数学（心得）之变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索

数学（心得）之变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索

数学论文之变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索 ‎ 近几年高考数学新题型中，有一类试题是通过变换问题的背景而得到的，背景的变换有三种形式：一是在传统的问题中，创设新背景；二是在传统的背景下，提出新问题；三是在新的背景中，提出新问题。变换背景而得到的试题新颖、别致，突出考察了学生的综合素质和创新能力，是高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化的产物。为了使考生适应这种新题型，本文将分类进行解析，以供大家在复习备考中参考.‎ 一、在传统的问题中，创设新背景 ‎§1.1静态问题，创设动态背景 ‎【例1】（′04·浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为（）‎ A．（－12，32）B．（－32，12）‎ C．（－12，－32）D．（－32，-12）‎ 解析：本题创设了“点沿单位圆运动”这一动态背景，去求圆上点的坐标。由Q点落在θ=23π的角终边上，得Q（cos23π，sin23π），即为Q（－12，32），故选A．‎ ‎【例2】（′03·北京春）如图1，在正三角形ABC中，图1D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△‎ ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）‎ A．90°B．60°C．45°D．0°‎ 解析：求“三棱锥侧面上两条异面直线所的角”是一个静态问题，这里通过“展平与翻折”这一互动过程，图2更有效地考察了学生的空间想象能力。比照翻折前后的图形(如图2)，容易得到∠ADF为GH与IJ所成的角，而∠ADF=60°，故选B.‎ ‎§1.2平面问题，创设空间背景 ‎【例3】（′04·天津）如图3，图3定点A和B都在平面α内，定点Pα，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是（）‎ A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 解析：本题是在空间背景中研究平面轨迹问题。由题易知BC⊥AC恒成立，得∠ACB始终为直角，则C点在以AB为直径的圆上，去掉A、B两点，故选B.‎ ‎【例4】（′04·北京）如图4，图4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）‎ A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线 解析：本题以正方体为背景考查圆锥曲线的定义。易知P到C1的距离等于P到直线BC的距离，故P点的轨迹为抛物线，选D.‎ ‎§1.3以社会热点问题为数学试题背景 ‎【例5】（′04·北京春·文)2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，图5于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图5所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km.‎ ‎（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；‎ ‎（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行约6×105km.问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？（结果精确到1km/s）‎ 解析：试题以“神州”五号载人飞船成功升空和返地这一重大事件为背景，考察椭圆的基本知识和分析问题与解决问题的能力，题型新颖，时代感强.‎ ‎(1)由题设条件可求得为x244169316+y244163691=1.(或者x266462+y26645.62=1也是正确的.)‎ ‎(2)易得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950(秒)，平均速度是60000074950≈‎ ‎8(千米/秒).所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s.‎ ‎【例6】(′02·新课程)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十五”期间(2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为()‎ A.115000亿元B.120000亿元 C.127000亿元D.135000亿元 解析：本题是以《政府工作报告》为背景的试题，主要考查将实际问题转化为数学问题的能力和近似计算(估算)能力．选C．‎ ‎§1.4以其它学科知识为数学试题背景 ‎【例7】(′00·京、皖春)从单词”equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()‎ A.120个B.480个C.720个D.840个 解析：本题以英语单词为试题背景，主要考查排列、组合的基本知识和方法。C36A44=480.∴选B.‎ ‎【例8】(′04·浙江)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有种.(用数字作答)‎ 解析：本题以质点运动为试题背景，主要考查排列组合知识和转化思想。记向左跳一次为－1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在(3，0)，所以只须四个“+1”，一个“－1”即可，从5次中选一次取“－1”，结果为C15=5，故填5.‎ ‎§1.5常规问题，创设非常规背景 ‎【例9】(′03·新课程)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图6)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种(用数字作答).‎ 图6解析：本题主要考查排列的知识.但题中背景是非常规的，即圆环排列的问题。解决的基本思路是把圆环排列的问题转化为直线排列的问题.共有4(15+15)=120种方法.‎ ‎【例10】(′02·北京)如图7，图7在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.‎ ‎(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;‎ ‎(2)(理科做)证明:EF//面ABCD;‎ ‎(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·‎ h来计算，已知它的体积公式是V=h6(S上底面+4S中截面+S下底面)，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.(注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)‎ 图8解析：本题是一道研究线面位置关系和计算的立体几何问题，试题给出的却是一个非常规几何体，主要考察考生的空间想象能力和转化思想，试题立意新颖，有较高的区分度。所求二面角的大小为arctan2hb－d;V估＜V.‎ 二、在传统背景中，提出新问题 ‎§2.1在熟悉的图形中，提出新问题 ‎【例11】(′04·重庆)若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）‎ ‎     ABCD解析：三棱锥是最简单的几何体，也是考生最熟悉的背景，而提出的问题是全新的。如图9，在面ABC作射线BP，在底面BCD的射影为BE，图9并且使∠PBF=∠PBE，则PF=PE，也就是说，PB上任意一点到底面BCD的距离等于到棱AB的距离，注意∠ABP=∠PBE＜∠PBC，即BP应在∠ABC角平分线上侧，故选D.‎ ‎【例12】(′04上海·春)如图10，根据下列5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第n个图中有个点.‎ 图10解析：本题给出的五种图形简单明了，但提出的问题具有探索性。通过对图形的观察可以找到如下规律:第1个图有1个点即a1=1，第2个图从中心点出发有2个分支，每个分支1个点即a2=1+1×2=3，第3个图从中心点出发有3个分支，每个分支2个点即a3=1+2×3=7，第4个图从中心点出发有4个分支，每个分支3个点即a4=1+3×4=13，第5个图从中心点出发有5个分支，每个分支4个点即a5=1+4×5=21，则可以按此规律猜测出第n个图从中心点出发有n个分支，每个分支n－1个点，即an=1+(n－1)n=n2－n+1.‎ ‎§2.2在熟悉的题型中，提出新问题 ‎【例13】(′02·河南、江苏)如图11，四棱锥P－ABCD图11的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.‎ ‎(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；‎ ‎(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.‎ 解析：本题以《立体几何》课本复习参考题“棱锥的底面是正方形，有相邻两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成45°角，最长的侧棱长为15cm，求这个棱锥的高”为背景变形拓广而设计的，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，颇具创意.‎ ‎(1)V锥=133a·a2=33a3.‎ ‎(2)略.‎ ‎【例14】(′04·‎ 广东)如图12，某中心接到其正东、图12正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s;相关各点均在同一平面上)‎ 解析：本题的背景是高中数学课本第八章第二节例3，这里提出的问题较之例3更具体，更实际，主要考察直线、双曲线等知识和实践能力.问题转化为双曲线x26802－y25×3402=1与直线y=－x交点问题，求得P(－6805，6805).故PO=68010m.‎ 答:巨响发生在接报中心的西偏北45°，距中心68010m处.‎ ‎§2.3在熟悉的方法中，提出新问题 ‎【例15】（′03·上海春）设f(x)=12x+2.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…0+f(5)+f(6)的值为.‎ 解析：本题是以“倒序相加求和法”为背景的试题.‎ 因为f(x)=12x+2，∴f(x)+f(1－x)=22所求和为S，则2S=［f(6)+f(－5)］+［f(5)+f(－4)］+…+［f(－5)+f(6)］=62.‎ ‎∴S=32.‎ ‎【例16】（′01·上海）已知两个圆：x2+y2=1①与x2+（y－3）2=1②，则由①式减去②‎ 式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为:.‎ 解析：设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2①，(x－c)2+(y－d)2=r2②，(a≠c或b≠d)，则由①－②，得两圆的对称轴方程为:(x－a)2－(x－c)2+(y－b)2－(y－d)2=0，即2(c－a)x+2(d－b)y+a2+b2－c2－d2=0.‎ ‎§2.4在熟悉的结论中，提出新问题 ‎【例17】（′04·广东）由图13有面积关系:S△PA′B′S△PAB=PA′·PB′PA·PB，则由图14有体积关系:VP－A′B′C′VP－ABC=.‎ 图13图14解析：类比推广前一结论可得VP－A′B′C′VP－ABC=PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.‎ ‎【例18】(′02·上海)规定Cmx=x(x－1)…(x－m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C1x=1，这是组合数Cmn(m，n是正整数，且m≤n)的一种推广.‎ ‎(1)求C5－15的值;‎ ‎(2)组合数的两个性质:‎ ‎①Cmn=Cn－mn;②Cmn+Cm－1n=Cmn+1.‎ 是否都能推广到Cmn(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由;(3)已知组合数Cmn是正整数，证明:当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z.‎ 解析：本题是以组合数公式为背景，提出的新问题.‎ ‎(1)C5－15=(－15)(－16)…(－19)5!=－C519=－11628.‎ ‎(2)性质①不能推广.例如当x=2时，C12有定义，但C2－12无意义;性质②能推广，它的推广形式是Cmx+Cm－1x=Cmx+1，x∈R，m是正整数，事实上，当m=1时，有C1x+C0x=x+1=C1x+1；当m≥2时，Cmx+Cm－1x=x(x－1)…(x－m+1)m!+x(x－1)…(x－m+2)(m－1)!=x(x－1)…(x－m+2)(m－1)!(x－m+1m+1)=x(x－1)…(x－m+2)(x+1)m!=Cmx+1.‎ ‎(3)当x≥m时，组合数Cmx∈Z，当0≤x＜m时，Cmx=0∈Z.当x＜0时，∵－x+m－1＞0，∴Cmx=x(x－1)…(x－m+1)m!=(－1)m(－x+m－1)…(－x+1)(－x)m!=(－1)mCm－x+m－1∈Z.‎ 三、在新的背景中，提出新问题 ‎§3.1在高数背景中，提出新问题 ‎【例19】(′04·北京春)下表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.‎ ‎47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………(1)写出a45的值;‎ ‎(2)写出aij的计算公式;‎ ‎(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.‎ 解析：本题是以高等代数中的矩阵知识为背景而设计的考题，既考察了等差数列、充要条件等基本知识，又考查了逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.‎ ‎(1)a45=49.‎ ‎(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列:a1j=4+3(j－1);第二行是首项为7，公差为5的等差数列:a2j=7+5(j－1);……第i行是首项为4+3(i－1)，公差为2i+1的等差数列，因此，aij=4+3(i－1)+(2i+1)(j－1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j.‎ ‎【例20】(′01·北京)定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x1、x2∈D，都有f(x1+x22)≥12［f(x1)+f(x2)］，则称f(x)是D上的凸函数.‎ 已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R，且a≠0).(1)求证:当a＜0时，函数f(x)在R上是凸函数;(2)如果x∈［0，1］时，|f(x)|≤1，试求a取值范围.‎ ‎       解析：本题是以高等数学中的凸函数为背景的试题.‎ ‎(1)紧扣凸函数定义，问题转化为12a(x1－x2)2≤0是否成立.当a＜0时，此不等式成立故组成函数f(x)在R上是凸函数.‎ ‎(2)－2≤a＜0.‎ ‎§3.2在名题背景中，提出新问题 ‎【例21】(′03·‎ 北京)如图15，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(b＞r＞0).‎ 图15(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率;‎ ‎(2)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2＞0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4＞0).求证:k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4;‎ ‎(3)对于(2)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证:OP=OQ.(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)‎ 解析：本题是以“蝴蝶定理”为背景的试题.‎ ‎(1)如图16,椭圆方程为x2a2+(y－r)2b2=1.焦点坐标为F1(-a2－b2，r)，F2(a2－b2，r)，离心率e=a2－b2a.‎ 图16(2)略.(3)略.‎ ‎【例22】(′03·全国)设{aN}是集合{2t+2s|，0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，图17即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{aN}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图17的三角形数表:‎ ‎①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;②求a100.‎ 解析：本题可以看成是以“杨辉三角形”的形式为背景而设计的试题，既考察集合、数列等基本知识，又考察考生的探究能力.‎ ‎①第四行：17182024‎ 第五行：3334364048‎ ‎②a100=214+28=16640.‎ ‎§3.3在新定理的背景中，研究新问题 ‎【例23】(′04·广东)设函数f(x)=x－ln(x+m)，其中常数m为整数.‎ ‎(1)当m为何值时，f(x)≥0;‎ ‎(2)定理:若函数g(x)在［a，b］上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a，b)，使g(x0)=0.‎ 试用上述定理证明:当整数m＞1时，方程f(x)=0在［e－m－m，e2m－m］内有两个实根.‎ 解析：(1)f(x)=x－ln(x+m)，x∈(－m，+∞)连续，且f′(x)=1－1x+m.令f′(x)=0，得x=1－m.根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，故当整数m≤1时，f(x)≥1－m≥0.‎ ‎(2)证明:由(1)可知，当整数m＞1时，f(1－m)=1－m＜0.函数f(x)=x－ln(x+m)在［e－m－m，1－m］上为连续减函数.f(e－m－m)=e－m＞0.f(e－m－m)与f(1－m)异号，由所给定理知，存在惟一的x1∈(e－m－m，1－m)，使f(x1)=0.同理f(1－m)与f(e2m－m)异号，存在惟一的x2∈(1－m，e2m－m)，使f(x2)=0.从而命题得证.‎ ‎【例24】（′01·上海春）如图18，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.‎ 图18(1)求证:A1C⊥平面AEF;‎ ‎(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.‎ 试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.(用反三角函数值表示)‎ 解析：(1)略.‎ ‎(2)如图19，过A作BD的垂图19线交CD于G.因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD.根据定理只需求AG与A1C所成的角为α，不难求出α=arccos12225.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos12225.‎ ‎§3.4在高科技背景中，提出新问题 ‎【例25】(′00·上海)根据指令(r，θ)(r≥0，－180°＜θ＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：图20先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.‎ ‎(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x.轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4，4);‎ ‎(2)机器人在完成该指令后，发现在点(17，0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽视机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)‎ 解析：(1)r=42，θ=45°，图21得指令为(42，45°).‎ ‎(2)设机器人最快在点P(x，0)处截住小球，则依题意17－x=2(x－4)2+(0－4)2，即3x2+2x－161=0，得x=－233或x=7.‎ ‎∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴x=7，故机器人最快可在点P(7，0)处截住小球，所给的指令为(5，－98.13°).‎ ‎【例26】(′02·北京)在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题:用计算机求n个不同的数v1，v2，….vn的和∑ni=1vi=v1+v2+v3+…+vn.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存在一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示:‎ 机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v1+v22v21v2+v1机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v12v2机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v2(1)当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表.‎ 机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v23v34v4机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v12v23v34v4机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v23v34v4(2)当n=128时，要使所有机器都得到∑ni=1vi，至少需要多少个单位时间可完成计算？(结论不要求证明)‎ 解析：(1)当n=4时，只有2个单位时间即可完成计算.方法之一如下:机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v1+v22v21v2+v13v34v3+v44v43v1+v3机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v13v1+v2+v3+v42v24v2+v1+v4+v33v31v3+v1+v4+v24v42v1+v3+v2+v4机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v23v34v4(2)当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算．在近几年高考新题型中，“变换背景出新题”是重要特征之一。本文通过对这一特征的归类分析，以期使大家对这类新题型的特点有一个全面的了解和掌握。为了使学生能够适应这些新题型，我们在平常的教学中就必须加强相关题型的变式训练，使学生认识到任何一道新题型都是由传统题型变换背景而得到的，这些新题型的解题方法都源于对基础知识和基本技能的灵活运用。通过适应性训练，使学生能够以静制动，以不变应万变，不断创新解题思路，积累解题经验，灵活应对各种高考新题型。     ‎