数学（心得）之注重数学本质 提高数学素养（1）

数学（心得）之注重数学本质 提高数学素养（1）

数学论文之注重数学本质 提高数学素养（1） 注重数学本质 提高数学素养（1）　视频下载张奠宙 教授 数 学教育家 华东师范大学唐彩斌 中学高级教师 浙江杭州现代小学数学 教育研究中心唐：各位老师大家好。今天我们交流研讨的话题是“注重 数学本质，提高数学素养”。讨论小学数学教学中常见的“数学问题”， 为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本 质，帮助大家一起提升数学素养。也正如大家常说“教什么比怎样教更 重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。张：各位老师， 大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。所 以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？实际上我 们要关注小学数学教材里边背后的内容，就是说我们是要源于教材但是 要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小 学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的意识，知道小学数学教材 他在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后， 小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许多时代特色需 要我们展示，需要我们深入的了解。所以，我们愿意给大家来探讨，小 学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有 所帮助。【PPT】（PPT 内容为画线部分，下同）一、数与代数领域问题的 讨论 1．0 为什么是自然数唐： 现在我们就按照小学数学的几大领域来 选择一些问题来具体分析。我们都知道，小学数学中最大的学习领域是 数与代数领域。首先我们讨论关于自然数。大家可能会问： 自然数谁不 懂？ 这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，自然数的问题还真不 少。大家可能争论最多的是“0 本来不作为自然数，现在怎么又说是自 然数了，为什么”？张： 在上世纪 90 年代以前，自然数不包括 0，但 是 1993 之后，就包括 0 在内，这当然是一个规定所产生的，那是在 1993 年颁布的《中华人民共和国国家标准》里面有一句话说规定自然数包含 0，从此之后，0 就属于自然数的范围了。【PPT】唐： 从近年来编写新 课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了 修改。具体的表述是：用 0 表示“一个物体也没有”所对应的计数。 【PPT】只是在教学中，有些老师觉得把 0 作为自然数，与传统不同， 不太习惯。张： 这只是习惯问题。0 是自然数有许多理由。首先， 人 的经验是，从无到有。 魔术师先交代两手空空， 再变出一只兔子， 然 后两只兔子……。铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。 第二，更重要的是书写的需要， 十的位置记数写法是 10。【PPT】 没有 0， 就写不出 10，20，30， 100。 所以 0，1，2……9， 共十个数字是 最基本的。第三，0 的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a.【PPT】 在自然数中 5－5＝0，如果 0 不是自然数，那么 5－5 岂不是不能减了。 此外，大数学家冯·诺依曼用集合论的语言写自然数，第一个是“空集 Φ”， 用 0 表示，【PPT】 然后把以空集为元素的集合{Φ}叫做 1， 依 次类推。从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。唐： 这么说， 0 是自然数的说法，既有生活经验， 又符合数学规则， 还有文化背景和 科学依据， 是合乎情理的。 说起习惯，从某种意义上是老师 的习惯，学生其实没有这样的习惯。从这个角度来说，有时有些新的事 物老师认为难接受，但学生反而觉得好接受，可能也是这样的原因吧。 2．数位的分级是三位一级还是四位一级唐：下面的类似问题是关于 数位的分级。自然数用十进位记数。在小学里教材上，读数与写数的时 候，一向强调四位一级，分为个级、万级、亿级，但是在现实生活，无 论是银行里的计数，还是信息技术中的计数都是三位一级，即个、千、 百万……，从数学角度上怎样看这种现象？ 张：这个问题我觉得应该 “与时俱进”，在以前我关注到，小学数学教学中只讲四位一级，只讲 个、万、亿。但是现在与国际接轨之后“千”的用途越来越大。所以说 四位计数是我们的传统，必须保持，【PPT】我们的学生应该懂，三位一 级更是国际惯例，又必须与国际接轨，【PPT】我们也应该让学生掌握。 两种并存，是必然趋势，逐步与国际接轨。我们也注意到，像尺和寸现 在就用的比较少了，米和厘米用的比较多了。将来，会通过社会的选择 来确定哪一种是主要的。我想，两种都要学，这大概是不可避免的。唐： 听张老师这么一说，我们知道既要保存传统，又要与国际接轨。也有学 者把数位的分级与空间图形结合起来，认为“三位一级”更符合数形结 合的规律。具体地说，一个小立方体表示 1， 那么 10 个一排就是 10， 10 个 10 排成 1 个面就是一个百，每一百算一层，10 层就是一个新立方 体，表示“千”。 再从“千立方体”出发， 10 个一排， 10 排构成面， 10 个面叠成新的立方体就是一百万。这就很形象地描绘出“三位一级” 的构造。【PPT】这样看来，“三位一级”也是可以通过数形结合来描述 这种结构。张：我还注意到，不管是“四位一级”还是“三位一级”， 百万是大家共用的名词， 例如“百万雄师”，“和百万英镑， 中外都用 百万形容很多。所以对百万我们还应该多多的关注。唐：张老师说起那 个百万，就不仅让我想起我们经常看到的一些课题教学。我们经常听到 这样的片段，1 百万有多大？让学生认识 “1 百万颗黄豆有多少体积。” 【PPT】张：当初设计这样的教案，它的初衷是好的，就是要大家体验 一下一百万是怎么样过来的。它一定是从一开始，然后到十、百、千一 点一点数出来的。当数目很大的时候，数起来很费力。让儿童经历这样 一个过程还是很有好处。不过，我又觉得，我们本质上还是要关注 100 万这个数的结构。至于说 100 万粒米有多大，这个不是数学要研究的问 题，这是个别的体验，100 万粒米， 100 万颗花生， 100 万个篮球有多 大等像这样的问题是没有穷尽的，也不是我们每个人都需要去体验的。 所以。我觉得还是要把精力放在 100 万的结构上面，比如 100 万里面有 多少个 1000，100 万里面有多少个 1 万，我们每人捐款 1000 元，要捐 到 100 万需要多少个人捐，这样的素材不仅有现实背景，而且还有数学 意义，可能更值得我们去思考。 3．分数的定义唐： 听张老师这么说， 就是我们在组织这样的活动的时候，一方面要关注现实背景，但是更重 要的是要关注数学的意义。前面我们主要讨论的是关于自然数的问题。 接下来我们要讨论的是一个比较难学，但却很重要的课题：分数。我想 我们从分数的定义开始谈起。教材很多都是从份数的定义开始的。【PPT】 一般都这样描述：单位 1 平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数 叫做分数。【PPT】这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的 称呼。因而是引入分数的首选。张老师你怎么看。张：对，用份数的定 义来引入分数是非常自然的。但我觉得这样也有缺点，最后是一份或几 份，那究竟是自然数还是分数？这样不太明确。因此必须尽快过渡到分 数的“商”定义，分数的定义就是，分数是两个正整数 a，b，a 除以 b 的商。所以分数是一个商，这个概念我们现在注意的不够，而这恰恰是 我们学习分数的核心所在。用 a 除以 b，当除的进时（整除），就是原来 的自然数，没什么问题，问题就在除不进的情况下面，那么我们就得到 了一个分数，这就是分数所以要成为分数根本的原因，就是除不进的情 况下需要分数，除的进就不需要分数了。例如 1/4， 它是一个整体平均 分为 4 份中的一份。 但是， 这一份究竟有多大呢？ 1 除以 4 的商是多 大呢？它一定比 1 小，却又比 0 大。于是我们在数射线上可以标出它的 位置：它在 0 和 1 之间，当中这一点是一半就是 1/2，把 1/2 和 0 之间 再分一半，那个地方就应该是 1/4，这样一画，数的概念就出来了。这 就显示它是一个新的数，是原来自然数所没有的数，它是我们现在要研 究的对象。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了分数出现 的必要性，特别是商和除法之间的关系，我想，如果理解了这一点，分 数的价值才能完整的体现。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没 有摆脱自然数的表示。1 份，几份，是分数还是自然数？ 因此必须尽快 过 渡 到 分 数 的 “ 商 ” 定 义 。 —————————————————— ———— 0 1【PPT】唐：刚才张老师也 说起分数与除法的关系，但是以前我们描述分数与除法的关系时只讲分 数与除法之间的关系，一般描述为：分数中的分子相当于除法中的被除 数，分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。 通过刚才的介绍分数的商的定义，可能分数是一个新的数。张老师，你 刚才还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义？ 张：分数 的第三个定义是比的定义两个自然数 a 比 b, b ≠0, 即 a/b 叫做分数。 比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后， 分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。我记得我曾经请 你做过一个实验，你把实验向大家介绍一下。 唐：好的，我们来分享 一下这个实验的结果。上次张老师布置我做过一个小调查，我们就组织 了 100 多名学生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就是当学 生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成 4 份，其中的一份涂成蓝色，这 时学生会想到哪些分数呢？我们给学生一些时间，让他们想，结果我们 发 现 ： （ 时 间 2 分 钟 ） 【 PPT 】 测 试 结 果 ： 【PPT】 总人数 1/4 3/4 1/2 4/1 1/3 3/1 三年级 39 38 14 0 四年级 39 36 17 10 8 8 2 六年级 38 36 8 3 3 合计 116 110 39 13 8 11 2 百 分 率 94.83 33.62 11.2 6.90 9.48 1.72 张老师。你怎么看这个数据。张：我想， 比的定义和我们原来份数的定义是相关的，份数的定义是说一个整体平 均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位” 的思维定势还是比较强的。但整体不仅仅是一个圆，也可以是 1 个半圆， 或 3/4 个圆，所以整体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。所 以就一个大学的教师来看，我首先看到的是在 1 个圆里面 1 快蓝 3 块白， 蓝和白之比是 1：3，然后马上就认为是一个 1/3。所以说不能把一个整 圆分成 4 等分作为一种定式，以至于看不到一块蓝三块白之间的比。我 想比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望大家把 份数和比的定义连接起来思考。 唐：如果电视机前面的老师也有兴趣 的话，你也不妨对你班里的学生做这样的调查，或许你能更加深刻的认 识到刚才张老师所讲的从份数定义怎样过渡到商的定义的重要性。因为 在这个过渡的过程中，让我们明确了分数是不同于自然数的一种“新” 的数，是我们的新朋友。当我们把 1/3 ，1/6 等等分数标在数轴（数射 线）上的时候 ，新数的面貌就完全呈现出来了。【PPT】 4．分数基本 性质唐：分数学习中有一个重要的性质，是老师们都特别熟悉的，就是 分数的基本性质。但是所谓基本性质，我们总是这样描述：分数的分子 和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。除了这样的 描述，究竟是什么性质呢？并没有明确的词语，好像总得有一个特别的 名字才好。从数学的角度应该怎么描述？张：我想，这就是分数相等的 性质，在自然数里面，两个数相等，这两个数的表达是一样的，2 等于 2，2 就是 2。在分数里面，不同形式的分数，它是相等的，但相等的东 西可以不一样，这就是一个新问题了。在数学上面，这叫做“等价类”。 就是把不同表现形式的东西归为一类，这样，我们在观察问题时，就不 仅是看一个数，而是看一群数，一类数，这类数我们就叫做“等价类”。 这个思想在教材当中未见得要出现，但是作为老师我们要认识到，自从 进入分数范围内以后，这个基本性质，实际上是说明了：不同的东西可 以归为一类，但是它们有个标准，就是数值相等。“等价类”是一种非 常重要的数学思想，也是我们处理分数不可缺少的一个思考。大家也可 以看这个“等价类”例子，1/2 所在的等价类，各个分数彼此相等： 1/2 = 2/4= 3/6 =……= n/2n = ……【PPT】唐： 听张老 师这么一说，就是说有不同分数的外形，但是它的数值是一样的，如果 要派代表的时候，我们都很熟悉，叫做最简分数。那么用最简分数作代 表行不行？你能不能给我们结合具体的事例形象地说明一下？张： 我可 以有两个比喻：一个是：分数好像一个人可以穿不同的衣服。体育课穿 运动服，上课穿校服，正式场合穿西装，文艺演出穿演出服，休闲时穿 休闲服等等。不同场合穿不同衣服，虽然最常用的是校服，但校服不能 代替其它的服，但人是同一个。另一个是：分数又好像我们的学校。里 面的成员都是平等的，都能代表学校，但是各有各的作用。校长会议校 长去参加，数学教师活动请数学教师去，5 年级学生的竞赛则必须由 5 年级学生参与。所以我想，“等价类”就是这样，大家都是平等的，不 同的场合要有不同的表示形式。最简分数固然重要，但分数相加需要通 分，最简分数就不够用了。就如校长虽然重要，却不能代表一切。所以 你刚才提的问题很好，所谓分数的基本性质，就是分数相等的性质。什 么叫做分数相等，就是这样的定义。唐：经过张老师这样形象地描述， 分数的这个等价性大家一定清楚些了。那为什么分数要出这样一个基本 性质，而自然数没有呢？张：相等的自然数只有一种形式。但是相等的 分数却有不同的形式。 而且分数的约分，通分在后续学习中非常有用。 所以必须认真学习，加深理解。唐：基于以上的讨论，我感到分数教学 对我们老师的启示有以下两点： 第一， 分数是“新朋友”，是除不尽情 形下引进的新数。分数的本质在于使得自然数的除法总可以施行，因而 分数的“商定义”显得十分重要。第二。分数是一个大家庭，相等的分 数 可 以 有 不 同 的 形 式 。 等 价 类 的 思 想 应 该 有 所 渗 透 。【 PPT 】 5．小数与分数的关系唐：说完了分数，我们来讨论和分数 密切相关的小数，小数与分数的关系，我们常常这样说：小数是分数的 另一种形式。十分之几的分数可以写成一位小数，百分之几的分数可以 写成两位小数，……依此类推，所以一般都先学分数再学小数。你怎么 看？张：先学分数再学小数是从一般到特殊，一般的分数有了，我们再 来研究特殊的，以 10 为分母的分数。但是小数是不是因为分数才产生 的呢？这不是。小数的产生与现实中的度量有密切关系。我们有了尺所 以下面有寸、有分，我们有了斤所以下面有两。所以我想，如果我们先 学分数，比如说几元、几角、几分，然后再把特殊的分数，我们分成 10 份的分数，推广为一般，从特殊到一般，也是一种认识的规律。所以这 两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的安排的。有些就 是由一般到特殊，像我们现在多数采取的，有些国外的教材就是从特殊 到一般，先有小数这样的分数，然后在推广到一般的分数，都是可以的。 唐：看来现代人们在编教材的时候有不同的解读，所以顺序也不一定一 样。哪么我们想小数与分数之间到底有怎样的关系，有什么区别呢？在 数学史上到底是先有分数还是先有小数？张：中国在商代，就是现在出 土的文物中就有尺了，那个尺里面就有寸，而且是十进位的，所以这个 是有考古的实物为证的，所以小数在商代就出现了。分数根据记载是在 春秋时代出现的，比商代就要晚很多了。从中国的小数和分数出现的时 间来说，是先有小数，后有分数。于一般分数。度量衡的发展大约始于 父系氏族社会末期。传说唐帝“设五量”，“少昊同度量，调律吕”。这 时的单位尚有因人而异的弊病。《史记·夏本纪》中记载禹“身为度， 称以出”，则表明当时已经以名人为标准进行单位的统一，出现了最早 的法定单位。商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合 16 厘米，与中等 身材的人大拇指和食指伸开后的指端距离相当。尺上的分寸刻划采用十 进位。【PPT】唐：分数产生在什么时候呢？张：我国的分数记载出现于 春秋时代（公元前 770 年～前 476 年《左传》中，规定了诸侯的都城大 小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一， 小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六 十五又四分之一。在小数出现的时候，并不觉得这是分数。后来有了一 般的分数概念，才看到小数是“没有写分母”的分数，其分母由位置确 定。唐：古代的教学史对我们现代的教学也是有一定的启示的，有一种 关系可能是值得我们思考的，就是既然分数可以和小数互化，那么已经 有了小数，何必还要学习分数呢？张：问题就在于实际的需要，小数是 运算比较方便，很容易看得出来它的大小，但是无限循环小数的加减乘 除非常麻烦。因此，分数运算必须单独学习。 反过来， 只学分数不学 小数也不行。 因为小数是十进位的， 比较实用。 尤其是比较两个小数 的大小，无论是有限小数还是无限循环小数，用“字典顺序”比较，一 目了然。不像面对两个分数，要比较它们的大小比较困难。所以说，它 们各有各的好处。唐：小数和分数在具体的问题当中各有个的好处，通 过刚才我们讨论小数与分数的关系，也正是印证了张老师最前面讲的一 句话，让我们总体把握，做到心中有数。6．算法多样化的思考唐：讨 论完了数以后，我想在数与代数当中另外一大块就是计算，或许电视机 前的老师和我们一样，现在一提起计算，脑子里就会反映出一个新的词， 叫做“算法多样化”，这也正是我们新课程改革以来，一直倡导的一种 理念，张老师你是怎样看“算法多样化”这种理念的？张：算法，就是 计算方法。随着计算机时代的到来，计算机可以做各种各样的事情，但 是计算机都是按照算法运行的，所以算法的重要性不言而喻。所以《新 课标》提出算法的意义，也提出了算法的多样性也是非常必要的。而小 学提倡算法多样化，目的在于重视算法，创造性地运用算法。唐：“算 法多样性”是一种好的理念，但是在具体的实施过程中，我们又会碰到 怎样的问题呢？我来举一个例子：28×15，两位数乘两位数。学生可能 使用的其他方法，至少有以下四种： 28×15＝28×（10＋5） 28 × 15 ＝ 28 × 5 × 3 ＝ 28 × 10 ＋ 28 × 5 ＝ 140 × 3 ＝ 420 ＝42028×15 ＝15×4×7 28＝30－2＝60× 7 28 × 15 ＝ 30 × 15 － 2 × 15 ＝ 420 ＝420 一位 同学是把 15 分拆成 10＋5，然后利用乘法分配律计算出结果，另外一位 同学是把 28 分成 4×7，然后先用 15 和 4 相乘得到 60，然后在乘以 7 也得到 420 的结果。还有同学是把 15 分成 5×3，然后再来相乘算出结 果。有同学把 28 看成是 30-2 的差，再和 15 相乘。当然，在计算的过 程当中有一种基本的方法，就是竖式计算的方法。 首先是常规 的 竖 式 计 算 。 【 PPT 】 28 × 15 ---------- 140 28-------- 420 这么多的算法，张老师你怎么看。张：算 法可以多样化，但是必须选择一种作为基础。 竖式计算方法， 就是大 家的首选。这是无数的人，经过挑选之后确定下来的，无论在国内还是 国外都是一样的。竖式算法是基本技能，基本算法。它的特点是程序化、 机械化，按部就班，能够对付任何位数、任何形式的自然数的加减乘除 运算。这个算法虽然显得笨重一点，也不够简便，但它是最基本的，我 们必需把基本的先掌握好。将来多项式相乘也是这样操作。我们把这类 算法，称作通性通法。它永远行得通，算得出。其它的算法都在它的基 础上灵活运用，随机应变。 唐：这种通性通法也有算起来不够迅速、 快捷的缺点，而上面指出的学生的一些简便算法，是一种针对特殊问题 的特殊算法，属于“巧算”一类，不能适用一般情形。我们使用这些特 殊算法，有助于提高计算效率，培养个人的计算特点，增强数学的创新 能力。张老师你认为课堂上出现的多种多样的方法，是否需要 “优 化”？张：竖式计算是笨办法，但永远有效。但是，我们每个人都有自 己的个性，肯定也有一些自己喜欢的个性的算法。相对而言其他算法更 加巧妙，但要随机应变，没有普遍性。实际上如果把上面的四种方法比 较一下就可以发现，有两种算法其实就是利用乘法分配律，另两种就是 凑整的思想，都特别有利于心算。乘法分配律在数学中的作用，有学者 认为，相当于人类从石器时代到铁器时代；灵活运用分配律是一种数学 技能。所以，我想在提倡算法多样化的时代，一方面要把竖式算法学会， 同时也要充分运用一些能使我们计算更加简便、灵活的算法，要把基础 和灵活都掌握好。唐：张老师刚才在讲算法多样化的时候，还特别提到 了乘法分配律它特别重要的地位，我想尽管它不是我们算法多样化的一 种普遍的规律，但是它的重要性或许会引起大家更多地思考。同时在算 法多样化问题上，横式计算方法值得重视。其原理是从高位到低位，与 竖式计算相反。 例如 28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。先用两个乘数的十位和十 位相乘，再用第一个乘数的十位和第二个乘数的个位相乘，在分别用以 第一乘数的个位和第二个乘数的十位相乘，然后再是个位和个位相乘， 最后相加。这种横式算法张老师你是怎么看的。 张：横式算法在国外 比较盛行，可能是因为它对算理说的比较清楚，它揭示了不同的位数它 们所产生的作用。但是它有一个缺点，就是对位比较复杂，在对位的过 程中容易出错，所以横式算法还是不如竖式算法哪么有效。横式算法是 一种从高位到低位的算法，和中国的珠算加法相同。所以现在国内外一 致讨论的结果是竖式算法为主，横式算法为辅来说明算理，再加上各种 各样的简便、创造性的一些计算方法，使得“算法多样化”真正成为中 国数学教育的一个特色。唐：刚才张老师讲起来从低位算起还是从高位 算起，让我也想起了张天孝老师特别提到的对算法多样化的一种理解， 他认为起算点不同也是我们算法多样的一种不同，有的从低位算起有的 从高位算起。横式算法在对位的过程中比较容易出现错误，而竖式算法 是一种通性通法，从后续学习当中来看，即便我们以后学习多项式的乘 法，也是符合这样的道理的。张：对，以前降幂排列，升幂排列都是按 照竖式计算的方法。唐：也就是说，竖式计算不仅适用于小学，也是后 续学习当中都要用到的方法。唐：说起计算，张老师在你编著的《中国 数学双基教学》中，提到双基的一个维度是速度。对于学生的计算，我 们是不是要提出一些速度的要求？张：从国内外的调查来看，中国学生 的计算能力特别是心算的能力是被国际公认的。新加坡一个代表团在调 查后认为中国学生的心算能力要强于新加坡，当然比美国就更好，这种 计算的能力对我们成人后的生活也是非常重要的，所以我们一定要保持 中国学生在心算领域的优势。但要注意的是，我们说的心算主要是指 100 以内或者两位数的加减乘除，过多的则没有必要。速度是我国双基的一 个维度。但是对于计算来说，随着计算器的普及，不需要对计算有过高 的要求，尤其不要用一些大数目的繁杂的计算来考查学生计算能力。这 种机械的劳动还是让机器来做比较好。但是，两位数的加减运算，一位 数乘两位数等的心算能力，还是非常重要的，属于“双基”范畴。唐： 我想是不是可以这样理解，我们作为老师去考察学生的计算能力的时候， 不要用那种繁杂的、特别大数字的计算题来增加学生计算的难度，而学 生对于计算基本的方法是否掌握，是我们所更要关注的。记得以前张老 师也请中西部的一位老师做过这样的调查，或许电视机前的老师会想， 中国的计算那么好，是不是也是指我们那里呢？张：现在小学生的计算 能力，张晓霞老师做过一个非常详细的调查，我总的感觉中国的计算能 力确实比外国要强很多，或许要求是高了一点。但是因为我们已经有了 这样一个传统，丢掉一个传统很容易，但保持一个传统很困难，所以我 们应该在保持一个合理的计算速度的基础上进行改革。唐：我想听了张 老师刚才这样的点评以后，我们中西部的老师心里一定会更加自信了， 因为我们在计算方面的优势说不定就在你们班里。 7．什么是代数？ 唐：刚才我们讨论了数和计算，其实有一个名词或许老师也和我一样有 疑问的，叫做“数与代数”，新课标设置了“数与代数”的学习领域。 过去的小学里，对于数的认识我们比较熟悉。至于代数，相对来说比较 陌生一些。怎么理解代数？张：代数学的西文名称是 algebra，是 9 世 纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科 学”。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移 项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的ｘ把它暴露出来，还原了ｘ 的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的，所以我们一说到代数，就 会联系到解方程。【PPT】唐：一般在学习方程之前，我们都要先学习 “用字母表示数”，方程理论就是“用字母代表数”吗？它们之间到底 以一种怎样的关系。张：单单用文字代表数，还不是代数。例如加法交 换率写为： a+b = b+a , 虽然也用文字代表数，却和代数思想方法没有关 系。用文字代表数，即设某量为 x 这样的做法, 只是运用代数方法的第 一步。它后面进一步的是“式”的运算，有“式”参与运算就是代数。 所以所谓代数，就是把文字代表数往前推一步，可以进行“式”的运算， 最后把问题数找出来这样一个过程全部叫做代数。代数思想方法的核心 是基于含有 x 的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数 的运算到“式”的运算， 是算术与代数的根本区别。 唐：听得出来就 是从“数的运算”到“式的运算”，才是算术与代数的根本区别。这就 是说，所谓代数，需要和方程联系在一起。代数的主要内容就是通过文 字和数的运算，把方程中的未知数求出来。【PPT】唐：小学数学的“代 数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于 ax+b=cx＋d 这样的方程小学里解起来还是有些困难。张：解一般的一元一次方程的 通性通法，需要使用负数，没有了负数解方程就不能够完整的体现出来。 但是从我们国家的教学情况来看，小学生学习负数还是比较困难的，我 们现在的课标也没有把负数放到小学教学的内容里面，那我们应该怎样 解方程呢？那就是逆向思维的方法。而逆向思维的方法本质上又是一种 算式思维的方法。用逆向思维解方程，是现在小学数学里应该掌握的一 部分，接下来就是在中学里进行负数的学习，然后把方程的全部都解出 来。在逆向思维解方程中，要做到适可而止，学生能通过一些简单的逆 向思维把方程解出来即可，不要搞一些繁难的逆向思维，结果等到将来 这些逆向思维都没有用。而且当学习负数之后，解方程就是程式化的， 一步步做下来就是了，根本不需要逆向思维，逆向思维太多了，反而会 干扰负数的学习，所以，我们逆向思维的要求应该是适可而止、不要太 高。唐：张老师多次提到适可而止，刚才也讲到负数的概念，其实小学 里只是一个简单的涉及，但是不参与运算，所以解方程是就不能运用这 方面的知识了。其实对方程的概念我们也常有争论，关于方程概念的争 论也很多。如：x=1。是不是方程？虽然我们说要避免这样的争论，但 是老师当看到试卷上有这样的问题时，还是会为此争论不休。张老师你 如何看这样的争论。张：方程的本意就是要求未知数，如果ｘ=1，未知 数也求出来了，也就没有方程的问题了，所以我们也就不需要去争论这 些问题，比如说０×ｘ＝０是不是方程？ｘ－ｘ＝０是不是方程？这样 的问题还有很多，但对我们学习方程知识是没有关系的，所以要把这些 形式的问题淡化掉，不要在这些无意义的问题上面进行争论，数学上不 可能把所有的问题按照逻辑的关系一一写出来，因为那样做的话过于繁 琐，我们只有抓住方程就是一个从等式的关系求未知数这一主要关系， 其它一些枝节问题，一些过于形式化的问题则不必过分的关注。正如西 南师范大学的老校长陈重穆先生所说需要“淡化形式，注重实质”。【PPT】 唐：也就是说，对于我们教学来说，我们不要过度的争论是不是方程， 而是要讨论怎样解、会不会解这样的方程。我想我们大家一定要牢记刚 才张老师所讲的西南师范大学的老校长陈重穆所讲一句话：“淡化形式， 注重实质”，这应该成为我们数学教学的追求。由于时间的关系，这一 讲就讲到这里，谢谢大家。