2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.3　指数函数与对数函数的关系 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1．理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简单函数的反函数．‎ ‎2．理解互为反函数图像间的关系．‎ ‎3．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0且a≠1)．‎ ‎1．通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养．‎ ‎2．通过求反函数，提升数学运算素养．‎ ‎3．通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 反函数的概念 ‎ (1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．‎ ‎(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．‎ 思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？‎ 提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．‎ 知识点 求反函数的两种方法 ‎ (1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．‎ ‎(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．‎ 知识点 互为反函数的图像与性质 ‎ (1)图像 y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．‎ ‎(2)性质 ‎①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．‎ ‎②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x - 6 -‎ ‎)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f－1(x)也是减函数．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 判断函数是否有反函数 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)下列函数中，存在反函数的是(　D　)‎ A．‎ x x＞0‎ x＝0‎ x＜0‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ B．‎ x x是有理数 x是无理数 g(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ C．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ h(x)‎ ‎－1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎2‎ D．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ l(x)‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(2)判断下列函数是否有反函数．‎ ‎①f(x)＝；‎ ‎②g(x)＝x2－2x．‎ ‎[分析]　根据反函数的定义进行判断．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；‎ 因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，‎ 因此g(x)的反函数不存在；‎ 因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，‎ 因此h(x)的反函数不存在；‎ - 6 -‎ 因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．‎ ‎(2)①令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．‎ ‎②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，‎ 即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．‎ 规律方法：判定函数存在反函数的方法 ‎(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．‎ ‎(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．‎ ‎(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．判断下列函数是否存在反函数．‎ ‎(1)y＝－2；‎ ‎(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．‎ ‎[解析]　(1)y＝－2是由函数y＝向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．‎ ‎(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．‎ 题型 求反函数 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　求下列函数的反函数．‎ ‎(1)y＝2x＋1(x∈R)；‎ ‎(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；‎ ‎(3)y＝(x∈R且x≠－1)．‎ ‎[分析]　按照求反函数的步骤求反函数．‎ ‎[解析]　(1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y＞0．‎ 方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．‎ - 6 -‎ 方法二：对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2 x(x＞0)．‎ ‎(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x＞1，‎ 知y∈R，‎ ‎∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R)．‎ ‎(3)y＝＝1＋(x∈R且x≠－1)，‎ ‎∴y∈R且y≠1．‎ 对y＝，x，y互换得x＝，‎ ‎∴反函数为y＝(x∈R且x≠1)．‎ 规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域．‎ ‎2．两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换．‎ ‎3．最后要注明反函数的定义域．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．求下列函数的反函数．‎ ‎(1)y＝(1≤x≤2)；‎ ‎(2)y＝x2－1(x≤0)；‎ ‎(3)y＝log2(x＞0)．‎ ‎[解析]　(1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0,1]．‎ ‎∵y＝，∴y2＝2x－x2，－(x－1)2＝y2－1，(x－1)2＝1－y2，‎ ‎∵x∈[1,2]，∴x－1＝，‎ ‎∴反函数为y＝1＋(0≤x≤1)．‎ ‎(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1．‎ ‎∴x＝－，x，y互换得反函数为 y＝－(x≥－1)．‎ ‎(3)∵x＞0，∴1＋＞1，y＝log2＞0，∴1＋＝2y，即x＝，x，y互换得反函数为y＝(x＞0)．‎ 题型 互为反函数的图像间的关系 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　已知函数y＝ax＋b(a＞0，a - 6 -‎ ‎≠1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a、b的值．‎ ‎[解析]　∵函数y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的反函数的图像过点(2,0)，‎ ‎∴函数y＝ax＋b的图像过点(0,2)，‎ ‎∴2＝a0＋b，∴b＝1．‎ ‎∴y＝ax＋1．‎ 又∵函数y＝ax＋1(a＞0，a≠1)的图像过点(1,4)，‎ ‎∴4＝a＋1，∴a＝3．‎ ‎∴a＝3，b＝1．‎ 规律方法：1.定义域、值域关系的应用 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数．‎ ‎2．图像的应用 原函数的图像与反函数的图像关于直线y＝x对称，点P(x，y)关于y＝x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)设函数f(x)＝2lg (2x－1)，则f－1(0)的值为(　B　)‎ A．0 B．1‎ C．10 D．不存在 ‎(2)设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于(　C　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎[解析]　(1)令f(x)＝0得：‎ ‎2lg (2x－1)＝0⇒x＝1，所以f－1(0)＝1．‎ ‎(2)函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)．‎ 则 所以a＝3或a＝－2(舍)，b＝1，所以a＋b＝4．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　函数y＝log2x(x≥1)的反函数的定义域为__[0，＋∞)__．‎ - 6 -‎ ‎[错解]　R　∵函数y＝log2x的反函数为y＝2x，‎ ‎∴x∈R．‎ ‎[辨析]　误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域．‎ ‎[正解]　∵函数y＝log2x的反函数的定义域为原函数y＝log2x的值域．‎ 又∵x≥1，∴log2x≥0，‎ ‎∴反函数的定义域为[0，＋∞)．‎ - 6 -‎