数学（心得）之中学数学教育中数学观念的培养

数学（心得）之中学数学教育中数学观念的培养

数学论文之中学数学教育中数学观念的培养 ‎ 中学数学教育中数学观念的培养北师大实验中学  张继林    一、问题的提出    《中学数学教学大纲》明确指出，中学数学教育的目的是：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识和基本技能，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析问题和解决实际问题的能力。要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性，培养学生的科学态度和辩证唯物主义的观点。    普通教育的目的，在于养成学生许多各种不同的品质，可以按照一定条件把这些品质分为两个范畴：一般的和特殊的。属于一般的品质，它不仅是在某一学科的教学的过程中，而且是在学校全部的教学和教育过程中，乃至是在学生的全部生活过程中形成的。属于一般品质的有，辩证唯物主义世界观和思维，记忆力，注意力，言语的一般发展水平，道德理想，审美能力等等。    在这里我思考的问题是：有哪些特殊的品质对于学生个性的全面发展和社会成熟来说是必须的。中学的数学教育就是为了形成这些品质。    布鲁纳这样写道：“‎ 在评价数学课程的时候，通过数学课所传授的专业知识的重要程度，并不如它提供的智慧课，也不如学生对数学课所传授的知识的信任感。实际上两个目的密不可分，缺少一个，另一个就不能达到。这门具体课程，就象其他任何课程一样，它的真正内容就是人，作为生物的人的本性以及正在形成和将形成人类品质的那些因素”。    那些只能在数学教学过程中养成的特殊的品质有：建立现实的现象或过程的数学模型的能力，运用数学的方法分析现象的习惯和能力；掌握研究某些数学模型的工具等等。为了培养学生的这些特殊品质，就要求在数学教学过程中，使学生掌握数学知识和以这些知识为基础的技能技巧形成一个系统，以便使学生：    ①科学地、正确地了解数学反映自然、社会和生产中数量关系和空间形式的最简单的法则的特点，并对这些知识的历史、来源和发展有清楚的认识；    ②清楚地懂得数学中采用科学研究和证明的基本方法的实质；    ③能够运用掌握的数学知识解决一些实际问题。    教育的根本宗旨是培养人，确切地说，是为未来培养人。因此就不能仅教给学生知识。技能，更重要的是教会学生思维，培养他们的能力。而数学观念的培养，就能达到这一目的。所谓数学观念，也就是人们常说的数学头脑、数学教养。准确地说，是指用数学的思维方式去考虑问题，处理问题的自觉意识或思维习惯。比如；推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识等等。    为达到数学教学目的，需取决于下列因素：    ①教学内容、知识的序列如何安排，知识的深度和广度、技能技巧要求的程度。    ②教学中理论联系实际的程度，特别是抽象的数学概念的形成以及其它的数学知识发生和发展的过程的教学的情况。    ③在课程体系中数学和其它学科的关系。    ④‎ 教师运用的数学方法是否得当。    ⑤学生对待数学学习的态度和方法。    二、数学观念的具体内容及教育作用    数学观念与数学气质是不尽相同的。数学气质是指具有数学天才的人身上具有的独特的心理品质。它表现为力求把周围的现象数学化，总是处处注意现象的数学因素，注意空间和数量的关系、联结及各种函数的依存关系，总之是通过数学的眼光来看世界。它是数学能力强的人所具有的一种特性。而数学观念是任何一个学生经过学习训练以后都可形成的运用数学思维方式的习惯。具有数学气质的人一定有数学观念，反之则不然。    要理解数学观念的内容，先要知道所谓数学思维。奥加涅认为真正完美的数学思维首先是辩证的思维，它又是自然科学的思维，即具有科学思绪的素质，如灵活性、独创性』、深刻性、目的性、合理性、概括性等等。数学思维的特点不仅表现为它具有科学思维的全部素质因素。还表现为它有自身的独特形式，即具体思维和抽象思维，函数思维，直觉思维等。对于数学思维的特点，数学家莫洛德希认为：能把不同内容的纯粹形式抽象出来，这就是数学思维的特征。柯尔莫哥罗夫认为：数学思维的特点是连续的。适当分解的逻辑推理的艺术。欣钦则认为是：推理的逻辑方案，推理过程的准确的分解。格涅坚科认为是：数学思维经常表现为所谓数学能力，纯粹的逻辑论证的习惯。   ‎ ‎ 综上所述，数学思维是具有辩证思维、抽象思维、逻辑思维、直觉思维等思维的特征且反映数学特点的思维。进行数学思维离不开推理，抽象概括，也离不开全面的看问题及对 问题进行转化。因此数学观念至少可以包括整体意识、抽象意识、推理意识与化归意识。             （1）推理意识    推理意识就是推理的习惯，或者说讲理的习惯。推理作为科学认识中导出知识的过程和方法，既包括在理论思考中由一个或一些判断导致另一判断，也包括由经验事实引出概念、判断。推理包括演绎推理。归纳推理和类比推理。   ‎ ‎ 推理不仅是个别人的思维过程，整个科学认识的发展就是一系列的推理和连续推理。演绎推理不仅是检验命题真伪性的手段，而且还有科学的预见性。如欧几里得证明有无穷多个素数；英国剑桥的亚当斯与法国数学家列维烈根据牛顿引力假说计算出一个新行星的位置，柏林的天文学家加勒依照他们所预告的方位月望远镜寻找，果然发现一颗行星，命名为海王星。这些都是演绎推理的伟大胜利。中学数学教学要让学生掌握演绎推理的基本思想，养成落笔有据、言之有理的习惯，即形成推理、讲理的自觉意识。数学中要加强演绎推理的标准体系，即公理化体系有其思想方法的教学，使学生深刻体会演绎推理的实质。同时也要加强归纳推理与类比推理的教学，这种推理具有发现新知识，新结论的功能。如欧拉利用类比推理将代数方程论的知识用到三角方程展开得到的所谓无穷次代数方程中，从而解决了自然倒数平方级数和问题。这是一个光辉的例子。此外，归纳推理与类比推理，没有一定的法则可以遵循，对思维的灵活性是一个很好的训练，但要注意，归纳类比的结果未必一定是真确的，必须经过严格的证明才能确信。总之，推理意识包括归纳、类比、演绎推理和自觉意识，使学生形成推理意识就是养成落笔有据，言之有理的习惯。其作用是；    ①有助于形成良好的道德品质，提高实际生活能力。一个具有推理意识的人，无论遇到什么事情，都会自觉的弄清事情发生的原本，判明是非，从而采取公正、合理的措施解决问题。这正是正直、诚实的人所应该具有的。    ②体会科学研究的全过程。科学研究一般是始于观察与实验，在观察与实验的基础上，经过归纳与类比等推理提出假说，猜想。然后再列假说，猜想进行检验，包括理论上的论证和进一步的实验，最后上列为理论。培养推理意识的过程中，实际上就让学生了解了科学研究的一般过程及消除他们对科学研究的神秘感。树立起自己进行研究作出发现的信心与决心。这种从小的熏陶对青年学生今后的成长会起良好的作用。    ③促进良好思维品质的形成。捉进逻辑思维能力的提高，培养思维的批判性与组织性（记忆的条理性）。    （2）抽象意识    抽象是数学及一切理论科学的共同特点，科学抽象是理性思维方法的一种形式。抽象意识是指学生学了数学以后形成的如下思维习惯：    ①从本质上看问题。对于复杂的事物，现象，有意识地区分主要因素与次要因素。本质与表面现象，从而抓住本质解决问题。    ②自觉地把适当的问题化为数学问题，即自觉地进行抽象概括，建立数学模型。对数量及形状的敏感等等。   ‎ ‎ 抽象意识的培养，有助于培养思维的深刻性，培养抽象概括能力。有助于加深对数学的应用性的认识，增强运用数学知识伪能力。有助于对所学的知识的更深的理解。’教学中应对抽象意识的培养给予充分的重视。    （3）整体意识    整体意识是指全面地、从全局上考虑问题的习惯。这也是辩证法的要求，是数学教学中能够培养的，对学生今后的生活有重大意义的观念。同时整体意识也是系统论思想的准备。美国学者E·拉兹洛在评论贝塔朗菲的一般系统论时；把他的基本观点归纳为四点；    ①整体观点；    ②科学知识的整体化；    ③自然界的统一性；    ④重视人的因素。    “整体大于孤立部分的总和”这是贝塔朗菲关于组成系统的著名定律。整体意识的培养，更有助于培养思维的广阔性，培养求异思维的能力。    （4）化归意识    化归意识是指在解决问题的过程中，有意识的对问题进行转化，变为易解或已解的问题。化归意识还意味着用联系的、发展的、运动变化的眼光观察问题，认识问题：化归的种类很多，如：整体与单一的转化；模型间的转化；正与逆的转化等等。化归的方向一般是：从未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。化归的一般原则是RMI原则。所谓RMI原则就是：令R表示一组原象的关系结构（或原象系统），其中包含着待确定的原象X，令M表示一种映射（—‎ 一对应法则），通过它的作用假定原象结构系统R被映射成映象关系结构R1，其中自然包含着未知原象x的映象x1，如果有办法把x1确定下来，则通过反演即逆映射1＝M-1也就相应地把x确定下来。这就是RMI原则的基本内容。             化归思想具有广泛的应用。数学中的无限到有限的化归，数与形的互化，曲线到直线的化归，空间到平面的化归等等，解决了许多难以解决的问题。数学中的函数、对应、同构，成为化归的几种方法。化归思想不仅能用于解决问题，它对于培养思维的灵活性也有很大作用。也有利于培养逆向思维。    培养数学观念有助于良好的思维品质的形成，反过来，良好的思维品质的形成又可促进数学观念的形成，数学观念是在数学学习的过程中形成的。同时，具有数学观念又有利于数学的学习。数学与数学观念的培养是在同一过程中进行的，它们又具有相互促进的关系。    影响学生进一步学习的因素，在教育心理学中称之为学习准备。学习准备是指那些促进学习或者妨碍学习的个人特点的总和。影响数学观念形成的因素可分别归入认知因素与非认知因素之中。    ①认知因素包括知识准备与认知发展准备。认知发展准备是指学生从事新的学习或一定范围的智慧活动所具备的认知功能的适  当发展水平。知识准备比起认知发展准备要复杂得多，它不仅涉及到学生学习的结果，而且与学生接受知识的过程也有很大关系。因此要求学生牢固掌握中学数学中的基础知识。基本技能，不仅掌握结果，还要掌握知识的来龙去脉，而且能用数学思想、方法统摄知识、技能，也就是把基础知识基本技能作为数学思想、方法的“下位概念”（即特例）。    ②‎ 非认知因素包括学生的学习动机、学习兴趣、个人的意志品质、个人素质等等。教师所提出的要求直接影响到学生的学习目标，从而影响知识准备到数学观念的形成。    培养数学观念的基本策略是知识准备：抓知识的教学，重思想的形成，促观念的培养。具体地说，有如下的要求：    ①使数学教学成为数学活动的教学。这是因为学习是一个过程。学习是从不知到知。从知之不多到知之较多的过程。是经验的获得及行为变化的过程。知识的获得。能力的提高、思维方式的形成等等无一不是在这个过程中完成的。因此我们要想在教学中达到某种目的，就必须紧紧抓住教与学的整个过程。    数学观念的形成不是一朝一夕的事，需要在长期的学习过程中体会。教学中，教师要有意识地引导学生进行数学思维活动，使他们经过积极的思考，掌握知识。同时提醒学生不满足于记忆公式、法则和具体的解题、证题的方法。更重要的是悉心体会解决问题的过程中所用的各种手法，并把它们应用到解决新问题的过程中去。    ②重视数学思想、数学方法的归纳。数学思想与数学方法是原认知结构中起固定作用的固定点。因此要培养数学观念，就必须重视数学思想与方法的归纳。    ③重视学生提出问题解决问题的实践。    ④重视非智力因素。非智力因素是认知因素中的主观因素，由于它们构成了学生学习过程中的心理条件，所以直接影响着学习的进行，从而影响着数学观念的形成。抓非智力因素，重视培养学生高尚的精神世界，使他们具有不懈的追求，抓非智力因素是促进数学观念形成的关键。    三、中学生学习数学的“过五关”   ‎ ‎ （l）完成由算术到代数的转变，过好“抽象关”。    中学生从初一开始，智力的发展，由形象思维为主要形式向抽象思维为主要形式过渡。良好的教学手段，可以促使这种过渡快速发展。用字母表示数是数学中的一大创造。是算术到代数的一种标志。虽然用字母表示数给数学的发展带来了无限广阔的前景，但也十分抽象，给中学生学习代数带来了理解上的困难。因此用字母表承数的掌握是学好代数的第一步。在中学数学中还要完成数的三次扩充。在历史上一个新概念难产的时候，往往这个概念在教学中也是难点所在。‘负数”、“无理数”、“虚数”都是学生难于理解的。恒等变形并不是一种无聊的游戏，而是研究数学的有力的杠杆之一。恒等变形在中学代数中内容十分广泛。例如代数式的运算；化简与求值；整式的加减；乘法公式与因式分解；分式，根式的化简；指数式，对数式及三角函数式化简等等。因此明确恒等变形的目的，培养化归的意识，掌握恒等变形的方法与技巧是学好代数的关键之一。在代数中有许多通性通法，例如各种运算定律；配方法；待定系数法；数学归纳法；消去法等等，这些都是中学生学习代数的分化点。学好代数的又一关键是理解数学思想与方法，并能在解题的实践中灵活地运用。    （1）确立公理化的思想，过好“形式逻辑关”。   ‎ ‎ 数学这门科学与其它科学的不同之处，除研究对象不同外，最突出的就是对象的内部规律的真实性，必须用逻辑推理的方式来证明。首先必须明确对象的概念，其次是内部规律必须表现以命题的形式（包括公式），经推理证明后；就叫做定理。因此一部数学理论，即由一套概念、命题和命题的推理证明所组成。这里所说的推理指的是逻辑学中的演绎推理，它是由三段论的形式来实现的。所谓三段论就是由大前提、小前提得出结论三个阶段命题真实         的形式。命题的推证又有其通法，即直接法与间接法；综合法与分析法及普通归纳法等等。通过初等几何的教学，对培养学生的逻辑思维能力有特殊的作用。这是因为与中学数学的其它分支相比，初等几何的编排，在逻辑顺序上反映得最突出、最明显也最具体；在用三段论法推证命题时体现得也较完整；常用的推证通法包含得也较全面，而且抽象的概念和命题的形成，也能较具体地体现出由具体到抽象的思维过程。因此培养学生的逻辑思维能力。也就成为初等几何教学目的之一。正因为如此，初等几何也就成为学生的分化点之一。过好初等几何这一关的关键点在于，使学生切实掌握初等几何的基础知识，以及应用这些知识解决有关几何计算和几何作图的基本技能；使学生理解三段论法确立公理化思想，培养与发展学生的由实践到理论、由具体到抽象以及进行推理论证的逻辑思维能力；培养与发展学生的观察、想象与表达几何形象的空间想象的能力。    （3）做好由平面到空间的过渡，过好“空间想象关”。   ‎ ‎ 培养学生的空间想象力，主要是培养学生正确。迅速地看懂直观图所反映的真实形象的能力；培养他们根据文字叙述的条件。能正确反映出符合条件的立体形象的能力。但是不论哪一方面能力的培养，都必须经过由画图到看图的训练。空间想象能力正是实现二维平面图形和三维空间囹形相互转化的能力。从学生心理上看；这种转化是困难的。这是因为学生缺乏心理准备，对于平面几何中的位似图形以及视图的知识没有掌握，以致学生在学习立体几何之前，缺乏必要的心理准备和知识准备：另外歪曲真象的平而图内妨碍感知和想象，成为学生不理解、不适应的重要因素；同时在立体几何中为了实现由二维图形向三维空间图形的转化，必须借助于逆向思维，由于学生的逆向思维能力不强，加上又是根据歪曲真象的图形进行思维；学生不理解，难于掌握也就成为很自然的事了。适应学生心理，培养学生空间想象力的做法通常是：    ①教师演示和学生动手相结合，提高感知效果。    ②强化图形立体感，提高想象效果。例如，利用标准图形烘托立体感，加强对比．加深立体感受，利用理论认识，强化立体感等等。    ③通过比较，抑制负迁移的影响，发挥正迁移的作用。例如，通过比较，建立概念，利用概念，进行比较；通过比较画图．利用图形进行比较；通过图形转化进行比较，利用比较实现图形转化等等。    ④利用坐式培养学生的想象能力。    ⑤发挥思维的作用，提高学生的想象能力。例如，通过分析，由整体想部分；通过分析，由部分想整体；通过分析、比较，寻求问题的共同本质和不同的解法等等。    （4）做好由常量数学到变量数学的过渡，过好“函数关”。    函数在中学代数里占有重要地位。这是因为：    ①‎ 由常量数学到变量数学在思维方面是个飞跃，这对培养学生思维能力方面有重要意义；    ②很多常量数学不能解决或不易解决的问题，通过变量数学可IJ得到很好的解决；    ③变量数学是学习物理、化学等其它学科的有力工具；    ④很多常量数学的问题可以用变量数学的观点未处理。    在中学数学教学中，关于函数的内容主要是下面三个方面；    ①研究基本初等函数（其中包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的概念、定义域、值域、性质、图象；    ②通过基本初等函数的研究，掌握函数的一般性质，如定义域、值域、有界性、奇偶性、互 逆性、单调性、周期性等；    ③一整套作函数的图象的方法，包括平行移动法，尺标变换法，综合变换法。    函数的教学大致可以分为三个阶段：    ①感性认识阶段。这一阶段的基本内容有；通过各种类型的算术运算，让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的相互关系；通过代数式和方程的学习，让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的函数关系，如何用代数式来表示量与量之间的关系等等；通过数的概念发展，来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想；通过数铀和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想。    ②理性认识阶段。这一阶段是函数教学的主要阶段，它分为两个小循环，即初中的“函数及其图象”‎ 和高中的从集合一直到三角函数。在高中要求学生形成函数的一般概念，深刻地理解函数关系，掌握绘制简单的函数图象和讨论它们的性质的方法，学会应用函数的性质解决某些简单的实际问题，把学生的认识水平和思维能力向前推进一步。             ③巩固、深化和发展阶段。这一阶段主要的任务是了解国数的变化趋势，并通过它，初步掌握极限的方法一无限精确化的方法；利用微积分这一工具，对函数的增减、极限再作进一步的研究，并指出初等方法研究函数的局限性。微积分这一内容，今后加入中学数学教材是必然的。    讲解函数的概念时，要注意加强的几个内容：    ①求函数值；    ②像和原像；    ③离开定义城去谈论函数是无意义的；    ④求函数的定义域；    ⑤在一个表达式中谁是自变量，谁是因变量都是相对而言的；    ⑥函数关系是区别各个不同函数的最主要的标志。  （5）掌握坐标法，过好“数形结合关”。    恩格斯指出：“笛卡尔的变数是数学中的转折点。由此运动和辩证法进入了数学”。变量数学的建立，第一个决定性的步骤在于解析几何。通过解析几何的教学，使学生能利用常用的坐标法，运用代数、三谕等方面的理论，研究并掌握常用的平面几何图形的性质；建立曲线与方程的关系，并掌握相应为用的方法；发展学生的逻辑思维能力特别是辩证思维佬力；培养学生运用所学的知识来解决实际问感的能力以及计算、绘图的能力和技巧。    高考中的解析几何综合题的要求是根高的。主要表现在：    ①要求牢固掌握解析几何的基础知识；    ②计算量大，恒等变形要求高；    ③‎ 与代数及三角联系紧密，因而要求学生对代数与三角知识不仅要掌握而且要灵活运用；    ④数学思想方法的综合运雨，如方程的思想、函数的思想、化归的意识、转化的思想、数形结合的思想、待定系数法、配方法、反证法、分类与讨论、基本量法，多参数的消去法等等；    解析几何的教学方法上的特点是：。    ①充分利用直观因素进行教学，是反映变化观点的有力方法；    ②类比与比较这两种方法的经常使用；    ③对代数、几何与三角的知识为学生进行必要的巩固；    ④有目的、有计划、有步骤的进行综合，由简单到复杂，由单科的综合到多科的缀合，由单一的数学思想方法的运用到多种数学思想方法的综合运用；    ⑤研究简化计算的方法，包括合理建立坐标系等；    ⑤不断做学生的思想工作，注意非智力因素，帮助学生克服怕难、怕繁的思想，下决心学好解析几何。       ‎