数学（心得）之浅议习题教学对学生思维能力的培养

数学（心得）之浅议习题教学对学生思维能力的培养

数学论文之浅议习题教学对学生思维能力的培养 ‎ ‎ 　　数学是思维的体操，思维能力作为学生能力培养的核心，是高中数学教学活动的灵魂。波利亚在《数学的发现》中论及：“一个数学问题的解决，关键在于构思，包括对其信息材料的分离、组合和加工等”，这里的“构思”即指解题者的思维活动过程。可以说问题解决作为数学教学的中心，寓于整个思维过程之中，反之又可促进思维能力的提高，而作为数学教学重要组成部分的习题教学，则无疑是培养学生思维能力的主渠道。‎ ‎　　一。一题多解，培养学生的发散思维 ‎　　发散思维的特点是求异、求奇、创新。在习题教学中，对某一数学问题，教师若能积极引导学生从不同角度入手，以不同的思路和途径去寻求解答，不拘一格，打破常规，广开思路，寻求变异，则不仅能使学生掌握解题方法和技能，而且可养成观察、分析、探索、猜想等良好的学习习惯，对培养和锻炼学生的思维能力是很有益的。‎ ‎　　例1.已知正数x、y满足x+2y=1，求1/x+1/y的最小值。‎ ‎　　分析：引导学生充分展开联想，积极探索，关键是运用均值不等式。‎ ‎　　解法1（“1”的代换）：1/x+1/y=（1/x+1/y）（x+2y）=3+（2y/x+x/y） ≧3+2√2.‎ ‎　　仅当（2y/x=x/y，x+2Y=1）即（x=√2-1,y=1-√2/2）时取等号；‎ ‎　　解法2  （三角换元）：‎ ‎　　令x2=sin2a,2y=cos2a,（0　　解法３（代数换元）令x=m/m+n,2y=n/m+n,（m、n∈R+），‎ ‎　　则1/x+1/y=3+（n/m+2m/n）≥3+2√2，仅当n/m=2m/n时取等号；‎ ‎　　解法４（整体代换）：令1/x+1/y=s，将x=1-2y代入整理得2my2-（1+m）y+1=0，y∈R，⊿≥0，且有m>0，解得m≥3+2√2，仅当⊿=0时取得等号。‎ ‎　　上述各种思路其着眼点和解题途径各异，但结果都能简捷获解，可谓异曲同工，殊途同归。‎ ‎　　再例如在证明三角恒等式：tan2θ-sin2θ=tan2θ。sin2θ时，也有从左到右、从右到左、左右同一、求差比较、求商比较、分析逆证等多种证法（具体证明略）。‎ ‎　　二。多题一解，培养学生的集中思维 ‎　　集中思维的特点是求同、化归。心理学研究表明，人的思维进程具有一定的方向性和集中性。据此，教师在习题教学中可以有意识、有针对性地寻找一些题型和解法相同或相近的题组，让学生在练习过程中总结方法和规律，学会归纳与综合，则不仅能收到举一反三、触类旁通之效，而且培养了学生的集中思维。‎ ‎　　例如，在学习了高中数学《试验修订本》第一册（下）4.6“两角和与差的正弦、余弦、正切”后，为巩固知识，可选用以下题组：‎ ‎　　（1）设 ‎ 为锐角，且（1+tanA）（1+tanB）=2，求证：A+B=450；‎ ‎　　（2）设00　　（3）在ΔABC中，tanA、tanB是方程6x2-5x+1=0两根，则A+B=（      ）‎ ‎　　（A）∏/4        （B）3∏/4       （C）5∏/4       （D）7∏/4‎ ‎　　（4）设α、β均为锐角，且sina=√5/5,cosβ=√10/10，则角α-β等于　　　　　　；‎ ‎　　（5）已知α∈（∏，3∏/2），β∈（0, ∏/2），且tanα=1/7,sinβ=√10/10，求α+2β的值。‎ ‎　　上述各习题看似形式各异，差别甚大，但经分析比较，则不难发现其解法几近相同，学生练习后可自行总结出规律：先求得所给角的某三角函数值；再由该角所在象限及范围确定其大小。象这样的题组，使学生能得以“借题发挥”，同时学会类比和归纳，这也是重要的数学思想方法。‎ ‎　　三。一题多变，培养学生思维的变通性 ‎　　“变形”及“变换”是重要的数学技能，在习题教学中，教师有意识地引导学生对数学概念、定理、公式、题目等从“变换”的角度去联想，去拓广，则不仅可达到以点串线，牵动全面知识的目的，而且能将知识深化，提高分析和解决问题的能力。比如，通过改变习题的题设与结论进行变式训练，可培养学生思维的变通性，常见的变式训练有以下两种方式：①条件不变，合理地提出一系列密切相关的问题（即条件不变，结论改变）；②条件改变，顺理成章推出其它结论（即条件和结论都改变）。‎ ‎　　例如在学到高中数学第一册（下）  “平面向量数量积的坐标表示”时，有这样一道习题：“已知ａ=（1, √3），ｂ=（√3+1, √3-1），求ａ·ｂ”，结合本节知识内容及教学要求，可进行如下变式训练：‎ ‎　　１。当题设条件不变时，求：①∣a∣，∣b∣，∣a-b∣，∣a+b∣；‎ ‎　　②a与b的夹角 　；③以∣a∣、∣b∣为邻边的平行四边形的面积。‎ ‎　　２。对于以∣a∣、∣b∣为邻边的平行四边形，可据此进一步让学生思考：当∣a∣＝∣b∣，ａ ｂ＝０，∣a∣＝∣b∣且ａ ｂ＝０时，该平行四边形的形状分别是什么？‎ ‎　　３。针对题目中的向量ａ，还可设计成下列题组：‎ ‎　　①求与ａ共线的单位向量的坐标；‎ ‎　　②求与ａ垂直的单位向量的坐标；‎ ‎　　③求与ａ同向且模等于３的向量的坐标；‎ ‎　　④将向量ａ绕起点按逆时针方向旋转 ，求所得向量的坐标。‎ ‎　　该题上述变式训练层层递进，其结论随题设条件的变化而相应改变，渗透了运动变化及普遍联系的辨证思想，激发了学生探究数学问题的兴趣，使学生在练习过程中既掌握了知识，又发展了能力，可谓一举两得。‎ ‎　　四。广开思路，培养学生的创造性思维 ‎　　严密、抽象、灵活是数学的特点，它注重思想方法，重视发展能力。为此，在习题教学过程中，教师需加强对学生的解题指导，充分鼓励学生去联想与探索，广开思路。通过探索解题思路，使学生的创造性思维的火花得以激发，从而提高他们的解题技能。‎ ‎　　１。难题浅解：数学中的“难题”，不外是一些综合性强、比较抽象的题目。对这类习题，教师若能引导学生逐步剖析，善于转化，则可成为培养学生创造性思维的好材料。‎ ‎　　例２。已知x的方程x3-ax2+a2-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是——（    ）‎ ‎　　（A）a>3/4（B）a≧3/4（C）a　　分析：对于该三次方程，由于不能直接因式分解，学生往往会无从下手，恰似“山穷水尽疑无路”：教师若能引导学生认真剖析，将之转化为a的一元二次方程解之，则有如“柳暗花明又一村”。‎ ‎　　解：原方程化为a2-（x2+2x）a+（x3-1）=0，即（a-x+1）（a-x2-x-1）=0，由题设条件知，其唯一实根为x=a+1，故方程x2+a-a+1=0无实根，即⊿　　２。妙题巧解：在习题教学中，教师若能引导学生进行解题技能方面的探索，则可激发学生的学习兴趣，使创造性思维得以锻炼，在掌握解题技能的同时，充分领略到其蕴含的简单美和奇异美。‎ ‎　　例3.已知ω2002=1（ω∈C），求1+ω+ω2+ω3+……+ω2002的值。‎ ‎　　解：当ω=1时，原式=2003；‎ ‎　　若ω≠1，则由复数的几何意义知，1、ω、 ω2、 ……、ω2002表示复平面上均匀分布在单位圆上的2003个点，亦即表示2003个模相等且均匀分布的向量，根据向量的加法法则，其总和为零向量，即原式=0。‎ ‎　　像这样借助于数形结合，既形象又直观，可谓妙趣横生。‎ ‎　　３。大题小解：“大题”即通常所讲的综合题，解这类题首先要求学生知识全面，教师要引导学生细心分析，采用化大为小，各个击破的策略，将整个题目分解成若干个小题来解决。这样，不仅能培养学生的分析综合能力，而且能锻炼他们坚韧不拔，孜孜求索的思维品质。‎ ‎　　例４：已知直线L：x-ny=0（n∈N+），圆M：（x+1）2+（y+1）2=1，抛物线P：y=（x-1）2，又L与M交于A、B两点，L与P交于C、D两点，试求 。‎ ‎　　分析：该题综合性较强，可引导学生先画出图形，并将之分解成以下三个小题：①先求∣AB∣2；②再求∣CD∣2；③最后求 。这样，其思路就豁然开朗了，且每个小题均不难获解。‎ ‎　　综上所述，习题教学作为数学教学的有机组成部分，对培养学生的思维能力有着重要的作用。因此，在教学过程中，对习题应做到精选、精讲、精练，注重思想方法，重视创新意识的培养。使学生通过知识运用，能更好地掌握基本技能，并形成良好的思维品质，从而提高分析和解决问题的能力。‎ ‎　　参考文献：‎ ‎　　1.波利亚   数学的发现   内蒙古大学出版社    1992‎ ‎　　2.牟锡富   解题的八种思考方法   中学教研（数学）   1989‎ ‎　　3.李顺政   培养学生创造性思维的几种做法   中学数学教学参考    1994.10‎