2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

第2课时　指数函数的性质与图像的应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．‎ ‎2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．‎ ‎3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．‎ ‎1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养．‎ ‎2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 底数与指数函数图像的关系 ‎(1)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．‎ ‎(2)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．‎ 如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．‎ 知识点 解指数型不等式 ‎(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；‎ ‎(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；‎ ‎(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝bx(b＞0且b≠1)的图像求解．‎ 知识点 - 7 -‎ 与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：‎ ‎(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．‎ ‎(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．‎ 思考：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？‎ ‎(2)如何判断形如y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？‎ 提示：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．‎ ‎(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；‎ ‎②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 指数函数性质的简单应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)1.72.5,1.73；‎ ‎(2)0.8－0.1,0.8－0.2；‎ ‎(3)1.70.3,0.93.1；‎ ‎(4)，，．‎ ‎[分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．‎ ‎[解析]　(1)考查指数函数y＝1.7x，‎ 由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．‎ ‎∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．‎ ‎(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，‎ 所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．‎ ‎∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．‎ - 7 -‎ ‎(3)由指数函数的性质得 ‎1．70.3＞1.70＝1，　　　‎ ‎0.93.1＜0.90＝1，‎ ‎∴1.70.3＞0.93.1．‎ ‎(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．‎ ‎∵＝2＝(23) ＝8，＝3＝(32) ＝9而8＜9.∴8＜9，即＜，‎ 又＝2＝(25) ＝32，‎ ＝5＝(52) ，而25＜32，∴＜．‎ 总之，＜＜．‎ 规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：‎ ‎1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．‎ ‎2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．比较下列各题中两个值的大小．‎ ‎(1)0.3x与0.3x＋1；‎ ‎(2)－2与2．‎ ‎[解析]　(1)∵y＝0.3x为减函数，‎ 又x＜x＋1，∴0.3x＞0.3x＋1．‎ ‎(2)化同底为：()－2＝22，与2，‎ ‎∵函数y＝2x为增函数，2＞．‎ ‎∴22＞2，即()－2＞2．‎ 题型 形如y＝af(x)类型函数的单调性与值域 - 7 -‎ ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　求函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间、值域．‎ ‎[分析]　利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 ‎[解析]　令t＝－x2＋x＋2，‎ 则y＝t，‎ 因为t＝－2＋，可得t的减区间为，因为函数y＝t在R上是减函数，‎ 所以函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间；‎ 又t≤，所以t≥，‎ 所以函数y＝－x2＋x＋2值域为．‎ 规律方法：复合函数的单调性、值域 ‎(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．‎ ‎(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．‎ ‎(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．函数f(x)＝x2－2x的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是____．‎ ‎[解析]　令t ＝x2－2x＝(x－1)2－1，则f(x)＝t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)，所以函数f(x)＝x2－2x的减区间是[1，＋∞)；因为t≥－1，‎ 所以f(x)≤，‎ 所以函数f(x)＝x2－2x的值域为．‎ 题型 指数函数性质的综合应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 7 -‎ ‎　典例3　(1)已知函数f(x)＝对任意x1≠x2 ，都有＞0成立，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．(4,8) B．[4,8)‎ C．(1，＋∞) D．(1, 8)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝是R上的奇函数．‎ ‎①判断并证明f(x)的单调性；‎ ‎②若对任意实数，不等式f[f(x)]＋f(3－m)＞0恒成立，求m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)因为分段函数为增函数，所以满足 解得4≤a＜8．‎ ‎(2)①因为f(x)为R 上的奇函数，‎ 所以f(0)＝0，即＝0，由此得a＝1，‎ 所以f(x)＝＝1－，所以f(x)为R上的增函数．‎ 证明：设x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝1－－＝－，‎ 因为x1＜x2，所以－＜0，‎ 所以f(x1)＜f(x2)，‎ 所以f(x)为R上的增函数．‎ ‎②因为f(x)为R上的奇函数．‎ 所以原不等式可化为f[f(x)]＞－f(3－m)，‎ 即f[f(x)]＞f(m－3)，‎ 又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)＞m－3，‎ 由此可得不等式m＜f(x)＋3＝4－ 对任意实数x恒成立，由2x＞0⇒2x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0⇒2＜4－＜4，所以m≤2．‎ 规律方法：1.关于分段函数y＝的单调性 ‎(1)增函数：f(x)，g(x)均为增函数，且f(x0)≤g(x0)．‎ ‎(2)减函数：f(x)，g(x)均为减函数，且f(x0)≥g(x0)．‎ ‎2．含参数恒成立问题的一种处理方法 - 7 -‎ 将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．‎ 特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)若将本例(1)中的函数改为f(x)＝其他条件不变，试求a的范围；‎ ‎(2)已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，总存在 x2∈[－2,2]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是__m≥－5__．‎ ‎[解析]　(1)因为函数f(x)满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，‎ 所以函数f(x)在定义域上是增函数，‎ 则满足 即得≤a＜2．‎ ‎(2)因为f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，‎ 所以f(0)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1∈(0,3]，‎ 则当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－3,3]，‎ 若对于∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，‎ 使得g(x2)≥f(x1)，‎ 则等价为g(x)max≥3，‎ 因为g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，‎ x∈[－2,2]，所以g(x)max＝g(－2)＝8＋m，‎ 则满足8＋m≥3解得m≥－5．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　求函数y＝x＋x＋1的值域．‎ ‎[错解]　令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋，所以t＝－时，ymin＝，‎ 所以函数的值域为．‎ ‎[辨析]　在换元时，令t＝x，所以x＞0，在误解中忽略了这一点．‎ ‎[正解]　令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋．‎ - 7 -‎ 因为t＞0，y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以y＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．‎ - 7 -‎