高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-6(曲率)

高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-6(曲率)

第十一节 平面曲线的曲率 一、弧微分 二、曲率的概念 三、曲率的计算公式 四、曲率半径与曲率圆 五、小结 一、弧微分 x y O )(xfy  C  0x 0x x x x y ( )( ) ( , ) y f x C a b  对应曲线 满足： 在 内有连续导数 0 0 0( , ) :M x y 度量弧长的基点 0 0 0( , ) :M x y 度量弧长的基点  0( , ) ,M x y C M M s s  规定有向弧段 的值 (简称弧 )如下：   0 0 | | ( )0, s M M s M M C 长度 =弧段 的长,且 当 的方向与 的方向一致(相反) ( ) .s s x x则 是关于 的单增函数 0M 'M M   '(: ), .s x ds目标 求 )(xfy  C x y O 0x 0x x x x y 0M 'M M   ' , ( , ), , , , x x x a b C M M x s     取相邻 对应 上点 对应弧的增量为   ' ' 0 0s M M M M MM  则  2 2 2 ' ' ' 2 0 0 ' 2 | | | | ( ) M M M Ms MM x x MM x                            2 ' 2 2 ' 2 ( ) ( ) | | ( ) MM y x MM x             2 ' 2 ' 1 ( ) | | s MM y x MM x                  ' ' 2 0 ( ) lim 1 ( ) x ds ss x y dx x           2 ' 2 ' 1 ( ) | | s MM y x MM x                 '( ) , ( ) 0,s x s x 由于 单增 ' ' 2( ) 1 ( ) ,dss x y dx   ' 21 ( ) .ds y dx   弧微分公式 : 如何定量的描述曲线的弯引出 曲程度? :直观上 工程技术上有时也需要研究曲线的弯曲: 船体结构的钢梁, 机床的转轴等在荷载作用下 要产生弯曲变形, 设计时对其弯曲必须有一定 限制, 这就要定量研究他们的弯曲程度. 2 .y x 直线不弯曲;同一圆周上点弯曲程度相同; 其他曲线如抛物线 顶点处弯曲最厉害 二、曲率的概念  1 2 1 1 1 2 2 2 , , . M M M T M MT M 设曲线光滑的(即对应函数具有连续导数),动点 沿曲线从点 移动到点 切 曲线弧 线方向从 转到 切线的转角 称 的转角为  1 2M M可用曲线弧 的转角定量刻画曲 转角大的弯曲 线的弯曲: 程度大; 0P  1M 2M     x y 2T 1T     1 2 1 2 1 2 1 2 ,M M N N N N M M 与 的转角 相同 但由于 它们的弧长不同,所以弯曲程度也不同: 的 比弧长长的弧长短 更弯曲 转角 弧应当用曲线弧的 和它的 来 曲线的刻画 长 弯曲程度. 由此可见:  1M 2M 1N 2N 平均曲率: .k s    单位弧长的弧段上的切线转角, 即 注: 平均曲率反映一段弧整体的弯曲程度, 它与转角成正比, 与弧长成反比. 例1.求直线和圆的平均曲率. 解. 1 0,k  2 1 .k R  直线的平均曲率为 圆的平均曲率为 与直观 事实相符. 由于一般曲线在不同点处的弯曲程度是不同的, 因此要描述每一点处的弯曲程度. 这时,可以用 类似于由平均速度引入瞬时速度的方法来定义 曲线弧在定点处的曲率. )(xfy  C x y O  0M M       定义 0 0 , , . C P M C M 设曲线 是光滑的 取 曲线上一点 作为度量弧长的 基点 点 是 上某定点 的 临近点 0 . M M s s s      又设 、 处对应的弧长 和倾斜角分别为 、 和 、 0 0 0 0 ( 0), , , , lim lim . x M M M C M s k C M k dk k s ds         当点 沿曲线 趋于点 时 此时 若平均曲率 的极限存在 则称此极限为曲线 在 处的曲率 记做 即 = 容易求出: , R 1 圆在每一点处的曲率都等于其平均曲率 这与我们的直观感知一致: 圆上各点处的弯曲程度一样; 圆的半径越小,曲率越大,从而 弯曲得越厉害. 三、曲率的计算公式 ' ( ), ( , ) tan , ( , C y f x C M x y y     设曲线 的方程为 且具有二阶导数,则曲线 在任意 点 处的切线斜率为 为切线倾斜角) '' 2sec ,dy x dx     '' '' 2 ' 2 , 1 tan 1 ( ) d y y dx x y       '' ' 2 , 1 ( ) yd dx y    转角的微分为 2 2 ' 2( ) ( ) 1 ( ) ,M ds dx dy y dx  而点 处弧长的微分为 = '' ' 2 3 / 2 | | [ ( . 1 ) ] d yk ds y    = 曲率计算公式 例2. ' '' 2 3 1 1 2, .y y y x x x    由 得 (1,1) 处的曲率为 '' ' 2 3 / 2 2 3/ 2 1 | | 2 2 . [1 ( ) ] [1 ( 1) ] 2 x k y y        1 (1,1)xy 求双曲线 在点 处的曲率. 解 例3 .lny x求曲线 上曲率最大的点 解 ( )k x为求 的最值,先求可能极值点, ' '' 2 1 1, ( 0),y y x x x     于是 '' 2 ' 2 3 / 2 2 3/ 2 2 3/ 2 | | 1 / . [1 ( ) ] [1 (1 / ) ] (1 ) ( ) y x x y x x k x        2 ' 2 5 / 2 1 2 2( ) 0 . (1 ) 2 xk x x x      令 可得唯一驻点: ' '2 20 , 0; , 0, 2 2 x k x k    当 时 当 时 2 ( ) 2 x k x  是 的极大值点也是最大值点, 2 ln 2ln ( , - ) . 2 2 y x 曲线 在点 处曲率最大 ' '' '' ' ' 2 ' 2 3 / 2 | ( ) ( ) ( ) ( ) | ; [( ( )) ( ( )) ] t t t tk t t          曲线由参数方程 曲线由极坐标方程 ( ), ( )x t y t   ( )r r  2 '2 '' 2 '2 3 / 2 | 2 | . ( ) r r rrk r r     四、曲率半径与曲率圆 圆是均匀弯曲的, 圆周上任一点处的曲率都相等, 且 曲率等于半径的倒数. 利用圆的这一特征, ( ) ( , ) ( 0) 1 / , . y f x M x y k k k  当曲线 在点 处的曲率为 时, 就可以通过半径为 的圆 将弯曲程度形象的表示 出来 ( ) ) ( 0), 1 / . y f x M x y k k M MC MC k R    设曲线 在点 （ ， 处的曲率为 在点 处的法线上取线段 ，使 ＝ ( ) . C R y f x M 以 为圆心, 为半径作圆,此圆称为曲 在点 处的曲率圆 线 ( ) . C y f x M称为曲线 在 处 的曲率中心 点 1/ ( ) . R k y f x M  曲率圆的半径 称为 曲 曲线 在点 的 率半径处 例4 .lny x x求曲线 与 轴交点处的曲率半径 解 1 2 2.R k   曲率半径为 ln (1,0).y x x M M曲线 与 轴的交点为 在交点 处 的曲率为 '' ' 2 3 / 2 | | 1 . [1 ( ) ) 2 ( ] 2 y y k x    五、小结 弧微分 平均曲率 .k s    单位弧长的弧段上的切线转角, 即 ' 21 ( ) .ds y dx  曲率 曲率半径(中心、圆) 00 lim lim x M M dk k s ds      = ' '' '' ' ' 2 ' 2 3 / 2 | ( ) ( ) ( ) ( ) | [( ( )) ( ( )) ] t t t tk t t          ( ), ( )x t y t  参数式曲线 2 '2 '' 2 '2 3 / 2 | 2 | ( ) r r rrk r r     ( )r r 极坐标式曲线 '' ' 2 3 / 2 | | [1 ( ) ] yk y   ( )y f x直角坐标曲线