2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

第2课时　对数函数的性质与图像的应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.进一步理解对数函数的图像和性质．‎ ‎2．能运用对数函数的图像和性质解决相关问题．‎ 通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，提升数学抽象及数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 y＝loga f(x)型函数性质的研究 ‎ (1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即为函数的定义域．‎ ‎(2)值域：在函数y＝loga f(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．‎ ‎(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)．‎ ‎(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．‎ ‎(5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．‎ 知识点 loga f(x)＜logag(x)型不等式的解法 ‎ (1)讨论a与1的关系，确定单调性．‎ ‎(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 对数函数的图像 - 6 -‎ ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1‎ 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为(　A　)‎ A．、、、　 B．、、、 C．、、、 D．、、、 ‎[解析]　解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C1、C2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，C1、C2对应的a分别为、.然后考虑C3、C4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，C3、C4对应的a分别为、.综合以上分析，可得C1、C2、C3、C4的a值依次为、、、.故选A．‎ 解法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1、C2、C3、C4对应的a值分别为、、、，故选A．‎ 规律方法：函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响．‎ 观察图像，注意变化规律：‎ ‎(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．‎ ‎(2)左右比较：比较图像与y - 6 -‎ ‎＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1． (1)如图，若C1、C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则(　B　)‎ A．0＜a＜b＜1　 B．0＜b＜a＜1‎ C．a＞b＞1 D．b＞a＞1‎ ‎[解析]　如图，作直线y＝1，则直线与C1、C2的交点的横坐标分别为a、b，易知0＜b＜a＜1．‎ ‎(2)函数f(x)＝loga(3x－2)＋2的图像恒过点__(1,2)__．‎ ‎[解析]　根据题意，令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝0＋2＝2，‎ 所以函数f(x)的图像过定点(1,2)．‎ 题型 形如y＝logaf(x)的函数的单调性 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　求函数y＝log (1－x2)的单调区间．‎ ‎[分析]　求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．‎ ‎[解析]　要使函数有意义，应满足1－x2＞0，‎ ‎∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．‎ 令u＝1－x2，对称轴为x＝0．‎ ‎∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝logu为减函数．‎ ‎∴函数y＝log (1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．‎ 规律方法：1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．‎ - 6 -‎ ‎2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)‎ A．(－∞，－2) B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ ‎[解析]　由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4．‎ 令g(x)＝x2－2x－8，函数g(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．‎ ‎(2)若函数f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　C　)‎ A．(－∞，4] B． C． D． ‎[解析]　设g(x)＝x2－ax＋1．‎ 要使f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上为单调递增，‎ 则由复合函数的单调性得 即，解得a≤，‎ 即实数a的取值范围是(－∞，]．‎ 题型 形如y＝loga f(x)的函数的奇偶性 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　判断函数y＝lg (－x)的奇偶性．‎ ‎[分析]　判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．‎ ‎[解析]　∵＞x，∴－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．‎ f(－x)＝lg (＋x)‎ ‎＝lg＝lg ‎＝－lg (－x)＝－f(x)，‎ 即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg (－x)是奇函数．‎ 规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．‎ - 6 -‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．已知f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性．‎ ‎[解析]　(1)由题意得＞0，‎ ‎∴(x＋1)(x－1)＜0，∴－1＜x＜1．‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．‎ 又f(－x)＝loga＝loga－1‎ ‎＝－loga＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ 题型 形如y＝loga f(x)的函数的值域 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　求函数f(x)＝log (x2－6x＋17)的值域．‎ ‎[分析]　利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．‎ ‎[解析]　∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为R，‎ 令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，‎ 又0＜＜1，∴y＝logt在[8，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴f(x)≤log8＝－3，‎ 故所求函数的值域是(－∞，－3]．‎ 规律方法：对于形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)求logaf(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ - 6 -‎ ‎4．求函数y＝log的值域．‎ ‎[解析]　∵3－2x－x2＞0，‎ ‎∴－3＜x＜1，‎ ‎∴函数的定义域为(－3,1)．‎ 令t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4，‎ ‎∵－3＜x＜1，∴0＜t≤4．‎ 又0＜＜1，∴y≥log＝－1，‎ ‎∴所求函数的值域为[－1，＋∞)．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(0,2) D．[2，＋∞)‎ ‎[错解]　选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．‎ 在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．‎ ‎[辨析]　本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．‎ ‎[正解]　设u＝2－ax，由y＝logau，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．‎ 要使函数y＝loga(2－ax)是减函数，则y＝logau必须是增函数，‎ 所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝loga(2－2x)在x＝1时没有意义，‎ 但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．‎ - 6 -‎