最优安全库存的决策

最优安全库存的决策

摘要 设置安全库存的策略对零件和批发的库存，补给 品，零件，供应项目以及某些生产计划的管理都很重 要。从应用的角度来说，最优安全库存库存以及服务 水平的决策需要确定需求分布。这篇论文详细阐述了 在多这些分布包括：正态分布，指数分布以及泊松分 布。在管理者没有足够的信息 确 定 需 求 分 布 的 情 况 下 ， 运 用 C h e b y c h e v ’ s Inequality Theorem去决定最优的策略。介绍的计算 方法允许定购量以及服务水平数共同决定总体的相关 费用。同时文章也给出了一个计算的例子。 注释： Q =订购批量 h =每单位每年 的运费 DL =提前期的需求 DL-=提前期的平均需求 r=订购点 σL = 提前期需求的标准差 Dt- =t 时间周期内的平均需求 LT=平均提前期 σLTD = 提前期与需求变量的综合标准差 Z=服务水平的标准差 σt= 每个t周期的标准差 C u =每周期每单位 的缺货成本 D=年需求 NL =提前期内期望缺货单位数 S=准备费用 1.正态分布下的安全库存决策 要得出最优的安全库存，必须确定最优的服务水平， 我们可以利用方程 P（DL>r）Cu=hQ/D SOR=P（DL>r）Cu=hQ/D（1） 给出的优化的条件来得出，而不用运用数学的方法。 在得出Q(订购批量)和Z（服务水平）时会运用到迭代 的过程。步骤是： 1. 初始,设Q=（2DS/h）1/2。即：EOQ模型得出的。 2. 计算P（DL>r）=hQ/CuD。从正态分布表中可以得出 相应的Z值。总的相关费用是： TRC=Qh/2+hZσL+DS/Q+CuσLg(Z)D/Q, 其中σLg(Z)=NL, g(Z)正态分布标准差σL=1下的缺货量的期望值。求 Q的偏导，并使之为0，我得可以得到： Q=（2D（S+ CuσLg(Z)）/h）1/2(3) 3. 将Z代入方程（3），得到修正的Q。 4. 将修正后的Q代入第2步，得出修正的Z。 5. 重复第3步和第4步直到得到稳定的Q值。 得到优化后的Z值和Q值后，最优的安全库 存可以表达如下:SS*=Z*σL。 2.指数分布下的安全库存决策 当实际的需求数据可以用指数分布来正确的 描述，它可表述如下： SOR= P（DL>r）=e-(1+Z)（4） σL=DL- NL=σL e-(1+Z) 使用方程（1）的优化条件，在指数分布下的最 优的服务水平必须满足： e-(1+Z)=hQ/CuD(5) 很明显，缺货只可能在使用固定订货数量库存控 制系统下 的提前期才可能发生。因此，订货成本与缺 货成本 可以合并。最优的订货数量包括缺货 成本可以由以方方程给出： Q={2D（S+ CuσL e- (1+Z)）/h}1/2(6) 其中Z值可以用Q=（2DS/h）1/2初始来表示。 运用迭代的过程，可以找到最优的Z和Q值。 最优的安全库存可以由以下方程给出： SS*=Z*σL 总共的相关费用仍然由方程(2)得出。 3.泊松分布下的安全库存决策 如果是缓慢移动的物料项目，泊松分布因其 独有的数学特性将是最合适 的表达方法。阿卡 卜说如果需求可以大约用泊松分布来体现，那么 最优的安全库存可以通过找到最优的服务水平来 建立。求Z和ＴＲＣ的方程分别是： Z={2In[CuσL /(4лICST)1/2]}1/2 (8) TRC=Qh/2+hZσL+DS/Q+CuσLaD/Q 如果我们让 dTRC/dQ=0 ，我们可以得到 Q=[2D(S+ CuασL)/h]1/2 其中α= P（DL>r）同时 T=lead time. 4.提前期不确定 如果提前期是不确定 ，标准偏差必须包 括需求变量与提前期变量，也就是指σLTD。如 果需求变量是正态分布，如下所示： σLTD=[LTσt2+(Dt-σLT)2]1/2 第一个表达式是给出了平均的提前期的需求 变量，第二个表达式是给出了平均需求的提 前期变量。 同样的，如果需求是指数分布， σLTD=[LTσt2+(Dt-2LT)2]1/2 其中σLT=LT 如果需求是泊松分布， σLTD=[LT(σt2+Dt-)]1/2其中σLT=（LT）1/2 很明显，在变化的提前期的条件下安全库存 会高出很多，总的相关费用可以和等式（2） 求出，σL用σLTD表示。 5.失去销售机会（失销）的情况 以上的安全库存策略都是以延迟交货为 条件。在失销的情形之下，缺货成本要包括 之前的收入。订购点增加一单位的库存会会 带来单位库存的运费hQ/D。如果不增加这一 单位，缺货成本是Cu，同时下一个周期会有 多出一单位库存保有量（因为在周期开始时 全量的Q在手上面在延期交货的情况下周期开 始时的库存是少一单位的）因此 hQ/D=P(DL>r)( Cu +hQ/D) SOR= P（DL>r）=hQ/( Cu D+hQ) (10) 这是达到最优的条件。最优的服务水平必须 等于1- hQ/( Cu D+hQ)(10)。这表明对比于延期 交货的情况，此种情况下增加安全加存的数 量会实现更高的服务水平。 6.未知分布下的安全库存决策 在很多情况下，我们无从知道或者没有足够 的数据去建立专门的需示分布。我们的了解范围 也只局限于平均需求和标准偏差。因为很多概率 分布都有相同的均值和偏差，如果不知道确定的 分布很难去决定最优的库存策略。为了防止货带 来的损失，我们不得不采用著名的Chebychev inequality theory。当然，当我们拥有更多的可用 信息时，安全库存策略是可以改进的。此策略提 出：给定一定均值与标准差的概率分布，在均值 的K标准偏差之下，获取一上值的概率到少是1- 1/k2。 这是一种十分保守的方法。总的相关费用是： TRC= Qh/2+hZσL+DS/Q+CuσLaD/QZ2 其中 z=k, σLZ2=NL 我们得到最Z和Q的最优值 Z=（2CuD/hQ）1/3 Q=[2D(S+ CuσL/Z2)]1/2 我们设初始值为Q=2DS/h，然后通过迭代过程找 到最优的Z和Q。因此 SS*=Z*σL。 总结 在需示不确定的情形之下，必须建立安全库 存来防止在提前期内发生可能的缺货状况。为了 确定批量和最优的安全库存，在这个论文中强调 以下几点： 1 规定是单位服务水平还是订单服务水平 2 为了确定最优的库存策略，需要通过chi-square test 来选择一个理论的需示分布 3 服务水平与订货批量是相关关系的，因为Z和Q 必须共同确定。 4 在数据不足够的情形下，著名的chebychev inequity theory 可以用来建立安全库存水平直到 获取足够的信息。