数学（心得）之浅谈高中数学必修3第一章

数学（心得）之浅谈高中数学必修3第一章

数学论文之浅谈高中数学必修3第一章 ‎ 浅谈高中数学必修3第一章杨亦荐 [浙江省苍南县矾山高中 325807]    摘要：算法及程序进入高中数学拓宽了学生对数学解题的认识，同时培养了学生假借人工智能的数据处理能力解决繁复问题的意识；算法初步的教材安排凸现了算法的多样性与学生学习的自主性，增强了学生学习的兴趣和成就感，但教材中有可以避繁就简、更趋精细的地方，试议以供商榷。关键词：算法多样性 算法案例 算法机理自主学习 知识连贯性    第一章《算法初步》，内容设置由算法概念、写法到程序框图、算法语句，最后归结到三个算法案例。案例既综合了前面知识又提高了应用，是本章重点。本文结合教学实践着重于三个案例的议论。    一、辗转相除法与更相减损术    首先是学习者对辗转相除法与更相减损术的比较。更相减损术的理解得通过费功夫的文白转换，接着又在“可半者半之”的分类上出现麻烦，所以大多数的学生认为更相减损术不好用。这跟教材介绍中国古代数学思想的设想相左了。问题出在理解上。有学生认为：如求56与42的最大公约数，其值并非7“这个数（等数）”，而是7 2=14；显然求最大公约数得综合考虑两个步骤的情形，那么，翻译后的第二步中说的“这个数（等数）”，应该仅对第二步而言；必得分，又必得合。也有学生认为:不除以2，直接作差，结果就是14。不除以2而直接“减损”‎ ‎。为了验证这个想法的正确性，很多学生自己给出数字检验。大家的意见渐趋一致，那就是：在用更相减损术求两个正整数的最大公约数时直接作差是可以的。至此，似乎达到了教学预想。可是文中“副置分母、子之数”的分母、分子怎么解释？总给人有些累赘的感觉。据资料，在《九章算术》卷一方田的约分中可以了解到“副置分母、子之数”另有所指，针对的是分数约分的问题。课本应该是转用了其中的功能，编者或许本意是为了避开过多的不必要的解释，结果却而造成了理解的模糊和困难。回到学生形成的共识，较多的学生这时却快得无需提醒地同意，用算法程序执行，更相减损术一点也不会落后于辗转相除法。这又是个意外。不过，这个意外是喜悦的，毕竟计算机与人一样，喜欢加减运算远远胜过乘除运算。    人教社课程教材研究所网页上2004年版的电子课本内容与现用2007年版课本也有些出入。翻译的第二步，现在的课本是：“以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.”原来的课本里没有“或这个数与约简的数的乘积”这几个字。看来，教材经过了调整。更相减损术原非求最大公约数专用，这样也就不奇怪了。旧知识里衍生新知识，或者，知识迁移，往往带来众多新的问题和新的可能。看来新课标教材也会有这种情况。    看了几篇这方面相关的论文，大都指出知识的原来背景。   ‎ ‎ 这样一来，知识是清楚了，但岔开了问题也增加了内容。我们总不能在课堂那紧凑的设置里再费时间插进去说约分的事。大概这也不是教材的编者所愿意看到的。    这种略带粗糙的编制比起精细无比的老教材来有着更多的可能和更大的开放，虽然粗糙是不好的，有待改进。在新背景下看这个内容，倒是不带先入之见的学生更能发现问题并生发出创新见解。这也正是新课标教材的魅力所在。知识重组，世界常新。    反思这节课，学生的自主学习不但是教材促成的，同时也反过来促成了学生对以教材为主要学习内容的知识的自主建构。    二、秦九韶算法    计算时每次都可以利用上一次计算的结果，那么运算的效率就能极大地提高。这就是秦九韶算法历久弥新的先进之处。算法案例2的教材设置是：    先对多项式 当x=5时的求值采取自然做法，即把5代人计算各项的值再相加，一共做了 =10次乘法运算、5次加法运算；接着提出第二种做法，先计算 的值，然后依次计算 ， ，的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算。    教材比较了这两种做法后，提问有没有更有效的算法，紧接着介绍秦九韶算法的一般形式和一个具体例子，后面是程序框图和程序。    学生在预习这个过程中有两处困难：一是，思考有没有更有效的算法被紧接着的一般形式阻断；二是，程序框图中的循环结构和程序中的循环体的表述不好掌握。    寻找更有效的算法可以在 的形式上考虑，笔者认为课堂教学出现 形式很必要。以 代替学生容易想到，并能直观感觉到确实“更有效”‎ ‎，同时在算法语句表达上， 的初始值为1以及，学生都想得出来。那么，后面程序框图中的循环结构和程序中的循环体的表述就会变得容易掌握了。学生确认 体现的算法比第二种算法更有效。    寻找到更有效的算法（即秦九韶算法）后马上探究算法的简单形式的程序框图和程序。算法的程序框图：（略）算法程序：    INPUT “x=”;x    v=1    i=4    WHILE i>=0    v=v*x+1    i=i-1    WEND    PRINT V    END    接着在介绍了秦九韶算法的一般形式后，修改上面的程序框图和程序就容易得多；并且从新课标的大方向来看，真正重要的是算法本身而不是后面困难的语句（如循环体中：PRINT “i=”;i 和 INPUT “ai=”;a）的表述。        三、进位制    案例3的安排可以说是把算法的多样性、灵活性、技巧性，很好地在本单元快结束时体现出来。不说进位制本身在计算机信息技术中的基础意义，单就其对学生的吸引力来说，已经能够说明进位制编入教材的积极用意。    这个内容教学可从游戏式的提问开始：如何将一个多位数从最右边起，逐个把各个数位上的数摘出来？   ‎ ‎ 这里边用到的是除10取余法和除10取商的办法，这种办法既简单又出人意料。实践过程，不少学生说真没想到，取余、取商就把问题解决掉了。意外中不无好奇与兴趣。实际上，取余、取商的方法一直贯穿着k进制化十进制和十进制化k进制。k进制化十进制程序中：a=a/10t=a MOD 10与后边十进制化k进制程序中：q=a/kr=a MOD k出于同一机理。都是要把一个多位数（不管最终是十进制还是k进制）从最右边开始逐个“摘”出各个数位上的数。但学生受题型和解题过程的影响，很少注意到两者之间的联系，并把这两个程序的结构复杂化，孤立开来。认识到同一机理后，学生不但较易理解课本的这两个程序，并对两个程序的其它不同编写形式都有较好的解读能力。教材在进位制内容的一开头就出现了形如的表述，很容易让学习者望而却步，例题的编排也掩盖了同一机理的线索。    结语：算法初步的教材经过几年的实验，闪光点被愈来愈多的人认同，隐含的可能性也正被不断的发现。笔者所任教学班的学生，数学基础薄弱、学习兴趣不高，但在算法初步的学习中表现出了较高的热情。尤其在算法多样性、程序可变性上，让他们尝到了个性的自在感。由此可见教材编者所提倡的数学的亲和力、普遍联系的预设，既是理想的又是现实的。    参考文献：    1. 教育部，《普通高中数学课程标准（实验）》，人民教育出版社，2003    2.人民教育出版社、课程教材研究所：《普通高中课程标准实验教科书（A版）数学3》，人教版2004年5月第1版；2007年2月第3版    3. 人民教育出版社、课程教材研究所：《数学3教师教学用书》，人教版2007年4月第3版    4.白尚怒：《注释》，科学出版社1988年4月版    5.教育部基础教育司，《走进新课程》，北京师范大学出版社，2002年4月第1版    ‎