2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6

‎6.2　向量基本定理与向量的坐标 ‎6.2.1　向量基本定理 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.掌握共线向量基本定理．‎ ‎2．掌握平面向量基本定理．‎ ‎1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．‎ ‎2．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 共线向量定理 如果__a≠0__，且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得b＝λA．‎ 如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．‎ 思考：(1)定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？‎ ‎(2)这里的“唯一”的含义是什么？‎ 提示：(1)不能．如果a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λA．如果a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λA．‎ ‎(2)如果还有b＝μa，则有λ＝μ．‎ 知识点 平面向量基本定理 ‎ (1)定理：如果平面内的两个向量a，b__不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c，__存在唯一__的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yB．‎ ‎(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a，b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的__一组基底__．‎ 思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？‎ ‎(2)平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？‎ 提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．‎ ‎(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．‎ - 5 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 共线向量定理的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．‎ ‎(1)判断a，b是否平行；‎ ‎(2)若a∥c，求x的值．‎ ‎[解析]　(1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，‎ ‎∴∴∴λ不存在．∴a与b不平行．‎ ‎(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝rA．‎ ‎∴m＋xn＝r(3m＋2n)‎ ‎∴∴x＝．‎ 规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．‎ ‎2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”．‎ ‎3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．‎ ‎[解析]　要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，‎ 即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，故所以k＝±1．‎ 题型 平面向量基本定理的理解 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)设e1、e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是(　C　)‎ ‎①e1和e1＋e2 ②e1－2e2和e2－2e1‎ ‎③e1－2e2和4e2－2e1 ④e1＋e2和e1－e2‎ - 5 -‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(　A　)‎ A．若实数λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0‎ B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对 ‎[分析]　(1)根据基底的构成条件判断．‎ ‎(2)由平面向量基本定理的内容理解判断．‎ ‎[解析]　(1)③中，∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C．‎ ‎(2)平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．‎ 规律方法：对平面向量基本定理的理解 ‎(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝xa＋yb，且x＝y＝0．‎ ‎(2)对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝__3__．‎ ‎[解析]　因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e2不共线，所以解得x－y＝3．‎ 题型 用基底表示向量 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若AB＝a，＝b，‎ 试用a，b将，，表示出来．‎ - 5 -‎ ‎[解析]　＝－＝－＝a－b，‎ ＝－＝－－＝－－(－)＝－b－(a－b)＝－a＋B．‎ ＝－＝－(＋)＝(a＋b)．‎ 规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点 ‎(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．‎ ‎(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．如图，在△AOB中， ＝a，＝b，设＝2，＝3，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量．‎ ‎[解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋B．‎ 因为与共线，令＝t，‎ 则＝t(a＋b)．‎ 又设＝(1－m)＋m ‎＝a·(1－m)＋mB．‎ 所以所以 所以＝a＋B．‎ 易错警示 - 5 -‎ ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设A＝a，A＝b，若A＝2D，则A＝__a＋b__(用a和b表示)．‎ ‎ [错解]　2a＋b　设A＝λ，则A＝λ(A＋D)＝λ(A＋A)＝λ＋λ．‎ ‎∵D、O、B三点共线，∴λ－λ＝1，∴λ＝2．‎ ‎∴A＝2A＋A＝2a＋B．‎ ‎[辨析]　不能正确应用直线的向量参数方程致错．‎ ‎[正解]　a＋a　设A＝λ，则A＝λ(A＋D)＝λ(A＋A)＝λ＋λ．‎ 因为D、O、B三点共线，所以λ＋λ＝1，‎ 所以λ＝，所以A＝A＋A＝a＋B．‎ - 5 -‎