电工技术基础电力生产人员技能培训

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一、电路的基本概念和基本定律 考试点 • 1 、 掌 握 电阻、独立电压源、独立电流源、 受控源、电容、电感、耦合电感、理想 变压器诸元件的定义、性质 • 2 、 掌 握 电流、电压参考方向的概念 • 3 、 熟练掌握基尔霍夫定律 1.1 掌握诸元件的 定义、性质 电阻元件 一、欧姆定律 流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比。 根据欧姆定律，电阻两端的电压和电流之间的关系可写成： u= ± i·R 在电压和电流的 关联 方向下 u=i·R 在电压和电流 非关联 方向下 u= - i·R R i + _ u R i + _ u 1 、定义 G=1/R 2 、单位 S （西门子） 电阻的单位为 Ω ( 欧姆 ) ， 计量高电阻时，则以 k Ω 和 M Ω 为单位。 二、电导 O 三、电阻元件的伏安特性 以电压和电流为坐标， 画出电压和电流的关系曲线。 u i 电容元件 一、电容的定义 q u C = +q -q C + u - i 二、电容的特性方程 dq dt i = du dt i = C 三、电容元件的特性方程的积分式 t 1 C ∫ 0 u ( t ) = u ( 0 ) + t i(t) O t1 t2 t3 t O u(t) t u(t) O t t1 t2 t3 i ( ξ ) d ξ i(t) O 1 2 Cu 2 ( t ) Wc ( t ) = 四、电容元件储存的能量 电容元件在任何时刻 t 所储存的 电场能量 电感元件 + - u i φ L , ψ L 一、线圈的磁通和磁通链 d ψ ( t ) dt u = 如果 u 的参考方向与电流 i 的参考方向一致 线性电感元件的自感磁通链与元件中电流有以下关系 ψ L = Li Li ( t ) 二、电感元件的特性方程 + - u i L di dt u = L 三、电感元件特性方程的积分形式 t ∫ 0 1 L i ( t ) = i ( 0 ) + u ( ξ ) d ξ 四、电感元件储存的磁场能量 1 2 2 W L = d ψ ( t ) u = dt ψ L = Li 电压源和电流源 一、电压源 1 、特点 （ 1 ）电压 u (t) 的函数是 固定 的，不会因它所联接 的外电路的不同而改变。 （ 2 ） 电流 则随与它联接的外电路的不同而 不同 。 2 、图形符号 + - u S U S 只用来表 示直流 O t u s ( t ) t u s ( t ) O 既可以表示直流 也可以表示交流 + - u S + u = u s - i = 0 s i + - + u S u = u - 外 电 路 3 、电压源的不同状态 空载 有载 4 、特殊情况 u s = 0 电压为零的电压源 相当于短路。 伏安特性 电压源模型 U = E − IR o I U E U I + - R O E R o 越 大 斜率越大 理想电压源 （恒压源） : R O = 0 时的电压源 . 特点 ： ( 1 ）输出电 压不变，其值恒等于电动势。 即 U ab ≡ E ； （ 2 ）电源中的电流由外电路决定。 I + E _ a U ab b 伏安特性 I U ab E 恒压源中的电流由外电路决定 设 : E = 10V I a b + E _ U ab 2 Ω R 1 当 R 1 R 2 同时接入时： I =10A R 2 2 Ω 例 I =5A 则： 当 R 1 接入时 ： E R I = 大小 E I 外电路的改变 I 的变化可能是 _______ 的变化， 方向 + _ I 恒压源特性小结 E U ab a b R （ 1 ）电流 i (t) 的函数是 固定 的，不会因它所联接的外 电路的不同而改变。 （ 2 ） 电压则随与它所联接的外电路的不同而不同 。 2 、图形 符号 i s 二、电流源 1 、特点 i s + u =0 - i 外 电 路 i s 短路 有载 4 、特殊情况 i s = 0 电流为零的电流源 相当于开路。 i + u - 3 、电流源的不同状态 标准电流源 I S R O a b U ab I R o U ab I = I S − I s U ab I 外 特 性 电 流 源 模 型 R O R O 越 大 特性越陡 理想电流源 （恒流源 ): R O = ∞ 时的电流源 . a I U ab b I s I U ab I S 伏 安 特 性 特点 ： （ 1 ）输出电流不变，其值恒等于电 流源电流 I S ； （ 2 ）输出电压由外电路决定。 恒流源两端电压由外电路决定 I U R I s 设 : I S = 1 A R= 1 Ω 时， U = 1 V R= 10 Ω 时， U =10 V 则 : 例 恒流源特性小结 I s U ab U ab = I s ⋅ R a b 恒流源特性中不变的是： _____________ 恒流源特性中变化的是： _____________ 外电路的改变 大小 方向 I U ab I s R I c I b U ce I c = β I b 当 I b 确定后， I c 就基本确定了。在 I C 基本恒定 的范围内 ， I c 可视为恒流源 ( 电路元件的抽象 ) 。 c e b I b + - E + - 恒流源举例 晶体三极管 U ce I c 电压源中的电流 如何决定 ？ 电流 源两端的电压等 于多少 ？ 例 I E R _ a U ab =? I s U ab = IR − E + b 原则： I s 不能变， E 不能变。 电压源 中的电流 I= I S 恒流源两端的电压 恒压源与恒流源特性比较 恒压源 恒流源 不 变 量 变 化 量 I + _ E a U ab b U ab = E （常数） U ab 的大小、方向均为恒定， 外电路负载对 U ab 无影响。 I a U ab b I s I = I s （常数） I 的大小、方向均为恒定， 外电路负载对 I 无影响。 输出电流 I 可变 ----- I 的大小、方向均 由外 电路决定 端电压 U ab 可变 ----- U ab 的大小、方向 均由外 电路决定 受控电源 一、电源的分类 电源 独立电源 电压源的电压和电流源的 电流 , 不受外电路的影响。 作为电源或输入信号时， 在电路中起 “ 激励 ” 作用。 受控源 受控电压源的电压和 受控电流源的电流不是 给定的时间函数，而是 受电路中某部分的电流 或电压控制的 。 又称为非独立电源。 二、以晶体管为例 C E B i B i C i C = β i B 三、受控 源 的类型 １、电压控制电压源 (VCVS) µ u 1 u 1 2 、电压控制电流源 (VCCS) gu 1 u 1 3 、电流控制电压源 (CCVS) i 1 β i 1 ri 1 4 、电流控制电流源（ CCCS ） i 1 C E B i B i C i B i C R 1 R 2 i C = β i B U 1 R 1 i B = U 2 = − i C ⋅ R 2 等效 电路模型 受控源分类 U 1 E = µ U 1 压控电压源 + - E = µ U 1 + - E 压控电流源 U 1 I 2 = g U 1 I 2 I 2 = gU 1 I 2 = β I 1 I 2 流控电流源 I 1 I 2 = β I 1 E = r I 1 流控电压源 I 1 E = r I 1 + - + E - 含有耦合电感电路的计算 --- 预备知识 一、互感 φ 11 φ 21 L 1 N 1 L 2 N 2 i 1 i 1 + u 21 1 1‘ 2 2‘ _ φ 11 φ 21 L 1 L 2 N 2 N 1 i 1 i 1 + u 21 1 2 2‘ _ i 2 1‘ 1 、自感磁 通链 设为 线圈 1 中的电流产生的磁通在穿越自身的线圈 时，所产生的磁通链。 ψ 11 2 、互感磁 通链 ψ 11 中的一部分或全部交链线圈 2 时产生的磁通链。 设为 ψ 21 磁通（链）符号中 双下标 的含义： 第 1 个下标表示该磁通（链）所在线圈的编号， 第 2 个下标表示产生该磁通（链）的施感电流所在 线圈的编号。 同样线圈 2 中的电流 i 2 也产生自感磁通链 ψ 22 和互感磁通链 ψ 12 （图中未标出） φ 11 φ 21 L 1 L 2 N 2 N 1 i 1 i 1 + u 21 1 1‘ 2 2‘ _ i 2 这就是彼此 耦合 的情况。 耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁 通链两部分的代数和， 如线圈 1 和 2 中的磁通链分别为 ψ 1 和 ψ 2 则有 ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12 ψ 2 = ± ψ 21 + ψ 22 φ 11 φ 21 L 1 L 2 N 2 N 1 i 1 i 1 + u 21 1 1‘ 2 2‘ _ i 2 互感磁通链 ψ 12 = M 12 i 2 二、互感系数 当周围空间是 各向同性 的线性磁介质时，每一 种磁通链都与产生它的施感电流成正比， 即有自感磁通链： ψ 11 = L 1 i 1 ψ 22 = L 2 i 2 ψ 21 = M 21 i 1 上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，简称 互感 。 互感用符号 M 表示，单位为 H 。 可以证明， M 12 = M 21 ， 所以当只有两个线圈有 耦合时，可以略去 M 的下 标， 即可令 M = M 12 = M 21 两个耦合线圈的磁通链可表示为： ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12 ψ 2 = ± ψ 21 + ψ 22 = L 1 i 1 ± M i 2 = ± M i 1 + L 2 i 2 上式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流 成 线性 关 系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加 的结果。 M 前的号是说明磁耦合中，互感作用的两种可能性。 “ +” 号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称 为互 感的 “ 增助 ” 作用； “ - ” 号则相反，表示互感的 “ 削弱 ” 作用。 为了便于反映 “ 增助 ” 或 “ 削 弱 ” 作用和简化图形表 示，采用同名端标记方法。 三、同名端 1 、同名端的引入 ψ 1 = L 1 i 1 ± M i 2 ψ 2 = ± M i 1 + L 2 i 2 2 、同名端 对两个有耦合的线圈各取一个端子，并用相同 的符号标记，这一对端子称为 “ 同名端 ” 。当一对施感 电流从同名端流进（或流出）各自的线圈时，互感起 增助作用。 * φ 11 φ 21 L 1 N 1 L 2 N 2 u 21 i 1 1 i 1 1‘ 2‘ _ i 2 * 2 + i 2 i 1 L 1 L 2 u 2 1 u 1 1‘ 2 2‘ M ψ 1 = L 1 i 1 + M i 2 ψ 2 = M i 1 + L 2 i 2 * φ 11 φ 21 L 1 N 1 L 2 N 2 u 21 i 1 1 i 1 1‘ 2‘ _ i 2 * 2 + 四、互感电压 如果两个耦合的电感 L 1 和 L 2 中有变动的电 流，各电感中的磁通链将随电流变动而变动。 设 L 1 和 L 2 的电压和电流分别为 u 1 、 i 1 和 u 2 、 i 2 ，且都取关联参考方向，互感为 M ，则有： di 2 dt di 1 dt ± M = L 1 u 1 = d ψ 1 dt di 2 dt di 1 dt + L 2 = ± M u 2 = d ψ 2 dt 令自感电压 di 1 dt u 11 = L 1 di 2 dt u 22 = L 2 互感电压 di 1 dt u 21 = M di 2 dt u 12 = M 说明 u 12 是变动电流 i 2 在 L 1 中产生的互感电压， u 21 是变动电流 i 1 在 L 2 中产生的互感电压。 所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠 加的结果。 互感电压前的 “ +” 或 “ - ” 号的正确选取是写出耦 合电感端电压的关键， 自感电压 互感电压 di 2 dt di 1 dt u 22 = L 2 u 21 = M di 1 dt di 2 dt u 11 = L 1 u 12 = M di 1 dt u 21 = M M i 2 u 12 di 2 dt u 12 = − M M L 1 L 2 u 21 i 1 选取原则 可简明地表述如下： 如果互感电压 “ +” 极性端子与产生它的电流流 进的端子为一对同名端，互感电压前应取 “ + ” 号， 反之取 “ - ” 号。 五、互感电压的等效受控源表示法 当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下， 电压、电流方程可用 相量形式 表示 : • • • U 1 = j ω L 1 I 1 + j ω M I 2 • • • U 2 = j ω M I 1 + j ω L 2 I 2 j ω L 1 • U 1 • j ω M I 2 • I 1 • U 2 j ω L 2 • I 2 • j ω M I 1 | ψ 12 | | ψ 21 | 六、耦合系数 工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏 程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为 k ψ 11 ψ 22 ⋅ def k = ≤ 1 M L 1 L 2 def k = k 的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能 改变耦合因数的大小。 含有耦合电感电路的计算 一、两个互感线圈的串联 di dt di dt di dt ) − M di dt di dt ) = R 2 i + ( L 2 − M ) = R 1 i + ( L 1 − M ) di u 2 = R 2 i + ( L 2 − M dt 1 、反向串联（互感起 “ 削弱 ” 作用） u 1 = R 1 i + ( L 1 R 1 L 1 R 2 L 2 M u 1 u 2 u di dt u = u 1 + u 2 = ( R 1 + R 2 ) i + ( L 1 + L 2 − 2 M ) R 1 L 1 R 2 L 2 M u 1 u 2 u u 1 u 2 R 1 L 1 - M R 2 L 2 - M u 无互感等效电路 di dt u 2 R 1 L 1 - M u 1 R 2 L 2 - M u u = u 1 + u 2 = ( R 1 + R 2 ) i + ( L 1 + L 2 − 2 M ) 对正弦稳态电路，可采用 相量形式 表示为 U = [ R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 − 2 M )] I • • U 2 = [ R 2 + j ω ( L 2 − M )] I • • • U 1 = [ R 1 + j ω ( L 1 − M )] I • • • U = [ R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 − 2 M )] I • 电流 I 为 • I = • U R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 − 2 M ) u 2 R 1 L 1 - M u 1 R 2 L 2 - M u 每一条耦合电感支路的阻抗和电路的输入阻抗分别为： Z 1 = R 1 + j ω ( L 1 − M ) Z 2 = R 2 + j ω ( L 2 − M ) Z = Z 1 + Z 2 = R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 − 2 M ) u 2 R 1 L 1 - M u 1 R 2 L 2 - M u Z = Z 1 + Z 2 = R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 − 2 M ) 反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入 阻抗都比无互感时的阻抗小（电 抗变小），这是由于 互感的削弱作用，它类似于串联电容的作用，常称为 互感的 “ 容性 ” 效应。 u 2 R 1 L 1 - M u 1 R 2 L 2 - M u 2 、顺向串联 Z 2 = R 2 + j ω ( L 2 + M ) Z = Z 1 + Z 2 = R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 + 2 M ) 每一耦合电感支路的阻抗为： Z 1 = R 1 + j ω ( L 1 + M ) 而 R 1 L 1 R 2 L 2 M u 1 u 2 u • U j ω L 1 R 1 j ω L 2 R 2 • I 3 • I 2 • I 1 j ω M 0 1 R 1 • I 3 • I 1 • I 2 二、并联 1 、同侧并联 去耦等效电路 • U 0 1 j ω (L 1 -M) 1 j ω M × j ω (L 2 -M) R 2 • U j ω L 1 R 1 j ω L 2 R 2 • I 3 • I 2 • I 1 j ω M 0 1 R 1 • I 3 • I 1 • I 2 0 2 、异侧并联 1 • U -j ω M j ω (L 1 +M) j ω (L 2 +M) R 2 去耦等效电路 支路 3 ：同侧取 “ + ” 支路 1 、 2 ： M 前所取符号与支路 3 相反。 5 Ω j7.5 Ω 3 Ω j6 Ω j12.5 Ω • I + - • U 例：电压 U =50V ，求当开关 K 打开和闭合时的电流。 K 解：当开关打开时 两个耦合电感是顺向串联 • • I = U R 1 + R 2 + j ω ( L 1 + L 2 + 2 M ) =1.52 / -75.96°A 5 Ω j7.5 Ω 3 Ω j6 Ω j12.5 Ω K • I + - • U 当开关闭合时 两个耦合电感相当于异侧并联 5 Ω 利用去耦法，原电路等效为 3 Ω • I + - • U j13.5 Ω - j6 Ω j18.5 Ω • I = 7.79 / -51.50°A 5 Ω 3 Ω • I + - • U j13.5 Ω j18.5 Ω 5 Ω j7.5 Ω 3 Ω j6 Ω j12.5 Ω K • I + - • U 计算 AB 两点间的电压 - j6 Ω A B A B B u 1 u 2 n:1 i 1 i 2 N 1 N 2 理想变压器 一、理想变压器的电路模型 1 、电路模型 u 1 u 2 n:1 i 1 i 2 N 1 N 2 2 、原、副边电压和电流的关系 = N 1 N 2 N 2 N 2 1 N 1 n 上式是根据图中所示参考方向和同名端列出的 。 n = N 1 / N 2 ，称为理想变压器的 变比 。 即输入理想变压器的 瞬时功率等于零 ， 所以它既不耗能 也不储能， 它将能量由原边全部传输到输出， 在传输过程中，仅仅将电压电流按变比作数值变换。 u 2 N 2 u 1 N 1 = 二、理想变压器的功率 将理想变压器的两个方程相乘 得 N 1 i 1 + N 2 i 2 = 0 u 1 i 1 + u 2 i 2 = 0 L 1 L 2 = n 不变 三、空心变压器转变为理想变压器 空心变压器如同时满足下列 3 个条件， 即经 “ 理想化 ” 和 “ 极限化 ” 就演变为理想变压器。 （ 1 ）空心变压器本身无损耗 （ 2 ）耦合因数 k = 1 （ 3 ） L 1 、 L 2 和 M 均为无限大，但保持 Z 11' = • = 2 ⎜ U 2 ⎟ ⎜ − I ⎟⎟ 四、阻抗变换 理想变压器对电压、电流按变比变换的作用， 还反映在阻抗的变换上。在正弦稳态的情况下，当 理想变压器副边终端 2-2’ 接入阻抗 Z L 时，则变压器原 边 1-1’ 的输入阻抗 = n 2 Z L ⎛ • ⎞ = n ⎜ • ⎝ 2 ⎠ • nU 2 1 • − I 2 n • U 1 I 1 n 2 Z L 即为副 边折合至原边的等效阻抗， C 如副边分别接入 R 、 L 、 C 时，折合至原边将为 n 2 R 、 n 2 L 、 n 2 也就是变换了元件的参数。 1.2 电流和电压 的参考方向 任意 指定一个方向作为电流的方向。 把电流看成代数量。 若电流的参考方向与它的实际方向 一致 ，则 电流为 正值 ； 若电流的参考方向与它的实际方向 相反 ，则 电流为 负值 。 2 、参考方向： 1 、实际方向： 正电荷运动的方向。 一、电流 A B i i AB 3 、电流参考方向的表示方法 箭头或双下标 二、电压 1 、实际方向： 高电位指向低电位的方向。 2 、参考方向： 任意选定一个方向作为电压的方向。 当电压的参考方向和它的实际方向 一致 时， 电压为 正值 ； 反之，当电压的参考方向和它的实际方向相 反时，电压为负值。 正负号 u _ A + B 双下标 箭 头 A u B 3 、电压参考方向的表示方法： U AB （高电位在前，低电位在后） U AB = Ф A - Ф B 元件 i + _ u 三、关联参考方向 电流的参考方向与电压 的参考方向 一致 ，则把 电流和电压的这种参考方向称为 关联参考方向 ; 否则为 非关联参考方向 。 1 、 “ 实际方向 ” 是物理中规定的， 而 “ 参 考方向 ” 是人们在进行电路分析计算时， 任意假设的。 2 、在以后的解题过程中，注意一定要 先假定 “ 正方向 ” ( 即在图中表明物理量 的参考方 向 ) ， 然后再列方程计算 。 缺少 “ 参考 方向 ” 的物理量是无意义的。 注意 1.3 基尔霍夫定律 用来描述电路中各部分电压或各部分电流间的关 系，其中包括基氏电流和基氏电压两个定律。 名词注释 支路 (branch) ： 电路中每一个分支 结点 (node) ： 三个或三个以上支路的联结点 回路 (loop) ： 电路中任一闭合路径 b =5 n =3 l =6 R 1 R 2 支路数 结点数 回路数 R 3 R 4 R 5 + + u S1 _ u S2 _ 2 、公式： ∑ i = 0 3 、说明： 规定 流入 结点的电流前面取 “ +” 号， 流出 结点的电流前面取 “ -” 号。 电流是流出结点还是流入结点按电流的 参考方向 来判断 。 一、基尔霍夫电流定律（ KCL ） 1 、内容： 在集总电路中，任何时 刻，对任一结点，所有与之相连 支路电流的代数和恒等于零。 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 + + u S1 _ u S2 _ i 1 i 2 i 3 i 5 i 4 对结点 a ： + i 1 + i 2 - i 3 =0 i 1 + i 2 = i 3 任何时刻，流入任一结点的支路电流 必等于流出该结点的支路电流 对结点 b ： =0 + i 3 + i 4 - i 5 I 4 =? + - 10V 3 Ω 4A I 4 A B 3 Ω C 5 Ω I 1 I 2 I 3 -3A I 5 对结点 C I 3 + I 4 = I 5 I 4 = I 5 − I 3 = 4 − 5 = − 1 A 对结点 B I 1 = I 2 + I 3 10 I 1 = = 2 A 5 I 3 = I 1 − I 2 = 2 − ( − 3) = 5 A 4 、推广形式 KCL 对包围几个结点 的闭合面也适用。 I 1 + I 4 = I 2 + I 5 I 4 = I 2 + I 5 − I 1 = -3 + 4 -2 = -1A 基尔霍夫电流定律是电荷守恒的体现。 + - 10V 3 Ω 3 Ω 4A I 4 A B C 5 Ω I 1 I 2 I 3 -3A I 5 1 、内容： 在集总电路中，任何时刻，沿任一回路，回路中各段电 压的代数和恒等于零。 2 、公式： ∑ u = 0 3 、说明： 先任意指定一个回路的绕行方向， 凡支路电压的参考方向与回路的绕行方向 一致 者， 该电压前面取 “ + ” 号， 支路电压的参考方向与回路的绕行方向 相反 者， 该电压前面取 “ - ” 号。 二、基尔霍夫电压定律（ KVL ） R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 + u S1 _ + u S2 _ + u 2 - + u 4 - 1 + u 5 - 对回路 1 =0 u 2 - u s 1 对回路 2 u 2 u 4 + =0 u 2 = − i 1 R 1 + u s 1 u 2 = i 3 R 3 + u 4 基尔霍夫电压定律实质上是 电压与路径无关 这一性质的反映。 i 1 i 3 2 + i 1 R 1 + - i 3 R 3 - 3 Ω 5 Ω -3A 4A I 4 A B 3 Ω + - C u AC u BA u AC u BC = 0 + _ + u AC = − u BA + u BC = - (-10 ） +15 =25V u BC = 3 × 5 = 15 V 4 、推广形式： 可应用于回路的 部分 电路。 u AC =? + - 10V 3 Ω -3A 4A I 4 A B 3 Ω C 5 Ω I 1 I 2 I 3 I 5 I 1 = I 2 + I 3 三、基尔霍夫定律的性质 KCL 规定了电路中任一 结点处电流 必须服从的约束关系， KVL 则规定了电路中任一 回路内电压 必须服从的约束关系。 这两个定律仅与元件的相互 联接有关 ， 而与元件的 性质无关 。 u 3 = u 1 + 7V i 2 = − u 1 u 3 4 i 1 i 1 i 2 i 1 = 1 A , 求电压 u 3 和电流 i 2 u 1 = 2 i 1 = 2 V - = - 2 + 7 = 5V u 2 = − 4 i 1 + u 3 =1V u 2 = - 0.5A 2 受控电流源 受控 电压 源 u 2 2 、电路的分析方法 考试点 • 1 、 掌 握常用的电路等效变换的方法 • 2 、熟练掌握节点电压方程的列写及求解 方法 • 3 、了 解回路电流的列写方法 • 4 、熟练掌握叠加原理、戴维宁定理和诺 顿定理 2.1 电路的等效变换 对电路进行分析和计算时，有时可以把电 路中某一部分简化，即用一个较为简单的电路 替代原电路。 等效概念： 当电路中某一部分用其等效电路替代后， 未被替代部分的电压和电流均应保持不变。 对外等效： 用等效电路的方法求解电路时，电压和电 流保持不变的部分仅限于 等效电路以外 。 电阻的串联和并联 一、电阻的串联 R 1 R 2 R n + u - 1 、特点： 电阻串联时，通过各电阻的电流是 同一个电 流 。 i u i R eq = = R 1 + R 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + R n n = ∑ R k k = 1 R eq > R k 2 、等效电阻： R eq R 1 R 2 R n u 1 u 2 3 、分压公式 u u R 1 R 1 + R 2 R 2 R 1 + R 2 u 1 = u 2 = 4 、应用 分压、限流。 u i R 1 R 2 + _ + _ + _ R 1 R n R 2 1 、特点 电阻并联时，各电阻上的电压是 同一个电压 。 u - 二、电阻的并联 i + 1 = ∑ 1 R n 1 R eq 1 R 2 1 R 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + + = n k = 1 R k R eq < R k 2 、等效电阻 R 1 R n R 2 R eq 两个电阻并联的等效电阻为 R 1 R 2 R 1 + R 2 R eq = 三个电阻并联的等效电阻为 R 1 R 2 R 3 R 1 + R 2 + R 3 计算多个电阻并联的等效 电阻时，利用公式 1 R n 1 R eq 1 R 2 1 R 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + + = 3 、分流公式： i + u _ R 1 R 2 i 1 i 2 i i R 2 R 1 + R 2 R 1 R 1 + R 2 i 1 = i 2 = 4 、应用 分流或调节电流。 i 5 i 5 求电流 i 和 i 5 例 × i 5 = - 6 + 2 + 1 × 1 i 5 i 1 等效电阻 R = 1.5 Ω i 1 i = 2A i 1 = 1 A 2 + 1 1 = - A 3 B 3 Ω 5 Ω 2 Ω 3 Ω A R AB = ？ 电阻的 Y 形联接与△形联接 的等效变换 一、问题的引入 求等效电阻 3 Ω 3 Ω R 1 R 2 R 3 1 2 3 1 2 3 R 12 R 31 R 23 二、星形联接和三角形联接的等效变换的条件 要求它们的外部性能相同， 即当它们对应端子间的电压相同时， 流入对应端子的电流也必须分别相等。 星接（ Y 接） 三角接（△接） R 1 R 2 R 3 1 2 3 星接（ Y 接） 三角接（△接） →Y R 1 R 2 R 3 R 12 = R 1 + R 2 + R 3 R 1 R 2 R 31 = R 1 + R 3 + R 2 R 3 R 1 R 23 = R 2 + R 3 + 1 2 3 R 12 R 31 R 23 △→ Y R 31 R 12 R 12 + R 23 + R 31 R 1 = R 23 R 31 R 12 + R 23 + R 31 R 3 = R 12 R 23 R 12 + R 23 + R 31 R 2 = R 1 R 2 R 3 1 2 3 1 2 3 R 12 R 31 R 23 星接 三角接 Δ 形相邻电阻的乘积 Δ 形电阻之和 Y 形电阻 = Y 形电阻两两乘积之和 Y 形不相邻电阻 Δ 形电阻 = 特别若星形电路的 3 个电阻相等 R 1 = R 2 = R 3 = R Y 则等效的三角形电路的电阻也相等 R ∆ = R 12 = R 23 = R 31 = 3 R Y 1 3 R 1 R 2 R 3 1 2 3 1 2 3 R 12 R 31 R 23 星接 三角接 D B 3 Ω 2 Ω A 3 Ω 3 Ω C 3 Ω E B 5 Ω 2 Ω 3 Ω 5 Ω A D E 1 Ω 1 Ω 1 Ω B 5 Ω 2 Ω C A D E 3 Ω R=3+1+(1+2) ∥ (1+5) =6 Ω × 电压源、电流源的串联和并联 一、电压源串联 + - u s + - + - + - u s 1 u sn u s 2 n u s = u s 1 + u s 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + u sn = ∑ u sk k = 1 二、电流源并联 i s i sn i s 2 i s 1 i s = i s 1 + i s 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + i sn n = ∑ i sk k = 1 只有电压相等的电压源才允许并联。 四、电流源的串联 + - 5V + 3V - 三、电压源的并联 i i → ∞ 2A 4A 只有电流相等的电流源才允许串联 + - u s R i + - u s i + - u s i s 五、电源与支路的串联和并联 i R 等效是对外而言 等效电压源中的电流不等于替代前的电压源的 电流，而等于外部电流 i 。 i 1 = i s − i i 1 + - u s i s i R + u s - i u s + - i s + u - i s R + u - i s + - u 等效电流源的电压不等于替代前的电流源的 电压，而等于外部电压 u 。 实际电源的两种模型及其等效变换 一、电压源和电阻的串联组合 R + u s - i + u - u i u = u s − Ri 外特 性曲线 u s O u s R u i = i s − R 0 外特性曲线 二、电流源和电阻的并联组合 u i i s i s ⋅ R 0 O i s i + u - R 0 三、电源的等效变换 R = R 0 u s = R ⋅ i s 电压源、电阻 的串联组合与电流源、电阻的并 联组合可以相互等效变换。 R + u s - i + u - i s + u - i R 0 注意电压源和电流源的参考方向， 电流源 的参考方向由电压源的 负极指向正极 。 如果令 例：求图中电流 i 。 + - i =0.5A + - (1+2+7) i +4 -9=0 受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电导的 并联组合也可以用上述方法进行变换。 此时应把受控电源当作独立电源处理，但应注意在变 换过程中 保存控制量所在支路 ，而不要把它消掉。 四、有关受控源 u s u R i C u R u s + Ri c - u R + Ri + Ri c = u s 2 u R + 4 u R = u s u R = 2 V 已知 u S =12V ， R =2 Ω ， i C =2u R ，求 u R 。 2.2 结点电压法 一、结点电压 1 、定义： 在 电路中任意选择某一结点为 参考结点 ，其他 结点与此结点之间的电压称为 结点电压 。 2 、极性： 结点电压 的参考极性是以 参考结点为负 ，其余 独立结点为正。 二、结点 电压法 1 、结点电压法以结点电压为求解变量，用 u ni 来 表示。 2 、结点电压方程： R 6 R 5 R 7 i s 1 i s 6 R 3 u s 3 3 2 1 1 2 3 1 4 2 5 0 3 6 i 1 i 5 i 6 i 4 R 4 R 1 i 2 R 2 0 i 3 对结点 1,2,3 应用 KCL − i 1 − i 4 − i 6 = 0 − i 2 + i 4 − i 5 = 0 − i 3 + i 5 + i 6 = 0 各支路方程 u 1 = u n 1 = R 1 i 1 + R 1 i s 1 u 2 = u n 2 = R 2 i 2 u 3 = u n 3 = R 3 i 3 + u s 3 u 4 = u n 1 − u n 2 = R 4 i 4 u 5 = u n 2 − u n 3 = R 5 i 5 u 6 = u n 1 − u n 3 = R 6 ( i 6 − i s 6 ) R 6 R 5 R 7 i s 1 i s 6 R 3 u s 3 3 2 1 i 1 i 5 i 6 i 4 R 4 R 1 i 2 R 2 0 i 3 ( 1 R 6 1 R 4 1 R 6 1 R 4 1 R 1 u n 3 = i s 1 − i s 6 u n 2 − ) u n 1 − + + + + ) u n 2 − 1 R 5 1 R 6 1 1 R 3 R 5 1 R 4 1 R 6 u s 3 R 3 u n 3 = 0 ) u n 3 = i s 6 + 1 1 R 4 R 5 u n 2 + ( + + 1 u n 1 + ( R 2 1 u n 1 − R 5 − − 整 理 后 , 有 R 6 R 5 R 7 i s 1 i s 6 R 3 u s 3 3 2 1 i 1 i 5 i 6 i 4 R 4 R 1 i 2 R 2 0 i 3 R 7 ？ [ G ][ U n ]=[ I s ] 1 、 [ G ] 为结点电 导矩阵 G ii - 自电导 ， 与结点 i 相连的全部电导之和， 恒为 正 。 G ij - 互电导 ， 结点 i 和结点 j 之间的公共电 导，恒为 负 。 注意： 和电流源串联的电导不计算在内 结点电压方程的一般形式 2 、 [ Un ] 结点电压列向量 3 、 [ Is ] I si - 和第 i 个结点相联的电 源注入该结点的电流 之和。 电流源： 流入为正 。 电压源：当电压源的参考 正极 性 联到该结点 时，该项 前取 正号 ，否则取负。 [ G ][ U n ]=[ I s ] 结点电压方程的一般形式 R 1 R 8 R 7 R 6 R 5 R 4 R 2 i s 4 u s 3 i s 13 - - + 0 u s 7 + R 3 4 3 2 1 列结点电压方程 对结点 1 ： ( G 1 +G 4 +G 8 ) u n1 - G 1 u n2 +0 u n3 - G 4 u n4 = - i s13 + i s4 R 1 R 8 R 7 R 6 R 5 R 4 R 2 i s 4 u s 3 i s 13 - - + 0 u s 7 + R 3 4 3 2 1 列结点电压方程 对结点 2 ： -G 1 u n1 +( G 1 +G 2 +G 5 ) u n2 -G 2 u n3 +0 u n4 = 0 R 1 R 8 R 7 R 6 R 5 R 4 R 2 i s 4 u s 3 i s 13 - - + 0 u s 7 + R 3 4 3 2 1 列结点电压方程 对结点 3 ： 0 u n1 -G 2 u n2 +( G 2 +G 3 +G 6 ) u n3 -G 3 u n4 = i s13 - G 3 u s3 R 1 R 8 R 7 R 6 R 5 R 4 R 2 i s 4 u s 3 i s 13 - - + 0 u s 7 + R 3 4 3 2 1 列结点电压方程 对结点 4 ： 4 n4 = -G 4 u n1 +0 u n2 -G 3 u n3 +( G 3 +G u +G 7 ) -i s4 +G 3 u s3 +G 7 u s7 -G 1 u n1 +( G 1 +G 2 +G 5 ) u n2 -G 2 u n3 +0 u n4 = 0 0 u n1 -G 2 u n2 +( G 2 +G 3 +G 6 ) u n3 -G 3 u n4 = i s13 - G 3 u s3 4 n4 = -G 4 u n1 +0 u n2 -G 3 u n3 +( G 3 +G u +G 7 ) -i s4 +G 3 u s3 +G 7 u s7 电路的结点电压方程： ( G 1 +G 4 +G 8 ) u n1 - G 1 u n2 +0 u n3 - G 4 u n4 = - i s13 + i s4 电路中含有理想（无伴）电压源的处理方法 G 1 G 3 G 2 i s 2 1 2 i u s 1 设理想（无伴）电压源支路的电流为 i , 电路的结点电压方程为 ( G 1 +G 2 ) u n1 - G 2 u n1 补充的约束方程 - G 2 u n2 = i +( G 2 +G 3 ) u n2 = i s2 u n1 =u s1 R 1 R 3 电路中含有受控源的处理方法 R 2 u 2 i s 1 gu 2 0 2 1 ( G 1 +G 2 ) u n1 - G 1 u n1 - G 1 u n2 = i s1 +( G 1 +G 3 ) u n2 = -gu 2 –i s1 u 2 = u n1 R 1 R 3 电路中含有受控源的处理方法 R 2 u 2 i s 1 gu 2 0 1 2 整理有： 系数矩阵不对称 ( G 1 +G 2 ) u n1 ( g - G 1 ) u n1 - G 1 u n2 = i s1 +( G 1 +G 3 ) u n2 = –i s1 1 、指定参考结点 其余结点与参考结点之间的电压就是结点电 压。 2 、列出结点电压方程 自导总是正的，互导总是负的， 注意注入各结点的电流项前的正负号。 3 、如电路中含有受控电流源 把控制量用有关的结点电压表示， 暂把受控电流源当作独立电流源。 4 、如电路中含有无伴电压源 把电压源的电流作为变量。 5 、从结点电压方程解出结点电压 可求出各支路电压和支路电流。 结点法的步骤归纳如下： 2.3 回路电流法 ( 了解 ) 网孔电流法仅适用于 平面电路 ， 回路电流法则无 此限制。 回路电流法是以一组 独立回路 电流为电路变量， 通常选择 基本回路 作为独立回路。 对任一个树，每加进一个连支 便形成一个只包含该连支的回 路， 这样的回路称为单连支回路， 又叫做基本回路。 回路电流方程的一般形式 [R] [I] = [U S ] R 1 R 2 R 4 R 5 R 3 u s 1 u s 5 1 2 3 4 5 6 I l 1 I l 2 I l 3 选择支路 4 、 5 、 6 为树。 I l 1 I l 2 R 6 I l 3 ( R 1 + R 6 + R 5 + R 4 ) + ( R 4 + R 5 ) I l 1 + ( R 2 + R 4 + R 5 ) I l 2 R 5 - - ( R 5 + R 6 ) I l 1 I l 1 + ( R 4 + R 5 ) I l 2 - ( R 5 + R 6 ) I l 3 = - u s 1 + u s 5 I l 3 = + u s 5 - R 5 I l 2 + ( R 3 + R 5 + R 6 ) I l 3 = - u s 5 R 1 R 3 R 4 R 5 u s 1 u s 5 i s 2 i l 1 i l 2 i l 3 − R 4 i l 2 + ( R 4 + R 5 ) i l 3 = − u s 5 i l 1 = i s 2 − R 1 i l 1 + ( R 1 + R 3 + R 4 ) i l 2 − R 4 i l 3 = − u s 1 理想（无伴）电流源 的处理方法 1 、在选取回路电流 时，只让 一个回路电流 通过电流源。 R 1 R 4 u s 1 R 5 u s 5 2 、把 电 流源的电压 作为变量。 i s 2 + u i - i 1 R 3 i 2 i 3 R 1 i 1 = − u s 1 − u i ( R 3 + R 4 ) i 2 − R 4 i 3 = u i − R 4 i 2 + ( R 4 + R 5 ) i 3 = − u s 5 再补充一个约束关系式 − i 1 + i 2 = i s 2 含 受控电压源 的电路 u 1 i l 1 i l 2 u c u c = 50 u 1 , 写出此电路的回路电流方程 . (25 + 100) i l 1 − 100 i l 2 = 5 − 100 i l 1 + (100 + 100000 + 10000) i l 2 = u c u c = 50 u 1 整理后，得 125 i l 1 − 100 i l 2 = 5 − 1350 i l 1 + 110100 i l 2 = 0 2.4 熟练掌握叠加原理、 戴维宁定理和诺顿定理 叠加定理 一、内容 在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电 压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路 产生的电流（或电压）之叠加。 二、说明 1 、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电 路； 2 、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受控 源都不予更动； RiiRip ⋅+=⋅= 21 )( RiRi 21 +≠ 以电阻为例： 2 2 2 2 电压源不作用 就是把该电压源的电压置零， 即在该电压源处用 短路替代 ； 电流源不作用 就是把该电流源的电流置零， 即在该电流源处用 开路替代 。 3 、叠加时要注意电流和电压的 参考方向 ； 4 、不能用叠加定理来计 算功率， 因为功率不是电流或电压的一次函数。 i 1 = i 1 − i 1 i 2 = i 2 + i 2 = + i 1 i 2 (1) i 1 (1) i 2 ( 2 ) i 1 ( 2) i 2 图 a 图 b 图 c 例 ( 2 ) (1) ( 2) (1) i 1 = i 2 在图 b 中 (1) (1) = 1A 10 6 + 4 = 在图 c 中 ( 2) × 4 = 1.6A 4 6 + 4 = i 1 ( 2 ) × 4 = 2.4A 6 6 + 4 = i 2 (1) i 1 (1) i 2 ( 2 ) i 1 ( 2) i 2 图 b 图 c i 1 = i 1 − i 1 i 2 = i 2 + i 2 所以 ( 2 ) (1) = 1 − 1.6 = − 0.6A ( 2) (1) = 1 + 2.4 = 3.4A i 1 i 2 i 10 i i 1 i 2 10 i 1 u 3 = + (1) 1 (1) 1 (1) i 2 (1) u 3 (b) ( 2 ) i 1 ( 2 ) i 2 ( 2 ) 10 i 1 ( 2 ) u 3 (c) 受控电压源 求 u 3 (a) i 10 i = − 6V i 1 i 2 u 3 = u 3 + u 3 u 3 = − 10 i 1 + 4 i 2 (1) (1) 10 6 + 4 在图 b 中 i 1 = i 2 = = 1A (1) (1) (1) 在图 c 中 ( 2) ( 2) 4 × 4 = − 1.6A 6 + 4 6 × 4 = 2.4A 6 + 4 = = ( 2 ) ( 2) ( 2) = 25.6V + 4 i 2 = 10 i 1 u 3 所以 ( 2 ) (1) = 19.6V (1) 1 (1) 1 (1) i 2 (1) u 3 ( 2 ) i 1 ( 2 ) i 2 ( 2 ) 10 i 1 ( 2 ) u 3 (b) (c) i 1 10 i 1 u 3 (a) = + (2) + u 3 - ( 2 ) i 1 ( 2 ) i 2 ( 2 ) 10 i 1 (c) (b) (1) 10 i 1 (1 ) i 1 (1) u 3 ( 2 ) i 2 u 3 u 3 = u 3 + u 3 u + 6 + 4 i 2 = − 10 i 1 u 3 = = i 2 i 在图 b 中 (1) = 19.6V = − 0.6A − 6 6 + 4 ( 2 ) ( 2) 在图 c 中 ( 2) ( 2 ) 1 ( 2 ) = 9.6V 所以 ( 2 ) (1) = 29.2 V (b) + ( 2) 3 - ( 2 ) i 1 ( 2 ) i 2 ( 2) 10 i 1 (c) (1) 10 i 1 (1 ) i 1 (1) u 3 ( 2 ) i 2 1V - 1A + 3V - + 8V - + 30V - + 11V - 3A + 2V - + 4A 11A 15A 求各元件的电压和电流。 给定的电压源电压为 82V ， 这相当于将激励增加了 82/41 倍（即 K=2 ）， 故各支元件的电压和电流也同样增加了 2 倍。 本例计算是先从梯形电路最远离电源的 一端算起， 倒退到激励处，故把这种计算方法叫做 “ 倒退法 ” 。 线性电路中，当 所有激励 （电压源和电流 源） 都增大或缩小 K 倍， K 为实常数， 响应 （电压和电流）也将同样增大或缩小 K 倍。 这里所谓的激励是指 独立 电源； 必须全部激励 同时 增大或缩小 K 倍， 否则将导致错误的结果 。 用齐性定理分析 梯形电路 特别有效。 齐性定理 戴维宁定理和诺顿定理 一、戴维宁定理 内容 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端 口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻 的串联组合等效置换，此电压源的电压等于一 端口的开路电压，电阻等于一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻。 R eq + u oc - Ns 1 1′ No 1 1′ 1 R eq 1′ 外 电 路 Ns 外 电 路 1 + u oc - 1′ - 4V + + 4V - a b 例： I 求电流 I 。 解： 1 、如图断开电路 2 、求开路电压 U abo =4+4+1=9V R 0 3 、求 R 0 电源置 0 R 0 =2+2.4 =4.4 Ω 4 、恢复原电路 I I = U abo R 0 + 0.6 =1.8A I 求电流 I 。 解： 1 、如图断开电路； 2 、求开路电压 - 20V + + 12V - U abo = - 20V U abo =12+3 = 1 5 V 3 、求 R 0 R 0 =6 Ω + Uabo - b 4 、恢复原电路 a R 0 I U abo − 9 R 0 + 10 I = 二、最大功率传输 含源一端口外接可调电阻 R ， 当 R 等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？ 求此最大功率。 一端口的戴维宁等效电路可作前述方法求得： Uoc =4V Req =20k Ω 结点电压法求开路电压 + 3 1 20 10 − 5 1 + 5 Uoc = =4V 等效电阻 R eq R eq =16+20//5 =20k Ω p = i R = i 电阻 R 的改变不会影响原一端口的戴维宁等效电路 ， R 吸收的功率为 2 2 U oc R ( R eq + R ) 2 R 变化时，最大功率发生在 d p /d R= 0 的条件下。 这时有 R = R eq 。 本题中， R eq=20k Ω ，故 R=20k Ω 时才能获得最大功率， u oc 2 4 R eq = 0.2 mW p max = 最大功率问题的结论可以推广到更一般的情况 Ns R 当满足 R=R eq （ R eq 为一端口的输入电阻） 的 条件时， 电阻 R 将获得最大功率。 此时称电阻与一端口的 输入电阻匹配 。 扩音机为例 R i u i R=8 Ω 变 压 器 信号源的内阻 R i 为 11kk Ω ， 扬声器上不可 能得到最大功率。 为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变 压器。 变压器还有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用 不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。 Ns 应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电 导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。 i + u - Req + - u oc + u - i - i i sc + Geq u 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口， 对外电路来说，可以用一个 电流源和电导的并联组 合 等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电 流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输 入电导。 三、诺顿定理 Ns 应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电 导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。 i + u - Req + - u oc + u - i - i i sc + Geq u 一、一端口 向外引出一对端子的电路或网络。 又叫二端网络。 + u - 输入电阻 i 二、输入电阻 1 、定义： 不含独立电源的一端口电阻网络的端电压与端电 流之比。 u i R in def = u i s u s i = R in = 2 、计算方法： 电压、电流法。 在端口加以电压源 u S ，然后求出端口电流 u ， 或在端口加以电流源 i S ，然后求出端口电压 u 。 + - R 2 R 3 i R 1 R 2 R 3 + - u s + α R 2 i - R 1 i 1 i u s i 2 u s = R 1 i 2 i = i 1 + i 2 u s i = R in = R 1 R 3 + (1 − α ) R 1 R 2 R 1 + R 2 + R 3 电压、电流法 u s = − R 2 α i + ( R 2 + R 3 ) i 1 三、等效电阻 是用来代替不含独立源的一端口的电阻。 α i 3 、正弦交流电路 考试点一 • 1 、 掌 握 正弦量的三要素和有效值 • 2 、 掌握 电感、电容元件电流电压关系的 相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3 、 掌 握 阻抗、导纳、有功功率、无功功 率、视在功率和功率因数的概念 • 4 、熟练掌握正弦电路分析的相量方法 • 5 、了解频率特性的概念 考试点二 • 6 、熟练掌握三相电路中电源和负载的联 接方式及相电压、相电流、线电压、线 电流、三相功率的概念和关系 • 7 、熟练掌握对称三相电路分析的相量方 法 • 8 、 掌握 不对称三相电路的概念 预备知识 —— 复数 一、复数的形式 1 、代数形式 F = a + jb − 1 j = 为虚单位 复数 F 的实 部 Re[ F ] = a 复数 F 的虚部 Im[ F ] = b 复数 F 在复平面上可以 用一条从 原点 O 指向 F 对应坐标点的 有向线 段 表示。 +1 +j O F θ a b F = a + b 2 、三角形式 F = F (cos θ + j sin θ ) 2 b a 2 θ = arctan 模 辐角 +1 +j O F θ a b × 3 、指数形式 根据欧拉公式 e j θ = cos θ + j sin θ F = F (cos θ + j sin θ ) F = F e 4 、极坐标形式 F =|F| / θ 3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 ° =5 /126.9 ° j θ 10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5 二、复数的运算 1 、加法 用 代数形式 进行， 设 F 1 = a 1 + jb 1 F 2 = a 2 + jb 2 +1 +j O F 1 F 1 + F 2 F 1 + F 2 = ( a 1 + jb 1 ) + ( a 2 + jb 2 ) = ( a 1 + a 2 ) + j ( b 1 + b 2 ) 几何意义 F 2 2 、减法 用 代数形式 进行， 设 jb 1 F 1 = a 1 + F 2 = a 2 + jb 2 F 1 − F 2 = ( a 1 + jb 1 ) − ( a 2 + jb 2 ) +1 +j O − F 2 F 1 − F 2 = ( a 1 − a 2 ) + j ( b 1 − b 2 ) F 1 F 1 − F 2 几何意义 F 2 3 、乘法 用 指数形式 比较方 便 设 1 F 1 = | F 1 | ∠ θ F 2 = | F 2 | ∠ θ 2 F 1 F 2 = F 1 ∠ θ 1 ⋅ F 2 ∠ θ 2 = F 1 F 2 / θ 1 + θ 2 4 、除法 = F 1 F 2 | F 1 | ∠ θ 1 | F 2 | ∠ θ 2 / θ 1 − θ 2 = F 1 F 2 三、旋转因子 j θ e = 1 / θ π 2 j e = j π 2 − j e = -j j π e = -1 因此， “ ±j ” 和 “ -1” 都可以看成旋转因 子。 是一个模等于 1 ，辐角为 θ 的 复数。 任意复数 A 乘以 e j θ 等于把复数 A 逆时针 旋转一个角度 θ ， 而 A 的模值不变。 一个复数 乘以 j ， 等于把该复数逆时针旋转 π /2 ， 一个复数 除以 j ， 等于把该复数乘以 - j ， 等于把它顺时针旋转 π /2 。 虚轴等于把实轴 +1 乘以 j 而得到的。 例如 例：设 F 1 =3-j4 ， F 2 =10 /135° 求 : F 1 + F 2 和 F 1 / F 2 。 解：求复数的代数和用代数形式： F 2 = 10 /135° =10 （ cos135°+jsin135°) = -7.07 + j7.07 F 1 + F 2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143° F 1 F 2 = = 3-j4 10 /135° 5 /-53.1 ° 10 /135° = 0.5 /-188.1 ° = 0.5 /171.9 ° 辐角应在 主值 范围内 正弦量的概念 一、正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。 对正弦量的描述，可以用 sine ，也可以用 cosine 。 用相量法分析时，不要两者同时 混用 。本书采用 cosine 。 二、正弦量的三要素 i + - u i = I m cos( ω t + ψ i ) 瞬时值表达式： ψ i ω t i Im O 2π π 2π 1 、振幅 I m 正 弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2 、角频率 ω 反映正弦量变化的快慢 单位 rad/s ω T =2 π ω =2 π f f =1/ T 频率 f 的单位为 赫兹 （ Hz ） 周期 T 的单位为 秒 （ s ） f = 50Hz, T = 0.02s ω =314 rad/s 3 、初相位（角） ψ i 主值 范围内取值 ψ i ≤ 180 ° ψ i ω t i Im 2π O π 2π ( ω t + ψ i ) 称为正弦量的相位，或称 相角。 d ( ω t + ψ i ) dt ω = i dt 三、正弦量的有效值 T def I = ∫ 0 2 1 T ∫ def I = T 0 2 2 cos Im 1 T ( ω t + ψ i ) dt cos 2 1 + cos[ 2 ( ω t + ψ i )] 2 ( ω t + ψ i ) = I = I m / 2 = 0.707 I m 四、同频率正弦量相位的比较 i = I m cos( ω t + ψ i ) u = U m cos( ω t + ψ u ) 相位差 ϕ = ψ u − ψ i 相位差也是在 主值范围 内取值。 φ > 0 ，称 u 超前 i ； φ < 0 ，称 u 落后 i ； φ = 0 ，称 u,i 同相； φ = π /2 ，称 u ， i 正交； φ = π ，称 u ， i 反相 。 例： i = 10 sin(314t+30°) A (314t-150° u = 5 cos(314t-150°) V 求电压和电流的相位差。 ϕ = 30 ° − ( − 150 ° ) = 180 ° i = 10 sin(314t+30°) (314t+30° (314t-60° = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°) ϕ = − 60 ° − ( − 150 ° ) = 90 ° 有效值相量 I = 10 / 30 ° 正弦量相应符号的正确表示 瞬时值表达式 有效值 I = A 10 2 变量， 小写 字母 常数，大写字母 常数，大写字母 • 最大值相量 I m = 10 /30 ° A • 2 = 5 2 / 30 ° A 常数，大写字母加点 常数，大写字母加点 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 I m = 10A 电路定律的相量形式 一、基尔霍夫定律 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都 是同频正弦量，所以可以用相量法将 KCL 和 KVL 转换为相量形式。 1 、基尔霍夫电流定律 对电路中任一点，根据 KCL 有 Σ i = 0 • 其相量形式为 2 、基尔霍夫电压定律 对电路任一回路，根据 KVL 有 Σ u = 0 其相量形式为 • Σ U = 0 瞬时值表达式 R + - i R + • I R u R R • U R u R = Ri R 相量形式 • • U R = R I R • U R +1 +j - O • I R ψ u ψ i 相量图 二、电阻、电感和电容元件的 VCR 相量形式 1 、电阻元件 2 、电感元件 L + - i L u L di dt u L = L 相量形式 • U L = j ω L I L + - • I L L • U L • U L • ψ u +1 +j O • I L ψ i 相量图 瞬时值表达式 + - 3 、电容元件 瞬时值表达式 i C C u C i C = C 相量形式 + - du C dt • I C C • U C • • I C = j ω C U C • I C ) 1 ω C • ( 或 U C = − j • I C • U C ψ u +1 +j ψ i O 相量图 • U k I k = 0 • I j • U j 4 、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦 量， 则受控源的电压或电流将是同一 • 频率的正弦量。 u k i k = 0 i j u j - 例： 正弦电流源的电流，其有效值 I S =5A ，角频率 ω =10 3 rad/s ， R =3 Ω ， L =1H ， C =1 μ F 。求电压 u ad 和 u bd 。 a i S b c i + + u R - + u L - • I S + + - • U R • U L + • U C - d u C - d 解：画出所示 • 电路相对应的相量形式表示的电路图 a I R b c 1 j ω C - • I S a b c + + - • U R • U L + • U C - • I R j ω L 1 j ω C d • • • • • • U L • U C = − j U R = R I = 15 /0 ° V = j ω L I = 5000 / 90°V 1 • I = 5000 / - 90 °V ω C • • • U bd = U L + U C = 0 • • • U ad = U R + U bd = 15 / 0 ° 2 10 3 t ) ) u bd = 0 u ad = 15 cos( cos(10 3 t A • • U R = R I R • • U L = j ω L I L • I C • U C = − j 1 ω C 相量法的三个基本公式 以上公式是在电压、电流 关联 参考方向的条件下 得到的； 如果为 非关联 参考方向，则以上各式要变号。 以上公式 既包含电压和电流的 大小 关系， 又包含电压和电流的 相位 关系。 Z = 阻抗和导纳 一、阻抗 No + • U - • I = 1 、定义 • U • I U I / ψ u − ψ i = Z / ϕ Z 阻抗模 | Z | = U / I 阻抗角 ϕ Z = ψ u − ψ i 阻抗 Z 的代数形式可写为 Z= R + jX 其实部为电阻，虚部为电 抗。 2 、 R 、 L 、 C 对应的阻抗分别为： Z R = R Z L = j ω L 1 Z C = − j ω C 3 、感 抗和容抗 感抗 X L = ω L 容抗 X C 1 ω C = − 反映电感对电流的阻碍作用 反映电容对电流的阻碍作用 Z = R + X 4 、 RLC 串联电路 如果 No 内部为 RLC 串联电路，则阻抗 Z 为 • U Z = • I 1 = R + j ω L − j ω C 1 = R + j ( ω L − ) ω C = R + jX ) = Z / ϕ Z 2 2 X ϕ Z = arctan( R R X |Z| ϕ Z 阻抗三角形 当 X > 0 ，称 Z 呈感性； 当 X < 0 ，称 Z 呈容性； 当 X=0 ，称 Z 呈电阻性 电路的性质 Z= R + jX 二、导纳 1 、定义 = • I • U Y = I U / ψ i − ψ u = Y / ϕ Y 导纳模 | Y | = I / U 导纳角 ϕ Y = ψ i − ψ u 导纳 Y 的代数形式可写为 Y= G + jB 其实部为电导，虚部为电 纳。 2 、单个元件 R 、 L 、 C 的导纳 1 ω L 1 Y R = G = R 1 Y R = = − j j ω L Y C = j ω C 3 、感纳 和容纳 1 ω L 感纳 B L = − 容纳 B C = ω C • Z k 阻抗（导纳）的串联和并联 一、阻抗的串联 对于 n 个阻抗 串联而成的电路，其等效阻抗 Z eq = Z 1 + Z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Z n 各个阻抗的电压分配为 • Z eq • • U k 为第 k 个阻抗的电压 , U 为总电压 . U k = U , k = 1,2,… ， n Y k • 二、阻抗的并联 对 n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳 Y eq = Y 1 + Y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Y n 各个导纳的电流分配为 I , Y eq • I k = • • I k 为第 k 个阻抗的电流 , I 为总电流 . k = 1,2,… ， n 例： 如图 RLC 串联电路。 R = 15 Ω ， L= 12 mH ， C = 5 µ F ， 端电压 u =141.4 cos ( 5000 t ) V 。 求： i ，各元件的电压相量。 解： 用相量法。 U ̇ = 100 ∠ 0 � ( V ) ω = 5000 ( rad / s ) 1 j ω C Z = R + j ω L + ) − 6 − 3 1 5000 × 5 × 10 − = 15 + j (5000 × 12 × 10 = 15 + j 20 = 25 ∠ 53.13 � ( Ω ) U ̇ Z = 4 ∠ − 53.13 � ( A ) 100 ∠ 0 � 25 ∠ 53.13 � = ∴ I ̇ = 60 ∠ − 53.13 � ( V ) = U ̇ L = j ω LI ̇ = 240 ∠ 36.87 � ( V ) = 160 ∠ − 143.13 � ( V ) U ̇ C = I ̇ 1 j ω C i (t)= 4 √ 2 cos ( 5000 t - 53.13 o ) A U ̇ R = I ̇ R = 4 ∠ − 53.13 � × 15 电路的相量图 一、相量图 相关的电压和电流相量在复平面上组成。 在相量图上，除了按比例反映各相量的模外， 最重要的是确定各相量的相位关系。 二、相量图的画法 选择某一相量作为参考相量， 而其他有关相量就根据它来加以确定。 参考相量的初相可取为零， 也可取其他值，视不同情况而定。 1 、串联电路 取电流为参考相量，从而确定各元件的电压相量； 表达 KVL 的各电压相量可按向量求和的方法作出。 2 、并联电路 取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量； 表达 KCL 的各电流相量可按向量求和的方法作出。 3 、串并联电路 从局部开始 • I • U U ̇ C = 160 ∠ − 143.13 � ( V ) • U C • U L • • U L + U C 53.1° • U R 以上一节中例题为例 I ̇ = 4 ∠ − 53.13 � ( A ) U ̇ R = 60 ∠ − 53.13 � ( V ) U ̇ L = 240 ∠ 36.87 � ( V ) V1 • + U 1 - V2 • + U 2 - • I V0 的读数为 14.14 V V1 读数为 10V ， V2 读数为 10V ， V0 的读数为？ • I • U 1 • U 2 • U 0 + - V0 • U 0 + - u g 移相电路 + u - + u - 当改变电阻 R 时，可改变控制电压 u g 与 电源电压之间的相位差 θ ，但电压 u g 的 有效 值 是不变的。 + u R - + u C - + - + u - + u - • I • U • U g • U C • U g • 2 U u g = u R − u u g = − u u g = u R = 0 R →∞ • U R θ • U • I θ 移相范围 0°~180° i u g 正弦稳态电路的分析 在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、 阻抗、导纳和 KCL 、 KVL 的相量形式，它们在形 式上与线性电阻电路相似。 Σ i = 0 u = Ri • Σ I = 0 • • U = Z I Σ u = 0 i = Gu • Σ U = 0 • • I = Y U 对于电阻电路有： 对于正弦电流电路有： 用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法 和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析 差别 仅在于所得电路方程为以 相量 形式 表 示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理， 而计算则为 复数运算 。 • 例：电路中的独立电源全都是同频正弦量。试列出 该电路的 结点电压 方程和 回路电流 方程。 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 • U S 1 • U S 3 • I S 5 1 2 解：电路的结点电压方程为 • Y 3 U S 3 • • ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) U n 1 - Y 3 U n 2 = + Y 1 U S 1 + - • • • • Y 3 U n 1 + ( Y 3 ( Y + 3 Y + 4 Y + 4 Y ) 5 ) U n 2 = - Y 3 U S 3 + I S 5 Z 1 Z 2 Z 3 Z 5 U S 1 • • U S 3 • 回路电流方程 • I l 1 • I l 2 • Z 4 I l 3 I S 5 + • U - • I l 1 • I l 3 = • ( Z 1 + Z 2 ) I l 1 • Z 2 I l 2 - + 0 • + U S 1 - - - - • • • • Z 2 I l 1 + ( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) I l 2 - Z 4 I l 3 = - U S 3 • U 0 • • Z 4 I l 2 + ( Z 4 + Z 5 ) I l 3 = • I l 3 = I S 5 •