(上海交大)大学物理上册课后习题答案1质点运动

(上海交大)大学物理上册课后习题答案1质点运动

习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1)由，知：，消去t可得轨道方程：∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由，有速度：而，有速率：。1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从到s的位移；（3）和s两时刻的速度。解：（1）由，可知，消去t得轨道方程为：，∴质点的轨道为抛物线。（2）从到s的位移为：（3）由，有速度：和秒两时刻的速度为：，。1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，，有：；（2）而，有速率：∴，利用有：。1-4．一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为，升降机上升的高度为，运动方程分别为（1）8\n（2）相遇时y1=y2即得：。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为，利用，有：。1-5．一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的，，。解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：，，∴；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：（为抛物线方程）；（3）∵，∴，即：，在落地瞬时，有：，∴又∵，∴。1-6．路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为，足的坐标为，8\n由相似三角形关系可得：，∴两边对时间求导有：，考虑到：，知人影中头的速度：（常数）。1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在t从0到3s的时间间隔内，质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：若解得，。1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。解：小球落地时速度为，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，→（1）→（2）第二次落地时：，代入（2）式得：，所以：。8\n1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为。解：由向心力公式：，赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：，而现在赤道上物体的向心力为：∴1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。因此有：，；（2）在落地点子弹速度为，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有：则：。1-11．飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为有：┄①，┄②联立方程解得：，∴。1-12．设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。证明：两个物体初速度为和，在任意时刻的速度为：8\n与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：取g=9.8m/s2。物体在任意时刻的速度表达式为：故气球中的观察者测得物体的速度代入时间t可以得到第二秒末物体速度：，（向上）第三秒末物体速度：第四秒末物体速度：（向下）。1-14．质点沿轴正向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程。解：由于是一维运动，所以，由题意：，分离变量并积分有：，得：又∵，积分有：∴1-15．跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为轴。跳水运动员入水时的速度：，入水后速度减为入水速度的10%时：，列式：，考虑到，有：，8\n1-16．一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：看成一维运动，直接利用公式：，有：（1），（2）1-17.质点的运动方程为：，，，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为：，，这是一条空间螺旋线。空间螺旋线在平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为。（2），，，∴；（3）∴思考题11-1．点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1）；（2）；（3）；（4）答：（3）1-2．质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：匀速直线运动；。1-3．结合图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度在时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度变化的快慢程度，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化。1-4．运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小，但速度仍在增加。8\n1-5．如图所示，两船和相距，分别以速度和匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相距最近的距离．图中和为已知。答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度。是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度就是两船相靠最近的距离作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：两船在任一时刻的位置矢量分别为：任一时刻两船的距离为：令：。1-6．质点在一平面内运动，其位置矢量为，速度为，试说明、、、8\n的物理意义，并指出它们分别为零时，除了表示静止外，还可表示质点作何运动？解：中的为位置矢量的模（一般可用表示），它表示质点离原点的距离，表示质点离原点的距离随时间的变化率，即径向速度.它为零表示质点与原点的距离不变，表示质点的运动轨迹为圆。即当时，质点作圆周运动.表示质点的速率，它为零表示为恒量，所以只能表示质点静止.表示质点的速率的变化率，即切向加速度，它为零表示质点作匀速率运动。表示加速度的大小，它为零表示速度为恒量，除了表示质点静止外，还表示质点作匀速直线运动。1-7．一质点在平面直角坐标系内运动,在位置(x,y)处的速度，加速度（其中为已知）。求该质点在(x,y)处的切向加速度和法向加速度。解：8