∴DF＝.∴DF＝DO.∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、平行四边形的判定及性质的运用、菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键．2．(2013·永州)如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是(A)　形动问题【例3】　(2014·山西)综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(－2，3)，抛物线W经过O，A，C三点，D是抛物线W的顶点．(1)求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；(2)将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m(0＜m＜3)个单位，\n得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值．解：(1)设抛物线W的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线W经过O(0，0)、A(4，0)、C(－2，3)三点，∴，解得：，∴抛物线W的解析式为y＝x2－x.∵y＝x2－x＝(x－2)2－1，∴顶点D的坐标为(2，－1)．(2)由▱OABC得，CB∥OA，CB＝OA＝4.又∵C点坐标为(－2，3)，∴B点的坐标为(2，3)．过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′＝m.∴BE＝3，OE＝2，∴EA＝OA－OE＝2.∵C′B′∥x轴，∴△BC′G∽△BEA，∴＝，即＝，∴C′G＝m.由平移知，▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．∴S＝C′G·C′E＝m(3－m)＝－(x－)2＋，∴当m＝时，S有最大值为【点评】本题是二次函数的探究题．第(1)问考查了待定系数法及二次函数的性质；第(2)问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形．3．(2013·衡阳)如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则S与t的大致图象为(A)\n试题　关于x的二次函数y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．(1)求此抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的草图；(2)设A是y轴右侧抛物线上一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D再作DC垂直x轴于点C，得到矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l与x的函数关系式；(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．错解　(1)由题意得，抛物线的对称轴－＝0，∴k2－4＝0，k＝±2.又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴2k－2＞0，即k＞1，∴k＝2，∴y＝－x2＋2，图象如图所示：(2)由(1)得，A(x，－x2＋2)，根据矩形ABCD的对称性，得D(－x，－x2＋2)，∴矩形ABCD的周长l＝2(AD＋AB)＝2[2x＋(－x2＋2)]＝－2x2＋4x＋4.(3)若矩形ABCD为正方形，则AB＝AD，即2x＝－x2＋2，解得x＝－1＋或x＝－1－(不合题意，舍去)，∴正方形ABCD的周长l＝4AD＝8x＝8－8.剖析　第(1)问比较容易，解答过程是正确的；在第(2)问中，求矩形ABCD周长l关于x的函数关系式，点A是抛物线y轴右侧上一动点，即A点可能在第一象限，也可能在第四象限，而上述解法中仅考虑点A在第一象限的情形，没有分两种情况讨论；同样，第(3)问中也应分A点在第一象限和第四象限两种情况研究．正解　(1)y＝－x2＋2.(过程同错解)(2)令－x2＋2＝0，得x＝±.当0＜x＜时，点A在第一象限，如图，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2，∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4；当x＞时，A点在第四象限，如图，A2D2＝2x，A2B2＝x2－2，∴l＝2(A2D2＋A2B2)＝2x2＋4x－4.综上，l关于x的函数关系式是(3)当0＜x＜时，令A1D1＝A1B1，得2x＝－x2＋2，解得x＝－1＋或x＝－1－(不合题意，舍去)，把x＝－1＋代入l＝－2x2＋4x＋4，得l＝8－8；当x＞时，令A2B2＝A2D2，得2x＝x2－2，解得x＝1＋或x＝1－(不合题意，舍去)，把x＝1＋代入l＝2x2＋4x－4，得l＝8＋8.综上，矩形ABCD能成为正方形，即当x＝－1时，正方形的周长为8－8；当x＝＋1时，正方形的周长为8＋8.\n